دالة كونيغز

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، دالة كونيغز هي دالة تنشأ في التحليل المركب والأنظمة الديناميكية . وقد قدمها عالم الرياضيات الفرنسي غابرييل كونيغز عام 1884 ، وهي تعطي تمثيلاً قانونياً كتمديدات لتطبيق هولومورفي أحادي القيمة ، أو شبه مجموعة من التطبيقات، للقرص الواحد في الأعداد المركبة إلى نفسه.

وجود وتفرد دالة كونيغز

ليكن D قرص الوحدة في الأعداد المركبة. ولتكن f دالة تحليلية تقوم بتحويل D إلى نفسها، مع تثبيت النقطة 0، حيث f ليست مطابقة تمامًا للصفر وليست تحويلًا ذاتيًا لـ D ، أي تحويل موبيوس معرف بواسطة مصفوفة في SU(1,1).

بحسب نظرية دينجوي-وولف ، فإن الدالة f تُبقي كل قرص | z | < r ثابتًا، وتتقارب تكرارات f بشكل منتظم على الأعداد المدمجة إلى 0: في الواقع، بالنسبة لـ 0 < r < 1،

|و(z)|≤م(ر)|z|{\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}

لـ | z | ≤ r مع M ( r ) < 1. علاوة على ذلك f '(0) = λ مع 0 < | λ | < 1.

أثبت كونيغز (1884) أن هناك دالة تحليلية فريدة h معرفة على D ، تسمى دالة كونيغز ، بحيث h (0) = 0، h '(0) = 1 ومعادلة شرودر محققة.

ح(و(z))=و′(0)ح(z) .{\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}

الدالة h هي النهاية المنتظمة على المجموعات المدمجة للتكرارات المعيارية ، زن(z)=λ-نون(z){\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}.

علاوة على ذلك، إذا كانت f أحادية القيمة، فإن h كذلك . [ 1 ] [ 2 ]

ونتيجة لذلك، عندما تكون الدالة f (وبالتالي الدالة h ) أحادية القيمة، يمكن تعريف المجال D بالمجال المفتوح U = h ( D ) . في ظل هذا التعريف المطابق، يصبح التطبيق f ضربًا في λ ، أي تمددًا على U. 

دليل

  • التفرد . إذا كان k حلاً آخر، فبحسب خاصية التحليل، يكفي إثبات أن k = h بالقرب من الصفر. ليكن
ح=ك∘ح-1(z){\displaystyle H=k\circ h^{-1}(z)}
بالقرب من الصفر. وبالتالي H (0) = 0، H' (0) = 1، وبالنسبة لـ | z | صغيرة،
λح(z)=λح(ك-1(z))=ح(و(ك-1(z))=ح(ك-1(λz)=ح(λz) .{\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.}
بالتعويض في متسلسلة القوى لـ H ، ينتج أن H ( z ) = z بالقرب من 0. وبالتالي h = k بالقرب من 0.
|F(z)-1|≤(1+|λ|-1)|z| .{\displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}
على الجانب الآخر،
زن(z)=z∏ج=0ن-1F(وج(z)) .{\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.}
وبالتالي فإن الدالة g n تتقارب بانتظام لـ | z | ≤ r وفقًا لاختبار فايرشتراس M، لأن
∑رشفة|z|≤ر|1-F∘وج(z)|≤(1+|λ|-1)∑م(ر)ج<∞.{\displaystyle \sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}<\infty .}
  • التكافؤ الأحادي . بحسب نظرية هورويتز ، بما أن كل g n أحادي التكافؤ ومعياري، أي يثبت 0 وله مشتقة 1 عند تلك النقطة، فإن نهايته h أحادية التكافؤ أيضًا.

دالة كونيغز لشبه المجموعة

ليكن f( t ( z )) شبه زمرة من التطبيقات أحادية التكافؤ الهولومورفية من D إلى نفسها، مع تثبيت 0 معرفًا لـ t ∈ [0, ∞) بحيث

  • وs{\displaystyle f_{s}}ليس تشاكلاً ذاتياً لـ s > 0
  • وs(وت(z))=وت+s(z){\displaystyle f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)}
  • و0(z)=z{\displaystyle f_{0}(z)=z}
  • وت(z){\displaystyle f_{t}(z)}متصلة بشكل مشترك في t و z

لكل دالة f s حيث s > 0 نفس دالة كونيغز، انظر الدالة المتكررة . في الواقع، إذا كانت h هي دالة كونيغز للدالة f = f 1 ، فإن h ( f s ( z )) تحقق معادلة شرودر، وبالتالي فهي تتناسب مع h .

