مساحة متصلة محليًا

في علم الطوبولوجيا وفروع أخرى من الرياضيات ، يكون الفضاء الطوبولوجي X متصلاً محلياً إذا كانت كل نقطة تقبل أساساً للجوار يتكون من مجموعات مفتوحة متصلة .

كمفهوم أقوى، يكون الفضاء X متصلاً محلياً بالمسار إذا كانت كل نقطة تقبل أساساً للجوار يتكون من مجموعات مفتوحة متصلة بالمسار .

على مر تاريخ علم الطوبولوجيا، كانت خاصيتا الاتصال والتراص من أكثر الخصائص الطوبولوجية دراسةً. في الواقع، لعبت دراسة هاتين الخاصيتين، حتى بين المجموعات الجزئية من الفضاء الإقليدي ، وإدراك استقلالهما عن الشكل المحدد للمقياس الإقليدي ، دورًا كبيرًا في توضيح مفهوم الخاصية الطوبولوجية، وبالتالي مفهوم الفضاء الطوبولوجي. مع ذلك، فبينما فُهمت بنية المجموعات الجزئية المتراصة من الفضاء الإقليدي في وقت مبكر جدًا عبر نظرية هاين-بوريل ، فإن المجموعات الجزئية المتصلة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(لـ n > 1) ثبت أنها أكثر تعقيدًا بكثير. في الواقع، بينما يكون أي فضاء هاوسدورف مضغوطًا محليًا ، فإن الفضاء المتصل - وحتى المجموعة الفرعية المتصلة من المستوى الإقليدي - ليس بالضرورة أن يكون متصلًا محليًا (انظر أدناه).

أدى ذلك إلى ظهور مجال بحثي ثري في النصف الأول من القرن العشرين، حيث درس علماء الطوبولوجيا الآثار المترتبة على الاختلافات المتزايدة في دقة وتعقيد مفهوم الفضاء المتصل محليًا. على سبيل المثال، سيتم تناول مفهوم الاتصال في نقطة ما وعلاقته بالاتصال المحلي لاحقًا في هذه المقالة.

في النصف الثاني من القرن العشرين، اتجهت الأبحاث نحو دراسة أكثر تعمقًا للفضاءات مثل المتشعبات ، التي تُفهم جيدًا على المستوى المحلي (كونها متماثلة محليًا مع الفضاء الإقليدي) ولكنها ذات سلوك عالمي معقد. ويعني هذا أنه على الرغم من أن طوبولوجيا المجموعات النقطية الأساسية للمتشعبات بسيطة نسبيًا (إذ تُعتبر المتشعبات قابلة للقياس وفقًا لمعظم تعريفات المفهوم)، فإن طوبولوجياها الجبرية أكثر تعقيدًا بكثير. من هذا المنظور الحديث، تبرز أهمية خاصية الاتصال المساري المحلي: فعلى سبيل المثال، لكي يقبل الفضاء غطاءً شاملًا ، يجب أن يكون متصلًا ومتصلًا مساريًا محليًا.

تكون الفضاءات متصلة محليًا إذا وفقط إذا كانت مكوناتها المتصلة (في طوبولوجيا الفضاءات الجزئية) مفتوحة لكل مجموعة مفتوحة U. ويترتب على ذلك ، على سبيل المثال، أن الدالة المتصلة من فضاء متصل محليًا إلى فضاء غير متصل كليًا يجب أن تكون ثابتة محليًا. في الواقع، تُعد خاصية انفتاح المكونات أمرًا طبيعيًا لدرجة أنه يجب التذكير بأنها ليست صحيحة بشكل عام: فمثلاً، فضاء كانتور غير متصل كليًا ولكنه ليس منفصلاً .

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا، وليكن${\displaystyle x}$كن نقطة${\displaystyle X.}$

مساحة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم متصل محليًا في${\displaystyle x}$^{[ 1 ]} إذا كانت كلجوارمن${\displaystyle x}$يحتوي على حي مفتوح متصل من${\displaystyle x}$أي إذا كانت النقطة${\displaystyle x}$تحتوي على قاعدة جوار تتكون من مجموعات مفتوحة متصلة. الفضاء المتصل محليًا ^{[ 2 ] [ 1 ]} هو فضاء متصل محليًا عند كل نقطة من نقاطه.

لا يعني الاتصال المحلي بالضرورة الاتصال (ضع في اعتبارك فترتين مفتوحتين منفصلتين في${\displaystyle \mathbb {R} }$على سبيل المثال)؛ ولا يعني الاتصال بالضرورة الاتصال المحلي (انظر منحنى الجيب الخاص بعالم الطوبولوجيا ).

