الفضاء فائق الترابط

في مجال الطوبولوجيا الرياضية ، يُعرف الفضاء فائق الاتصال ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو الفضاء غير القابل للاختزال ^{[ 2 ]} بأنه فضاء طوبولوجي X لا يمكن كتابته كاتحاد مجموعتين جزئيتين مغلقتين فعليتين (سواء كانتا منفصلتين أو غير منفصلتين). ويُفضل استخدام مصطلح " الفضاء غير القابل للاختزال" في الهندسة الجبرية .

بالنسبة للفضاء الطوبولوجي X، تكون الشروط التالية متكافئة:

• لا توجد مجموعتان مفتوحتان غير فارغتين منفصلتان .
• لا يمكن كتابة X كاتحاد مجموعتين جزئيتين مغلقتين مناسبتين .
• كل مجموعة مفتوحة غير فارغة تكون كثيفة في X.
• كل مجموعة مفتوحة متصلة.
• يكون باطن كل مجموعة جزئية مغلقة مناسبة من X فارغًا.
• كل مجموعة جزئية إما كثيفة أو غير كثيفة في أي مكان في X.
• لا يمكن فصل نقطتين بواسطة جوارات منفصلة.

يُطلق على الفضاء الذي يستوفي أيًا من هذه الشروط اسم الفضاء فائق الاتصال أو الفضاء غير القابل للاختزال . ونظرًا لأن شرط جوارات النقاط المتميزة يُعدّ، بمعنى ما، عكس خاصية هاوسدورف ، فإن بعض المؤلفين يطلقون على هذه الفضاءات اسم الفضاءات المضادة لهاوسدورف . ^{[ 3 ]}

تُعتبر المجموعة الفارغة ، بشكلٍ بديهي، فضاءً فائق الاتصال أو غير قابل للاختزال وفقًا للتعريف المذكور أعلاه (لأنها لا تحتوي على أي مجموعات مفتوحة غير فارغة). مع ذلك، يُضيف بعض المؤلفين، ^{[ 4 ]} وخاصةً المهتمين بتطبيقات الهندسة الجبرية ، شرطًا صريحًا مفاده أن الفضاء غير القابل للاختزال يجب أن يكون غير فارغ.

المجموعة غير القابلة للاختزال هي مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي غير قابلة للاختزال.

من الأمثلة على الفضاءات فائقة الاتصال من طوبولوجيا مجموعة النقاط : الطوبولوجيا المنتهية على أي مجموعة لانهائية ، وطوبولوجيا الترتيب الأيمن على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

في الهندسة الجبرية، يُعتبر طيف حلقةٍ تكون حلقتها المختزلة مجالًا تكامليًا فضاءً طوبولوجيًا غير قابل للاختزال. بتطبيق نظرية الشبكة على الجذر الصفري ، الموجود داخل كل عدد أولي، لإثبات أن طيف تطبيق القسمة هو تماثل طوبولوجي ، يُختزل هذا إلى عدم قابلية اختزال طيف المجال التكاملي. على سبيل المثال، المخططات

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$،${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-2z))}}\right)}$

غير قابلة للاختزال لأن كثيرات الحدود التي تُعرّف المثالي في كلتا الحالتين هي كثيرات حدود غير قابلة للاختزال (أي أنها لا تملك تحليلًا غير تافه). ويُقدّم قاسم التقاطع الطبيعي مثالًا غير صحيح.

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

لأن الفضاء الأساسي هو اتحاد المستويات الأفينية${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$،${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$، و${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$. ويُقدّم المخطط مثالاً آخر غير صحيح

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

أين${\displaystyle f_{4}}$هي متعددة حدود متجانسة من الدرجة الرابعة غير قابلة للاختزال . وهي اتحاد منحنيين من النوع الثالث (بحسب صيغة النوع والدرجة ).

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

كل فضاء شديد الترابط يكون متصلاً ومتصلاً محلياً (وإن لم يكن بالضرورة متصلاً عبر المسار أو متصلاً محلياً عبر المسار ).

لاحظ أنه في تعريف الترابط الفائق، لا يشترط أن تكون المجموعات المغلقة منفصلة. وهذا على عكس تعريف الترابط، حيث تكون المجموعات المفتوحة منفصلة.

على سبيل المثال، فضاء الأعداد الحقيقية ذو الطوبولوجيا القياسية متصل ولكنه ليس فائق الاتصال. والسبب في ذلك أنه لا يمكن كتابته كاتحاد مجموعتين مفتوحتين منفصلتين، ولكنه يمكن كتابته كاتحاد مجموعتين مغلقتين (غير منفصلتين).

