دالة جوردان الموجبة

في نظرية الأعداد ، دالة جوردان ، التي يُرمز لها بـ${\displaystyle J_{k}(n)}$، أين${\displaystyle k}$عدد صحيح موجب، دالة لعدد صحيح موجب ،${\displaystyle n}$وهذا يساوي عدد${\displaystyle k}$- مجموعات من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن أو تساوي${\displaystyle n}$وذلك بالإضافة إلى${\displaystyle n}$تشكل مجموعة أولية فيما بينها من${\displaystyle k+1}$الأعداد الصحيحة.

دالة جوردان هي تعميم لدالة أويلر ، وهي نفسها${\displaystyle J_{1}(n)}$تم تسمية هذه الوظيفة على اسم كاميل جوردان .

لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle k}$دالة جوردان الموجبة${\displaystyle J_{k}}$هي دالة ضربية ويمكن تقييمها على النحو التالي

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$، أين${\displaystyle p}$تتراوح عبر القواسم الأولية لـ${\displaystyle n}$.

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

والتي يمكن كتابتها بلغة التفافات ديريشليه على النحو التالي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

وعن طريق انعكاس موبيوس كـ

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

بما أن دالة توليد ديريشليه لـ${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ودالة توليد ديريشليه لـ${\displaystyle n^{k}}$يكون${\displaystyle \zeta (s-k)}$، المسلسل لـ${\displaystyle J_{k}}$يصبح

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• متوسط ​​الطلب من${\displaystyle J_{k}(n)}$يكون

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• دالة ديديكيند بسي هي

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$،

وبالنظر إلى التعريف (مع إدراك أن كل عامل في حاصل الضرب على الأعداد الأولية هو متعدد حدود دائري من${\displaystyle p^{-k}}$)، الدوال الحسابية المعرفة بواسطة${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$أو${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$ويمكن أيضاً إثبات أنها دوال ضربية ذات قيم صحيحة.

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$[ ^{2 ]​}

• المجموعة الخطية العامة للمصفوفات من الرتبة${\displaystyle m}$زيادة${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$لديه أمر ^{[ 3 ]}

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• المجموعة الخطية الخاصة من المصفوفات من الرتبة${\displaystyle m}$زيادة${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$تم الطلب

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• المجموعة التبسيطية للمصفوفات من الرتبة${\displaystyle m}$زيادة${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$تم الطلب

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

تم اكتشاف أول صيغتين بواسطة جوردان.

• القوائم الصريحة في OEIS هي J ₂ في OEIS : A007434  ، J ₃ في OEIS : A059376  ، J ₄ في OEIS : A059377  ، J ₅ في OEIS : A059378  ، J ₆ حتى J ₁₀ في OEIS : A069091  حتى OEIS : A069095  .
• الدوال الضربية المعرفة بالنسب هي J₂ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A001615  ، وJ₃ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160889  ، وJ₄ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160891  ، وJ₅ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160893  ، وJ₆ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160895  ، وJ₇ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160897  ، وJ₈ ₍ n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160908  ، وJ₉ ₍ n)/ _J₁ (n) في OEIS : A160953  ، و _J₁₀ (n)/J₁ ₍ n) في OEIS : A160957  ، J ₁₁ (n)/J ₁ (n) في OEIS : A160960  .
• أمثلة على النسب J _2k (n)/J _k (n) هي J ₄ (n)/J ₂ (n) في OEIS : A065958  ، و J ₆ (n)/J ₃ (n) في OEIS : A065959  ، و J ₈ (n)/J ₄ (n) في OEIS : A065960  .

• ل. إي. ديكسون (1971) [1919]. تاريخ نظرية الأعداد، المجلد الأول . دار نشر تشيلسي . ص  147. ISBN 0-8284-0086-5JFM 47.0100.04​​ 
• م. رام مورتي (2001). مسائل في نظرية الأعداد التحليلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  206. سبرينغر-فيرلاغ . ص  11. ISBN 0-387-95143-1. Zbl 0971.11001 . 
• ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص 32 – 36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 . 

• الأماكن القريبة : بيتيكاري، ميهاي (2004). "في بعض امتدادات الدوال الحسابية الأردنية" . اكتا Universitatis Apulensis . 7 : 13 – 22. ر .2157944 . 
• هولدن، ماثيو؛ أوريسون، مايكل؛ فرابل، مايكل. "تعميم آخر لدالة أويلر" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 5 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2011 .