مشاكل لاندو

تُعدّ حدسية غولدباخ الضعيفة ، التي تنص على إمكانية التعبير عن أي عدد فردي أكبر من 5 كمجموع ثلاثة أعداد أولية، نتيجةً لفرضية غولدباخ . وقد برهن إيفان فينوغرادوف على ذلك لقيم n الكبيرة بما يكفي ( نظرية فينوغرادوف ) في عام 1937، ^{[ 1 ]} ثم وسّع هارالد هيلفغوت هذا البرهان ليقدم برهانًا كاملاً لفرضية غولدباخ الضعيفة في عام 2013. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تُثبت نظرية تشين ، وهي إضعاف آخر لتخمين غولدباخ، أنه بالنسبة لجميع قيم n الكبيرة بما فيه الكفاية ،${\displaystyle 2n=p+q}$حيث p عدد أولي و q إما عدد أولي أو شبه أولي . ^{[ ملاحظة 1 ]} قام كل من بوردينيون وجونستون وستاريشكوفا، ^{[ 5 ]} بتصحيح وتحسين يامادا، ^{[ 6 ]} بإثبات صيغة صريحة لنظرية تشين: كل عدد زوجي أكبر من${\displaystyle e^{e^{32.7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}}$هو مجموع عدد أولي وحاصل ضرب عددين أوليين على الأكثر. وقد اختزل بورديغنون وستاريشكوفا ^{[ 7 ]} هذا إلى${\displaystyle e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}}$بافتراض فرضية ريمان المعممة (GRH) لدوال ديريشليه L ، يقدم جونستون وستاريشكوفا نسخة تعمل لجميع قيم n ≥ 4، ولكن على حساب استخدام عدد هو حاصل ضرب 395 عددًا أوليًا على الأكثر بدلاً من عدد أولي أو شبه أولي؛ وبموجب فرضية ريمان المعممة، قاموا بتحسين 395 إلى 31. ^{[ 8 ]}

أظهر مونتغمري وفون أن المجموعة الاستثنائية للأعداد الزوجية التي لا يمكن التعبير عنها كمجموع عددين أوليين لها كثافة صفرية، على الرغم من عدم إثبات أن هذه المجموعة منتهية. ^{[ 9 ]} أفضل الحدود الحالية على المجموعة الاستثنائية هي${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$(لقيم x الكبيرة بما يكفي ) بسبب بينتز ، ^{[ 10 ] [ 11 ]} و${\displaystyle E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x}$تحت RH ، بسبب غولدستون . ^{[ 12 ]}

أثبت لينيك أن الأعداد الزوجية الكبيرة بما يكفي يمكن التعبير عنها كمجموع عددين أوليين وثابت ( غير فعال ) K من قوى العدد 2. ^{[ 13 ]} بعد العديد من التطورات (انظر بينتز ^{[ 14 ]} للاطلاع على نظرة عامة)، قام بينتز وروزا ^{[ 15 ]} بتحسين ذلك إلى K = 8. بافتراض فرضية GRH، يمكن تحسين ذلك إلى K = 7. ^{[ 16 ]}

في عام 2013، أثبت ييتانغ تشانغ ^{[ 17 ]} وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية ذات فجوة لا تتجاوز 70 مليونًا، وقد تم تحسين هذه النتيجة لتصل إلى فجوات بطول 246 بفضل جهد تعاوني لمشروع بوليمات . ^{[ 18 ]} وبموجب حدسية إليوت-هالبرستام المعممة ، تم تحسين هذا الرقم إلى 6، مما وسّع نطاق أعمال سابقة لماينارد ^{[ 19 ]} وغولدستون وبينتز ويلدريم . ^{[ 20 ]}

في عام 1966 أظهر تشين أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية p (والتي أطلق عليها فيما بعد اسم أعداد تشين الأولية ) بحيث يكون p + 2 إما عددًا أوليًا أو عددًا شبه أولي.

