مشعب شتاين

في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية المتغيرات المركبة المتعددة والمتشعبات المركبة ، يُعرف متشعب شتاين بأنه متشعب فرعي مركب مغلق من الفضاء المتجهي ذي الأبعاد المركبة n . ويمكن تعريفه بشكل أدق بأنه متشعب مركب يقبل تضمينًا هولومورفيًا مناسبًا في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n}$تم تقديمها وتسميتها باسم كارل شتاين ( 1951 ) . فضاء شتاين مشابه لمتشعب شتاين، ولكنه يسمح بوجود نقاط شاذة. فضاءات شتاين هي نظائر للمتنوعات الأفينية أو المخططات الأفينية في الهندسة الجبرية. 

يفترض${\displaystyle X}$هو متعدد الشعب معقد ذو بُعد معقد${\displaystyle n}$ودع${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$لنرمز إلى حلقة الدوال الهولومورفية على${\displaystyle X.}$ندعو${\displaystyle X}$مشعب شتاين إذا تحققت الشروط التالية: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle X}$محدبة شكليًا، أي لكل مجموعة جزئية مضغوطة${\displaystyle K\subset X}$، ما يسمى بالهيكل الهولومورفي (أو غلاف الهولومورفية) لـ${\displaystyle K}$،${\displaystyle {\widehat {K}}:=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

وهي أيضًا مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle X}$قابل للفصل التام الشكلي، أي إذا${\displaystyle x\neq y}$هما نقطتان متميزتان في${\displaystyle X}$إذن يوجد${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$بحيث${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

ليكن X سطح ريمان متصل وغير متراص . تنص نظرية عميقة لهينريش بينكه وستين (1948) على أن X هو متعدد شعب شتاين. ^{[ 2 ]}

وتنص نتيجة أخرى، تُنسب إلى هانز غراورت وهيلموت روهرل (1956)، على أن كل حزمة متجهة هولومورفية ، وبالأخص كل حزمة خطية هولومورفية، على سطح ريمان X هذا ، هي حزمة تافهة. وبالتحديد، كل حزمة خطية هي حزمة تافهة. ويرتبط هذا بحل مسألة كوزين الثانية .

• المساحة المعقدة القياسية${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هو مشعب شتاين.
• كل مجال من مجالات التماثل الشكلي في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هو مشعب شتاين.
• كل مجال من مجالات فاتو-بيبرباخ في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هو مشعب شتاين.
• كل مشعب فرعي معقد مغلق لمشعب شتاين هو مشعب شتاين أيضًا.
• تنص نظرية التضمين لمتشعبات شتاين على ما يلي: كل متشعب شتاين${\displaystyle X}$ذات أبعاد معقدة${\displaystyle n}$يمكن تضمينها في${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$بواسطة خريطة ثنائية الشكل مناسبة .

تشير هذه الحقائق إلى أن مشعب شتاين هو مشعب فرعي معقد مغلق من الفضاء المعقد، والذي يكون هيكله المعقد هو هيكل الفضاء المحيط (لأن التضمين ثنائي الشكل).

• كل مشعب شتاين ذو البعد (المعقد) n له نوع التماثل لمركب CW ذي البعد n .
• في بُعدٍ مُركّبٍ واحد، يُمكن تبسيط شرط شتاين: سطح ريمان المُتصل هو مُتشعب شتاين إذا وفقط إذا لم يكن مُتراصًا. يُمكن إثبات ذلك باستخدام صيغةٍ من نظرية رونج لأسطح ريمان، والتي وضعها بينكه وشتاين.
• كل مشعب شتاين${\displaystyle X}$قابلة للنشر الهولومورفي، أي لكل نقطة${\displaystyle x\in X}$، هناك${\displaystyle n}$الدوال التحليلية المعرفة على جميع${\displaystyle X}$والتي تشكل نظام إحداثيات محلي عند تقييدها ببعض الجوار المفتوح لـ${\displaystyle x}$.
• إن كون الفضاء متعدد الشعب من نوع شتاين يكافئ كونه متعدد شعب محدب زائف قوي (مركب) . وهذا يعني أنه يمتلك دالة شاملة محدبة زائفة قوية (أو دالة شبه توافقية متعددة )، أي دالة حقيقية ملساء.${\displaystyle \psi }$على${\displaystyle X}$(والتي يمكن افتراض أنها دالة مورس ) مع${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$بحيث تكون المجموعات الفرعية${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$تتميز بصغر حجمها${\displaystyle X}$لكل عدد حقيقي${\displaystyle c}$تُعرف هذه النتيجة، التي تعود إلى غراورت ^{[ 3 ]} والتي عممها ناراسيمهان ^{[ 4 ]} لتشمل فضاءات شتاين، عادةً باسم حل مسألة ليفي ^{[ 5 ]،} نسبةً إلى يوجينيو ليفي (1911).${\displaystyle \psi }$يدعو هذا إلى تعميم مفهوم مشعب شتاين ليشمل فكرة فئة مقابلة من المشعبات المركبة المدمجة ذات الحدود، والتي تُسمى نطاقات شتاين . نطاق شتاين هو الصورة العكسية${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$لذلك يطلق بعض المؤلفين على هذه المتشعبات اسم المتشعبات شبه المحدبة تمامًا.
• فيما يتعلق بالبند السابق، يوجد تعريف مكافئ آخر وأكثر طوبولوجية في البعد المركب 2، وهو كالتالي: سطح شتاين هو سطح مركب X يحتوي على دالة مورس حقيقية f على X بحيث يكون حقل المماسات المركبة للصورة العكسية ، بعيدًا عن النقاط الحرجة لـ f${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$هي بنية تلامس تُحدث توجيهًا على X _c يتوافق مع التوجيه المعتاد كحدود لـ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$إنه،${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$هو حشو شتاين لـ X _c .