مساحة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم المسار المتصل محليًا عند${\displaystyle x}$^{[ 1 ]} إذا كانت كل جوار من${\displaystyle x}$يحتوي على مسار متصل بجوار مفتوح من${\displaystyle x}$أي إذا كانت النقطة${\displaystyle x}$تحتوي على قاعدة جوار تتكون من مجموعات مفتوحة متصلة مسارياً. الفضاء المتصل مسارياً محلياً ^{[ 3 ] [ 1 ]} هو فضاء متصل مسارياً محلياً عند كل نقطة من نقاطه.

المساحات المتصلة محلياً عبر المسارات متصلة محلياً. أما العكس فلا ينطبق (انظر إلى طوبولوجيا الترتيب المعجمي على المربع الواحد ).

1. لأي عدد صحيح موجب n ، الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متصل بمسار محلي، وبالتالي متصل محلياً؛ وهو متصل أيضاً.
2. وبشكل عام، فإن كل فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا يكون متصلًا محليًا، لأن كل نقطة لها قاعدة محلية من الجوار المحدب (وبالتالي المتصل).
3. الفضاء الفرعي${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$خط الواقع${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$متصل بالمسار المحلي ولكنه غير متصل.
4. منحنى الجيب الطوبولوجي هو فضاء جزئي من المستوى الإقليدي متصل، ولكنه غير متصل محليًا. ^{[ 12 ]}
5. المساحة${\displaystyle \mathbb {Q} }$مجموعة الأعداد النسبية المزودة بالطوبولوجيا الإقليدية القياسية، ليست متصلة ولا متصلة محليًا.
6. مساحة المشط متصلة بالمسار ولكنها ليست متصلة بالمسار محليًا، وليست متصلة محليًا حتى.
7. إن المجموعة اللانهائية القابلة للعد والمزودة بطوبولوجيا متناهية الصغر تكون متصلة محليًا (بل فائقة الاتصال ) ولكنها ليست متصلة محليًا عبر المسارات. ^{[ 13 ]}
8. تكون بنية الترتيب المعجمي على المربع الواحد متصلة ومتصلة محليًا، ولكنها ليست متصلة مسارًا، ولا متصلة مسارًا محليًا. ^{[ 14 ]}
9. فضاء كيرش متصل ومتصل محلياً، ولكنه غير متصل مسارياً، وغير متصل مسارياً على نطاق ضيق في أي نقطة. في الواقع، هو غير متصل مسارياً تماماً .

مساحة هاوسدورف الأولى القابلة للعد${\displaystyle (X,\tau )}$يكون متصلاً بالمسار محلياً إذا وفقط إذا${\displaystyle \tau }$يساوي الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$ناتج عن المجموعة${\displaystyle C([0,1];X)}$من بين جميع المسارات المتصلة${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

1. الاتصال المحلي، بحسب التعريف، خاصية محلية للفضاءات الطوبولوجية، أي خاصية طوبولوجية P بحيث يمتلك الفضاء X الخاصية P إذا وفقط إذا كان لكل نقطة x في X قاعدة جوار من المجموعات التي تمتلك الخاصية P. وبناءً على ذلك، فإن جميع "الخصائص الفوقية" التي تمتلكها خاصية محلية تنطبق على الاتصال المحلي. على وجه الخصوص:
2. تكون المساحة متصلة محليًا إذا وفقط إذا كانت تقبل قاعدة من المجموعات الفرعية المتصلة (المفتوحة).
3. الاتحاد المنفصل${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$من عائلة${\displaystyle \{X_{i}\}}$تكون المساحات متصلة محليًا إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle X_{i}}$الفضاءات المنفصلة متصلة محليًا. وبما أن أي نقطة متصلة محليًا، فإن أي فضاء منفصل يكون متصلًا محليًا. من جهة أخرى، يكون الفضاء المنفصل غير متصل تمامًا ، وبالتالي يكون متصلًا فقط إذا احتوى على نقطة واحدة على الأكثر.
4. على النقيض من ذلك، يكون الفضاء المنفصل تمامًا متصلًا محليًا إذا وفقط إذا كان منفصلًا. ويمكن استخدام هذا لتفسير الحقيقة المذكورة سابقًا بأن الأعداد النسبية ليست متصلة محليًا.
5. مساحة منتج غير فارغة${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$يكون الاتصال محليًا إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle X_{i}}$متصلة محليًا، ومعظمها تقريبًا متصل بشكل محدود.${\displaystyle X_{i}}$^{[ 15 ]} متصلة.
6. كل فضاء شديد الترابط متصل محلياً، ومتصل أيضاً.

