فئة Chern المحلية

في الهندسة الجبرية ، تُعدّ فئة تشيرن الموضعية نوعًا مُعدّلًا من فئة تشيرن ، وهي مُعرّفة لمجموعة مُركّبة من حزم المتجهات بدلًا من حزمة متجهات واحدة. وقد طُرحت هذه الفئة لأول مرة في نظرية التقاطع لفولتون ^{[ 1 ]} ، كنظير جبري للبناء المُشابه في الطوبولوجيا الجبرية . ويُستخدم هذا المفهوم تحديدًا في نظرية ريمان-روخ .

قام S. Bloch لاحقًا بتعميم المفهوم في سياق المخططات الحسابية (المخططات على مجال Dedekind ) لغرض إعطاء صيغة الموصل #Bloch التي تحسب عدم ثبات خاصية أويلر لعائلة متدهورة من الأصناف الجبرية (في حالة الخاصية المختلطة ).

ليكن Y مخططًا منتظمًا أحادي البعد من النوع المحدود على حقل أو حلقة تقييم منفصلة، ​​وليكن X مخططًا فرعيًا مغلقًا.${\displaystyle E_{\bullet }}$يرمز إلى مجموعة من حزم المتجهات على Y

${\displaystyle 0=E_{n-1}\to E_{n}\to \dots \to E_{m}\to E_{m-1}=0}$

هذا صحيح تماماً${\displaystyle YX}$تُعدّ فئة تشيرن الموضعية لهذا المركب فئةً في زمرة تشاو ثنائية المتغيرات لـ${\displaystyle X\subset Y}$يُعرَّف على النحو التالي.${\displaystyle \xi _{i}}$تشير إلى الحزمة التكرارية لحزمة غراسمان${\displaystyle G_{i}}$من رتبة${\displaystyle \operatorname {rk} E_{i}}$الحزم الفرعية من${\displaystyle E_{i}\otimes E_{i-1}}$. يترك${\displaystyle \xi =\prod (-1)^{i}\operatorname {pr} _{i}^{*}(\xi _{i})}$ثم فئة تشيرن الموضعية رقم i${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })}$يتم تعريفها بالصيغة التالية:

${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })\cap \alpha =\eta _{*}(c_{i}(\xi )\cap \gamma )}$

أين${\displaystyle \eta :G_{n}\times _{Y}\dots \times _{Y}G_{m}\to X}$هو الإسقاط و${\displaystyle \gamma }$هي دورة تم الحصول عليها من${\displaystyle \alpha }$عن طريق ما يسمى ببناء الرسم البياني .

يترك${\displaystyle f:X\to S}$كما هو موضح في #التعريفات . إذا كانت S ناعمة على حقل، فإن فئة Chern الموضعية تتطابق مع الفئة

${\displaystyle (-1)^{\dim X}\mathbf {Z} (s_{f})}$

حيث، تقريبًا،${\displaystyle s_{f}}$هل المقطع المحدد بواسطة تفاضل f و (وبالتالي)${\displaystyle \mathbf {Z} (s_{f})}$هي فئة الموضع المفرد للدالة f .

لنفترض حزمة لا نهائية الأبعاد E فوق مشعب لا نهائي الأبعاد M، مع مقطع s ذي مشتقة فريدهولم . عمليًا، يحدث هذا الوضع كلما كان لدينا نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية يكون إهليلجيًا عند النظر إليه بتردد معين لتأثير زمرة قياس . تُعرف مجموعة الأصفار Z(s) حينها بفضاء المعاملات للحلول بتردد القياس، ويكون دليل المشتقة هو البعد الافتراضي. فئة أويلر الموضعية للزوج (E,s) هي فئة تماثل ذات دعم مغلق على مجموعة أصفار المقطع. بُعدها هو دليل المشتقة. عندما يكون المقطع مستعرضًا، تكون الفئة هي ببساطة الفئة الأساسية لمجموعة الأصفار مع التوجيه الصحيح. تتميز هذه الفئة بسلوك جيد في عائلات ذات مُعامل واحد، وبالتالي تُحدد الدورة الأساسية "الصحيحة" حتى لو لم يعد المقطع مستعرضًا.

تُمكّننا هذه الصيغة من حساب الموصل الذي يقيس التفرع الجامح باستخدام حزمة الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى. وقد افترض س. بلوخ صيغةً لموصل آرتين للتجانس الإيتالي ℓ-adic لنموذج منتظم لمتنوعة على حقل محلي، وأثبتها لمنحنى. وأعمق نتيجة تتعلق بموصل بلوخ هي مساواته لموصل آرتين، المُعرَّف بدلالة التجانس ℓ-adic لـ X، في حالات معينة.

• S. Bloch ، "Cycles on arithimate schemes and Euler properties of curves"، Algebraic geometry، Bowdoin، 1985، 421–450، Proc. Symp. Pure Math. 46، الجزء 2، Amer. Math. Soc، Providence، RI، 1987.
• فولتون، ويليام (1998)، نظرية التقاطع ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. سلسلة المسوحات الحديثة في الرياضيات [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة. السلسلة الثالثة. سلسلة من المسوحات الحديثة في الرياضيات]، المجلد.  2, برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-62046-4MR 1644323​ القسم ب.7
• K. Kato and T. Saito , “On the conductor formula of Bloch,” Publ. Math. IHÉS 100 (2005), 5-151.