بأخذ المشتقات نحصل على

ح(وs(z))=وs′(0)ح(z).{\displaystyle h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).}

وبالتالي فإن h هي دالة كونيغز لـ f s .

بنية أنصاف المجموعات أحادية التكافؤ

على المجال U = h ( D ) ، تصبح الدوال f s عبارة عن ضرب بواسطةλ(s)=وs′(0){\displaystyle \lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)}، وهي شبه مجموعة متصلة. لذاλ(s)=هـμs{\displaystyle \lambda (s)=e^{\mu s}}حيث μ هو حلٌّ مُحدَّدٌ بشكلٍ فريدٍ للمعادلة e μ = λ مع Re μ < 0. ويترتب على ذلك أن شبه المجموعة قابلةٌ للتفاضل عند 0. ليكن

v(z)=∂توت(z)|ت=0،{\displaystyle v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},}

دالة هولومورفية على D مع v (0) = 0 و v' (0) = μ .

ثم

∂ت(وت(z))ح′(وت(z))=μهـμتح(z)=μح(وت(z))،{\displaystyle \partial _{t}(f_{t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),}

لهذا السبب.

v=v′(0)حح′{\displaystyle v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}}

و

∂توت(z)=v(وت(z))،وت(z)=0 ،{\displaystyle \partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z)),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}

معادلة التدفق لحقل متجهي.

باقتصارنا على الحالة التي يكون فيها 0 < λ < 1، يجب أن يكون h ( D ) نجميًا بحيث

ℜzح′(z)ح(z)≥0 .{\displaystyle \Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.}

وبما أن النتيجة نفسها تنطبق على المقلوب،

ℜv(z)z≤0 ،{\displaystyle \Re {v(z) \over z}\leq 0~,}

بحيث تحقق v ( z ) شروط بيركسون وبورتا (1978)

v(z)=zص(z)،ℜص(z)≤0،ص′(0)<0.{\displaystyle v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z)\leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.}

وعلى العكس من ذلك، بعكس الخطوات المذكورة أعلاه، فإن أي حقل متجهي هولومورفي v ( z ) يحقق هذه الشروط يرتبط بشبه مجموعة f( t) ، مع

ح(z)=zخبرة⁡∫0zv′(0)v(w)-1wدw.{\displaystyle h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.}

ملحوظات

مراجع

  • بيركسون، إي.؛ بورتا، هـ. (1978)، "أنصاف الزمر للدوال التحليلية ومؤثرات التركيب"، مجلة ميشيغان للرياضيات ، 25 : 101-115 ، doi : 10.1307/mmj/1029002009
  • كارلسون، إل . Gamelin، TDW (1993)، ديناميات معقدة ، Universitext: مساحات في الرياضيات، Springer-Verlag، ISBN 0-387-97942-5
  • إيلين، م.؛ شوخيت، د. (2010)، نماذج التخطيط الخطي للأنظمة الديناميكية المعقدة: موضوعات في الدوال أحادية القيمة، والمعادلات الوظيفية، ونظرية شبه الزمر ، نظرية المؤثرات: التطورات والتطبيقات، المجلد  208، سبرينغر، ISBN 978-3034605083
  • Koenigs، GPX (1884)، “Recherches sur les intégrales de somees équations fonctionnelles”، Ann. الخيال العلمي. مدرسة نورم. رشفة. ، 1 : 2 – 41
  • كوزما، ماريك (1968). المعادلات الوظيفية في متغير واحد . مونوغرافيا Matematyczne. وارسو: PWN – الناشرون العلميون البولنديون. ASIN: B0006BTAC2
  • شابيرو، جيه إتش (1993)، عوامل التركيب ونظرية الدوال الكلاسيكية ، سلسلة Universitext: Tracts in Mathematics، دار نشر سبرينغر، ISBN 0-387-94067-7
  • شوخيت، د. (2001)، أنصاف المجموعات في نظرية الدوال الهندسية ، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 0-7923-7111-9