يكفي التحقق من أن كل فجوة أولية تبدأ من p أصغر من${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$يُظهر جدول الفجوات الأولية القصوى أن التخمين صحيح حتى 2 ⁶⁴ ≈ 1.8 × 10^{19. [ 21 ]} يتطلب مثال مضاد قريب منهذا الحجم فجوة أولية تبلغ مائة مليون ضعف حجم الفجوة المتوسطة.

يُظهر يارفينييمي، ^{[ 22 ]} الذي يُحسّن عمل هيث براون ^{[ 23 ]} وماتوماكي، ^{[ 24 ]} أن هناك على الأكثر${\displaystyle x^{7/100+\varepsilon }}$أعداد أولية استثنائية متبوعة بفجوات أكبر من${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$؛ بخاصة،

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.}$

تُظهر نتيجة منسوبة إلى إنجام وجود عدد أولي بين${\displaystyle n^{3}}$و${\displaystyle (n+1)^{3}}$لكل قيمة كبيرة بما فيه الكفاية لـ n . ^{[ 25 ]}

تساءلت المسألة الرابعة التي طرحها لاندو عما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التي تأخذ الشكل التالي:${\displaystyle p=n^{2}+1}$بالنسبة للعدد الصحيح n . (قائمة الأعداد الأولية المعروفة من هذا الشكل هي A002496 .) إن وجود عدد لا نهائي من هذه الأعداد الأولية سيتبع كنتيجة لتخمينات أخرى في نظرية الأعداد مثل تخمين بونياكوفسكي وتخمين باتمان-هورن .

من الأمثلة على الأعداد الأولية شبه المربعة أعداد فيرما الأولية . وقد أثبت هنريك إيفانيك أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد من الشكل${\displaystyle n^{2}+1}$مع عاملين أوليين على الأكثر. ^{[ 26 ] [ 27 ]} أثبت أنكيني ^{[ 28 ]} وكوبيليوس ^{[ 29 ]} أنه، بافتراض فرضية ريمان الموسعة لدوال L على محرفات هيك ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من الشكل${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$مع${\displaystyle y=O(\log p)}$تخمين لاندو يصب في مصلحة الأقوى${\displaystyle y=1}$أفضل نتيجة غير مشروطة تعود إلى هارمان ولويس ^{[ 30 ]} ، وهي تعطي${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$في عام 2024، أثبت بن غرين ومهتاب ساهني أن عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية يكون على الصورة${\displaystyle p^{2}+nq^{2}}$لأي شيء معين${\displaystyle n\equiv 0}$أو${\displaystyle n\equiv 4}{\pmod {6}}$مع ملاحظة أنه "يمكن بالتأكيد تعديل الحجة بطريقة مباشرة للتعامل مع الأشكال التربيعية الثنائية الموجبة المحددة التعسفية على${\displaystyle \mathbb {Z} }$[ ^{31 ]​}

أظهر غريملت وميريكوسكي، ^{[ 32 ]} ، من خلال تحسين الأعمال السابقة، ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد من الشكل${\displaystyle n^{2}+1}$مع أكبر عامل أولي على الأقل${\displaystyle n^{1.312}}$. استبدال الأس بالعدد 2 سيؤدي إلى تخمين لاندو.

تُظهر نظرية فريدلاندر -إيوانيك أن عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية يكون على الصورة${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$[ ^{39 ]​}

أثبت باير وتشاو ^{[ 40 ]} أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية من الشكل${\displaystyle p=an^{2}+1}$مع${\displaystyle a<p^{5/9+\varepsilon }}$يمكن تحسين الأس إلى${\displaystyle 1/2+\varepsilon }$في ظل فرضية ريمان المعممة للدوال L و${\displaystyle \varepsilon }$في ظل فرضية معينة من نوع إليوت-هالبرستام .

يحدد غربال برون حدًا أعلى لكثافة الأعداد الأولية التي لها الشكل${\displaystyle p=n^{2}+1}$هناك${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$هذه الأعداد الأولية تصل إلى${\displaystyle x}$وبالتالي فإن جميع الأعداد تقريبًا من الشكل${\displaystyle n^{2}+1}$هي مركبة.