• تُعتبر المجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة في فضاء فائق الاتصال "كبيرة" بمعنى أن كل مجموعة منها كثيفة في X ، وأن أي زوج منها يتقاطع. وبالتالي، لا يمكن أن يكون الفضاء فائق الاتصال فضاء هاوسدورف إلا إذا احتوى على نقطة واحدة فقط.
• كل فضاء شديد الترابط يكون متصلاً ومتصلاً محلياً (وإن لم يكن بالضرورة متصلاً عبر المسار أو متصلاً محلياً عبر المسار ).
• بما أن إغلاق كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في فضاء متصل للغاية هو الفضاء بأكمله، وهو مجموعة مفتوحة، فإن كل فضاء متصل للغاية يكون منفصلاً للغاية .
• صورة الفضاء فائق الترابط تحت دالة متصلة هي صورة فضاء فائق الترابط. ^{[ 5 ]} وعلى وجه الخصوص، يجب أن تكون أي دالة متصلة من فضاء فائق الترابط إلى فضاء هاوسدورف ثابتة. ويترتب على ذلك أن كل فضاء فائق الترابط هو فضاء شبه متراص .
• كل فضاء فرعي مفتوح من فضاء فائق الاتصال هو فضاء فائق الاتصال. ^{[ 6 ]}

البرهان: ليكن${\displaystyle U\subset X}$ليكن مجموعة جزئية مفتوحة. أي مجموعتين جزئيتين مفتوحتين منفصلتين من${\displaystyle U}$وستكون هي نفسها مجموعات فرعية مفتوحة منفصلة من${\displaystyle X}$إذن، يجب أن يكون واحد منهم على الأقل فارغاً.

• وبشكل عام، كل مجموعة فرعية كثيفة من فضاء شديد الترابط هي مجموعة شديدة الترابط.

البرهان: لنفترض${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X}$و${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$مع${\displaystyle S_{1}}$،${\displaystyle S_{2}}$مغلق${\displaystyle S}$. ثم${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$. منذ${\displaystyle X}$هي شديدة الترابط، وأحد الإغلاقين هو الفضاء بأكمله${\displaystyle X}$، يقول${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$وهذا يعني أن${\displaystyle S_{1}}$كثيف في${\displaystyle S}$وبما أنه مغلق في${\displaystyle S}$، يجب أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle S}$.

• لا يشترط أن يكون الفضاء الفرعي المغلق للفضاء فائق الترابط فائق الترابط.

مثال مضاد:${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$مع${\displaystyle \Bbbk }$الحقل المغلق جبريًا (وبالتالي اللانهائي) يكون متصلًا بشكل فائق ^{[ 7 ]} في طوبولوجيا زاريسكي ، بينما${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$مغلق وغير متصل بشكل مفرط.

• إن إغلاق أي مجموعة غير قابلة للاختزال هو مجموعة غير قابلة للاختزال. ^{[ 8 ]}

البرهان: لنفترض${\displaystyle S\subseteq X}$أين${\displaystyle S}$لا يمكن اختزاله واكتب${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$لمجموعتين فرعيتين مغلقتين${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$(وبالتالي في${\displaystyle X}$).${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$مغلقة في${\displaystyle S}$و${\displaystyle S=F'\cup G'}$وهذا يعني${\displaystyle S\subseteq F}$أو${\displaystyle S\subseteq G}$لكن بعد ذلك${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$أو${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$بحسب تعريف الإغلاق .

• مساحة${\displaystyle X}$والتي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$مع${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$مفتوح وغير قابل للاختزال بحيث${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$غير قابل للاختزال. ^{[ 9 ]}

البرهان: أولاً، نلاحظ أنه إذا${\displaystyle V}$هي مجموعة مفتوحة غير فارغة في${\displaystyle X}$ثم يتقاطع مع كليهما${\displaystyle U_{1}}$و${\displaystyle U_{2}}$في الواقع، لنفترض${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$، ثم${\displaystyle V_{1}}$كثيف في${\displaystyle U_{1}}$، هكذا${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$و${\displaystyle x\in U_{2}}$هي نقطة إغلاق${\displaystyle V_{1}}$وهذا يعني${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ومن باب أولى${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$. الآن${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$والإغلاق${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$لذلك${\displaystyle V}$هي مجموعة فرعية مفتوحة وكثيفة غير فارغة من${\displaystyle X}$وبما أن هذا ينطبق على كل مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة،${\displaystyle X}$لا يمكن اختزاله.

المكون غير القابل للاختزال ^{[ 10 ]} في الفضاء الطوبولوجي هو مجموعة جزئية غير قابلة للاختزال قصوى (أي مجموعة غير قابلة للاختزال لا تحتويها أي مجموعة غير قابلة للاختزال أكبر منها). وتكون المكونات غير القابلة للاختزال مغلقة دائمًا.

كل مجموعة جزئية غير قابلة للاختزال من فضاء X تقع ضمن مكون غير قابل للاختزال (ليس بالضرورة فريدًا) من X. [ ^{11 ] وبالتحديد} ، تقع كل نقطة من X ضمن مكون غير قابل للاختزال من X. وعلى عكس المكونات المتصلة للفضاء، لا يشترط أن تكون المكونات غير القابلة للاختزال منفصلة (أي لا يشترط أن تشكل تجزئة ). وبشكل عام، تتداخل المكونات غير القابلة للاختزال.

المكونات غير القابلة للاختزال لفضاء هاوسدورف هي ببساطة مجموعات العناصر المفردة .

بما أن كل فضاء غير قابل للاختزال متصل، فإن المكونات غير القابلة للاختزال ستقع دائمًا في المكونات المتصلة.

كل فضاء طوبولوجي نوثري له عدد محدود من المكونات غير القابلة للاختزال. ^{[ 12 ]}

• فضاء فائق الترابط
• مساحة خالية من الكحول
• غير قابل للاختزال هندسياً

• هارت، كلاس بيتر. ناجاتا، جون إيتي؛ فوغان، جيري إي. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير / شمال هولندا. رقم ISBN 978-0-444-50355-8.
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1978)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-486-68735-3، MR 0507446 
• "الفضاء فائق الترابط" . بلانيت ماث .