توجد العديد من التوصيفات الإضافية لهذه المتشعبات، ولا سيما تلك التي تُجسد خاصية امتلاكها "العديد" من الدوال التحليلية التي تأخذ قيمًا في الأعداد المركبة. انظر على سبيل المثال نظريتي كارتان أ و ب ، المتعلقتين بتماثل الحزم . وكان الدافع الأولي هو وصف خصائص مجال تعريف الاستمرار التحليلي (الأقصى) لدالة تحليلية .

في مجموعة GAGA من التشبيهات، تتوافق مشعبات شتاين مع الأصناف الأفينية .

تُعتبر مشعبات شتاين، من بعض النواحي، ثنائيةً للمشعبات الإهليلجية في التحليل العقدي، والتي تقبل "العديد" من الدوال التحليلية من الأعداد العقدية إلى داخلها. ومن المعروف أن مشعب شتاين يكون إهليلجيًا إذا وفقط إذا كان ليفيًا بالمعنى المقصود في "نظرية التماثل التحليلي".

كل مشعب أملس مضغوط ذو بُعد 2^ n ، والذي لا يحتوي إلا على مقابض ذات فهرس ≤ n ، يمتلك بنية شتاين بشرط أن يكون n > 2، وعندما يكون n = 2، ينطبق الأمر نفسه بشرط أن تكون المقابض الثنائية متصلة بتأطيرات معينة (تأطير أقل من تأطير ثورستون-بينكوين ). ^{[ 6 ] [ 7 ]} كل مشعب أملس مغلق رباعي الأبعاد هو اتحاد لمشعبين شتاين رباعيي الأبعاد ملتصقين على طول حدودهما المشتركة. ^{[ 8 ]}     

إذا كان X متعدد شعب شتاين، فإنه عند تضمينه في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$وبما أن الانحناء الثنائي الهولومورفي يتناقص على الفضاءات الفرعية، فإن X يمتلك مقياس كاهلر لانحناء ثنائي هولومورفي غير موجب. ومن المعروف أن العكس غير صحيح: فهناك أمثلة على فضاءات إسقاطية مدمجة بسيطة الاتصال (وبالتالي ليست فضاءات شتاين) تقبل مقياسًا لانحناء ثنائي هولومورفي غير موجب. ^{[ 9 ]} وهناك نتيجة أضعف، تعود إلى وو في عام 1967، تنص على أن أي فضاء كاهلر كامل بسيط الاتصال ذي انحناء قطاعي غير موجب هو فضاء شتاين. ^{[ 10 ]}

• أندريست، رافائيل (2010). "فضاءات شتاين التي تتميز بتشاكلاتها الداخلية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 363 (5): 2341-2355 . arXiv : 0809.3919 . doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID 14903691 . 
• فورستر، أوتو (1981)، محاضرات حول أسطح ريمان ، نص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  81، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، ISBN 0-387-90617-7(بما في ذلك برهان نظريتي بينكه-شتاين وغراورت-رورل)
• فورستنريتش، فرانك (2011). متشعبات ستاين والخرائط المجسمة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج / سلسلة المسوحات الحديثة في الرياضيات. المجلد.  56. دوى : 10.1007/978-3-642-22250-4 . رقم ISBN 978-3-642-22249-8.
• هورماندر، لارس (1990)، مقدمة في التحليل المركب في عدة متغيرات ، مكتبة شمال هولندا الرياضية، المجلد  7، أمستردام: دار نشر شمال هولندا، ISBN 978-0-444-88446-6، MR 1045639 (بما في ذلك برهان نظرية التضمين)
• جومبف، روبرت إي. (1998)، "بناء أسطح شتاين باستخدام المقبض"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 148 (2)، حوليات الرياضيات، المجلد 148، العدد 2: 619-693 ، arXiv : math/9803019 ، doi : 10.2307/121005 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 121005 ، MR 1668563 ، S2CID 17709531    (تعريفات وبنى نطاقات ومتشعبات شتاين في البعد 4)
• جراويرت، هانز. Remmert، Reinhold (1979)، نظرية مساحات شتاين ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  236، برلين-نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-90388-7، MR 0580152 
• أورنيا، ليفيو؛ فيربيتسكي، ميشا (2010). "مشعبات كاهلر المتوافقة محليًا ذات جهد كامن". حوليات الرياضيات . 348 : 25-33 . doi : 10.1007/s00208-009-0463-0 . S2CID 10734808 . 
• عيسى، هيج (1966). "حول حقل الدوال الميرومورفية لمتنوعة شتاين". حوليات الرياضيات . 83 (1): 34-46 . doi : 10.2307/1970468 . JSTOR 1970468 . 
• ستاين ، كارل (1951)، “الوظائف التحليلية أكثر تعقيدًا من Veränderlichen zu vorgegebenenperiodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche مشكلة”، الرياضيات. آن. (باللغة الألمانية)، 123 : 201–222 ، دوى : 10.1007/bf02054949 ، السيد 0043219 ، S2CID 122647212  
• تشانغ، جينغ (2008). "متنوعات شتاين الجبرية". رسائل البحوث الرياضية . 15 (4): 801-814 . arXiv : math/0610886 . doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16 . MR 2424914 .