تترتب النتيجة التالية مباشرة من التعريفات، ولكنها ستكون مفيدة للغاية:

اللمة: ليكن X فضاءً، و${\displaystyle \{Y_{i}\}}$عائلة من المجموعات الجزئية من X. لنفترض أن${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$إذا كانت غير فارغة. إذن، إذا كان كل${\displaystyle Y_{i}}$إذا كان متصلاً (على التوالي، المسار متصل) فإن الاتحاد${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$متصل (على التوالي، المسار متصل). ^{[ 16 ]}

لنفترض الآن وجود علاقتين على فضاء طوبولوجي X : لـ${\displaystyle x,y\in X,}$يكتب:

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$إذا كانت هناك مجموعة جزئية متصلة من X تحتوي على كل من x و y ؛ و

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$إذا كان هناك مسار متصل بمجموعة فرعية من X تحتوي على كل من x و y .

من الواضح أن كلتا العلاقتين انعكاسيتان ومتماثلتان. علاوة على ذلك، إذا كان x و y موجودين في مجموعة جزئية متصلة (أو متصلة مساريًا) A ، وكان y و z موجودين في مجموعة جزئية متصلة (أو متصلة مساريًا) B ، فإن اللمة تشير إلى أن${\displaystyle A\cup B}$هي مجموعة فرعية متصلة (أو متصلة مسارياً) تحتوي على x و y و z . بالتالي، كل علاقة هي علاقة تكافؤ ، وتُعرّف تقسيمًا لـ X إلى فئات تكافؤ . سندرس هذين التقسيمين تباعًا.

لكل x في X ، المجموعة${\displaystyle C_{x}}$من جميع النقاط y بحيث${\displaystyle y\equiv _{c}x}$يُطلق عليه اسم المكون المتصل لـ x . ^{[ 17 ]} تشير اللمة إلى أن${\displaystyle C_{x}}$هي المجموعة الفرعية المتصلة القصوى الوحيدة من X التي تحتوي على x . ^{[ 18 ]} بما أن إغلاق${\displaystyle C_{x}}$وهي أيضًا مجموعة جزئية متصلة تحتوي على x ، ^{[ 19 ] [ 20 ]} ويترتب على ذلك أن${\displaystyle C_{x}}$مغلق. ^{[ 21 ]}

إذا كان للمجموعة X عدد محدود فقط من المكونات المتصلة، فإن كل مكون منها يكون مكملاً لاتحاد محدود من المجموعات المغلقة، وبالتالي يكون مفتوحًا. وبشكل عام، لا يشترط أن تكون المكونات المتصلة مفتوحة، إذ توجد، على سبيل المثال، فضاءات منفصلة تمامًا (أي،${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$لجميع النقاط (x ) غير المنفصلة، ​​مثل فضاء كانتور. ومع ذلك، فإن المكونات المتصلة لفضاء متصل محليًا تكون مفتوحة أيضًا، وبالتالي فهي مجموعات مغلقة مفتوحة . ^{[ 22 ]} ويترتب على ذلك أن الفضاء المتصل محليًا X هو اتحاد طوبولوجي منفصل${\displaystyle \coprod C_{x}}$من مكوناتها المتصلة المتميزة. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت المكونات المتصلة لكل مجموعة جزئية مفتوحة U من X مفتوحة، فإن X تقبل قاعدة من المجموعات المتصلة، وبالتالي فهي متصلة محليًا . ^{[ 23 ]}

وبالمثل، فإن x في X ، المجموعة${\displaystyle PC_{x}}$من جميع النقاط y بحيث${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$يُطلق عليه اسم مكون المسار لـ x . ^{[ 24 ]} كما سبق،${\displaystyle PC_{x}}$كما أنها اتحاد جميع المجموعات الجزئية المتصلة مسارياً من X التي تحتوي على x ، لذا، بحسب اللمة، فإن المجموعة نفسها متصلة مسارياً. ولأن المجموعات المتصلة مسارياً متصلة، فإننا نحصل على${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$

مع ذلك، فإن إغلاق مجموعة متصلة مساريًا لا يشترط أن يكون متصلًا مساريًا: على سبيل المثال، منحنى الجيب الطوبولوجي هو إغلاق المجموعة الفرعية المفتوحة U التي تتكون من جميع النقاط (x, sin(x)) حيث x > 0 ، و U ، لكونها متماثلة طوبولوجيًا مع فترة على خط الأعداد الحقيقية، فهي بالتأكيد متصلة مساريًا. علاوة على ذلك، فإن مكونات المسار لمنحنى الجيب الطوبولوجي C هي U ، وهي مجموعة مفتوحة ولكنها ليست مغلقة، و${\displaystyle C\setminus U,}$وهو مغلق ولكنه ليس مفتوحاً.

