ثابت الحركة

في علم الميكانيكا ، ثابت الحركة هو كمية فيزيائية محفوظة طوال الحركة، مما يفرض قيدًا عليها. مع ذلك، فهو قيد رياضي ، نتيجة طبيعية لمعادلات الحركة ، وليس قيدًا فيزيائيًا (الذي يتطلب قوى قيد إضافية ). من الأمثلة الشائعة: الطاقة ، والزخم الخطي ، والزخم الزاوي ، ومتجه لابلاس-رونج-لينز ( لقوانين القوة العكسية التربيعية ).

تُعدّ ثوابت الحركة مفيدة لأنها تسمح باستنتاج خصائص الحركة دون الحاجة إلى حلّ معادلات الحركة . في بعض الحالات، يُمكن استنتاج مسار الحركة كنقطة تقاطع سطوح متساوية تُقابل ثوابت الحركة. على سبيل المثال، يُبيّن بناء بوينسو أن دوران الجسم الصلب دون عزم دوران هو نقطة تقاطع كرة (حفظ الزخم الزاوي الكلي) مع قطع ناقص (حفظ الطاقة)، ​​وهو مسار قد يصعب استنتاجه وتصوّره بطرق أخرى. لذا، يُعدّ تحديد ثوابت الحركة هدفًا هامًا في علم الميكانيكا .

توجد عدة طرق لتحديد ثوابت الحركة.

• إن أبسط الطرق وأقلها منهجية هي الاشتقاق الحدسي ("النفسي")، حيث يُفترض أن تكون الكمية ثابتة (ربما بسبب البيانات التجريبية ) ويتم إثباتها لاحقًا رياضيًا على أنها محفوظة طوال الحركة.
• توفر معادلات هاميلتون -جاكوبي طريقة شائعة الاستخدام ومباشرة لتحديد ثوابت الحركة، خاصة عندما يتخذ الهاميلتوني أشكالًا وظيفية يمكن التعرف عليها في الإحداثيات المتعامدة .
• ثمة نهج آخر يتمثل في إدراك أن الكمية المحفوظة تُقابل تناظرًا في دالة لاغرانج . تُوفر نظرية نوثر طريقة منهجية لاستنتاج هذه الكميات من التناظر. على سبيل المثال، ينتج حفظ الطاقة عن ثبات دالة لاغرانج عند تغيير نقطة الأصل في الزمن ، وينتج حفظ الزخم الخطي عن ثبات دالة لاغرانج عند تغيير نقطة الأصل في المكان ( التناظر الانتقالي )، وينتج حفظ الزخم الزاوي عن ثبات دالة لاغرانج عند الدوران . وينطبق العكس أيضًا؛ فكل تناظر في دالة لاغرانج يُقابل ثابت حركة، يُسمى غالبًا بالشحنة أو التيار المحفوظ .
• كمية${\displaystyle A}$يكون ثابتًا للحركة إذا كانت مشتقته الزمنية الكلية تساوي صفرًا$${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$والذي يحدث عندما${\displaystyle A}$قوس بواسون مع الهاميلتوني يساوي سالب مشتقته الجزئية بالنسبة للزمن ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

ومن النتائج المفيدة الأخرى نظرية بواسون ، التي تنص على أنه إذا كانت كميتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي ثوابت الحركة، وكذلك قوس بواسون الخاص بها${\displaystyle \{A,B\}}$.

يُعرف النظام الذي يمتلك n درجة حرية و n ثابت حركة، بحيث يتلاشى قوس بواسون لأي زوج من ثوابت الحركة، بالنظام التكاملي الكامل . ويُقال إن مجموعة ثوابت الحركة هذه في حالة تكامل عكسي. بالنسبة للنظام المغلق ( لا يعتمد لاغرانجيانه صراحةً على الزمن)، فإن طاقة النظام هي ثابت حركة ( كمية محفوظة ).

تُعتبر الكمية القابلة للرصد Q ثابتة الحركة إذا كانت تتبادل مع الهاميلتوني H ، ولم تكن تعتمد صراحةً على الزمن. وذلك لأن $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$ أين $${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$ هي علاقة التبديل.

الاشتقاق

لنفترض أن هناك كمية قابلة للملاحظة Q تعتمد على الموضع والزخم والزمن، $${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

وأيضًا، أن هناك دالة موجية تخضع لمعادلة شرودنغر$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

يتطلب حساب المشتقة الزمنية للقيمة المتوقعة لـ Q استخدام قاعدة الضرب ، وينتج عنه $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

وأخيراً،

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,}$$

بشكل عام، يمتلك النظام القابل للتكامل ثوابت حركة أخرى غير الطاقة. في المقابل، تُعد الطاقة الثابت الوحيد للحركة في النظام غير القابل للتكامل ؛ وتُسمى هذه الأنظمة بالأنظمة الفوضوية. عمومًا، لا يمكن تكميم النظام الميكانيكي الكلاسيكي إلا إذا كان قابلًا للتكامل؛ وحتى عام ٢٠٢٦ ، لم تكن هناك طريقة متسقة معروفة لتكميم الأنظمة الديناميكية الفوضوية.

يمكن تعريف ثابت الحركة في مجال قوة معين بأنه أي دالة لإحداثيات فضاء الطور (الموقع والسرعة، أو الموقع والزخم) والزمن، وتكون ثابتة على امتداد المسار. وتُعدّ تكاملات الحركة ، أو التكاملات الأولى ، مجموعة فرعية من ثوابت الحركة، وهي تُعرَّف بأنها أي دوال لإحداثيات فضاء الطور فقط، وتكون ثابتة على طول المدار. كل تكامل حركة هو ثابت حركة، ولكن العكس ليس صحيحًا، لأن ثابت الحركة قد يعتمد على الزمن. ^{[ 2 ]} ومن أمثلة تكاملات الحركة متجه الزخم الزاوي.${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$أو دالة هاميلتونية بدون اعتماد زمني، مثل${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$مثال على دالة تمثل ثابت الحركة ولكنها ليست تكاملاً للحركة هي الدالة${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$بالنسبة لجسم يتحرك بسرعة ثابتة في بُعد واحد.

لاستخلاص المعلومات الفيزيائية من نظريات القياس ، يتم إما بناء متغيرات قابلة للرصد ثابتة تحت تأثير القياس ، أو تثبيت قياس. وبعبارة أخرى، يعني هذا عادةً إما بناء دوال تتبادل وفقًا لتوزيع بواسون على سطح القيد مع قيود الدرجة الأولى المولدة للقياس ، أو تثبيت تدفق هذه القيود الأخيرة عن طريق تحديد نقاط معينة داخل كل مدار قياسي . وبالتالي، تُعدّ هذه المتغيرات القابلة للرصد الثابتة تحت تأثير القياس بمثابة "ثوابت الحركة" لمولدات القياس، ويُشار إليها بمتغيرات ديراك القابلة للرصد.

• غريفيث، ديفيد ج. (2004). مقدمة في ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية) . برنتيس هول. ISBN 0-13-805326-X.