تكون الفضاءات متصلة مسارياً محلياً إذا وفقط إذا كانت جميع مكونات المسار في U مفتوحة، وذلك لجميع المجموعات الجزئية المفتوحة U. ^{[ 24 ]} وبالتالي، فإن مكونات المسار في فضاء متصل مسارياً محلياً تُعطي تقسيماً لـ X إلى مجموعات مفتوحة منفصلة مثنى مثنى. ويترتب على ذلك أن أي فضاء جزئي مفتوح متصل في فضاء متصل مسارياً محلياً يكون بالضرورة متصلاً مسارياً. ^{[ 25 ]} علاوة على ذلك، إذا كان الفضاء متصلاً مسارياً محلياً، فإنه يكون متصلاً محلياً أيضاً، لذا لكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle C_{x}}$متصل ومفتوح، وبالتالي فإن المسار متصل، أي${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$ أي أن مكونات المسار ومكونات المسار تتطابق بالنسبة للمساحة المتصلة محليًا.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا. نُعرّف علاقة ثالثة على X :${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$إذا لم يكن هناك فصل للمجموعة X إلى مجموعتين مفتوحتين A و B بحيث يكون x عنصرًا من A و y عنصرًا من B ، فإن هذه علاقة تكافؤ على X وفئة تكافؤ.${\displaystyle QC_{x}}$يُطلق على العنصر الذي يحتوي على x اسم شبه المكون لـ x . ^{[ 18 ]}

${\displaystyle QC_{x}}$ويمكن أيضاً وصفها بأنها تقاطع جميع المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة من X التي تحتوي على x . ^{[ 18 ]} وبناءً على ذلك${\displaystyle QC_{x}}$مغلق؛ بشكل عام ليس من الضروري أن يكون مفتوحاً.

من الواضح${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$^{[ 18 ]} بشكل عام، لدينا عمليات الاحتواء التالية بين مكونات المسار والمكونات والمكونات شبهية عندx: $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

إذا كان X متصلاً محلياً، فعندئذٍ، كما سبق،${\displaystyle C_{x}}$هي مجموعة مفتوحة ومغلقة تحتوي على x ، لذا${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$وبالتالي${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ بما أن اتصال المسار المحلي يستلزم الاتصال المحلي، فإنه يترتب على ذلك أنه عند جميع النقاط x في فضاء متصل مساريًا محليًا لدينا $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

هناك فئة أخرى من الفضاءات التي تتفق فيها المكونات شبهية مع المكونات، وهي فئة فضاءات هاوسدورف المدمجة. ^{[ 26 ]}

• مساحة متصلة محليًا ببساطة
• الاتصال البسيط شبه المحلي - خاصية في الطوبولوجيا الجبرية 
• يُفترض أن مجموعة ماندلبروت متصلة محليًا

• Engelking، Ryszard (1989)، الطوبولوجيا العامة ، هيلديرمان فيرلاغ، برلين، ISBN 3-88538-006-4
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]، الطوبولوجيا العامة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  27 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90125-1، OCLC 1365153 
• مونكرز، جيمس ر. (2000)، الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية)، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-181629-9، OCLC 42683260 
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1978)، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-68735-3MR 1382863​ 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]، الطوبولوجيا العامة ، مينولا، نيويورك : منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-43479-7، OCLC 115240 

• كوبين، سي. أ. (1972)، "الدوال المتصلة من فضاء متصل محليًا إلى فضاء متصل بنقطة تشتت"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 32 (2)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 625-626 ، doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7 ، JSTOR 2037874 بالنسبة لفضاءات هاوسدورف، يُبين أن أي دالة متصلة من فضاء متصل محليًا إلى فضاء متصل بنقطة تشتت تكون ثابتة
• ديفيس، إتش إس (1968)، "ملاحظة حول الترابط في الأعداد الصغيرة"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 19 (5)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 1237-1241 ، doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 ، JSTOR 2036067 .