تمثيل الحلقات في نظريات القياس والجاذبية الكمومية

نعلم من ميكانيكا الكم أنه إذا استبدلنا الدالة الموجية،${\displaystyle \psi (x)}$، واصفاً مجال الإلكترون بواسطة

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

بحيث لا تتغير التنبؤات الفيزيائية. ندرس فرض الثبات الموضعي على طور مجال الإلكترون،

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

تكمن المشكلة في أن مشتقات${\displaystyle \psi (x)}$لا تتغاير هذه المتغيرات تحت هذا التحويل:

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

لإلغاء الحد الثاني غير المرغوب فيه، يتم إدخال عامل اشتقاق جديد${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$هذا متغير مشترك. لإنشاء${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$، يقدم المرء مجالاً جديداً، وهو الاتصال${\displaystyle A_{\mu }}$:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$.

ثم

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

على المدى${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$يتم إلغاؤها بدقة من خلال اشتراط تحويلات حقل الاتصال كـ

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

ثم لدينا ذلك

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$.

لاحظ أن${\displaystyle Eq1}$يعادل

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

وهو ما يبدو مماثلاً لتحويل قياس جهد القياس لنظرية ماكسويل. من الممكن بناء فعل ثابت لحقل الاتصال نفسه. نريد فعلًا له مشتقتان فقط (لأن الأفعال ذات المشتقات الأعلى ليست وحدوية). عرّف الكمية:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$.

يُعطى الفعل الفريد الذي له مشتقان فقط بالصيغة التالية:

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

لذلك، يمكن للمرء أن يستنتج النظرية الكهرومغناطيسية من حجج تستند فقط إلى التناظر.

نقوم الآن بتعميم الاستدلال السابق ليشمل مجموعات القياس العامة. يبدأ المرء بمولدات جبر لي معين :

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

ليكن هناك حقل فرميوني يتحول على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

مرة أخرى مشتقات${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$لا تكون هذه الدوال متغيرة تحت هذا التحويل. نقدم مشتقة متغيرة.

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

مع حقل الاتصال المحدد بواسطة

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

نحن نشترط ذلك${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$يتحول إلى:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

نُعرّف مُؤثر شدة المجال

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$.

مثل${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$متغيرة مشتركة، وهذا يعني أن${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$الموتر متغير أيضاً:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

لاحظ أن${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$يكون ثابتًا فقط تحت تحويلات القياس إذا${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$هو كمية قياسية، أي فقط في حالة الكهرومغناطيسية.

يمكننا الآن بناء فعل ثابت من هذا الموتر. ومرة ​​أخرى، نريد فعلًا له مشتقتان فقط. أبسط خيار هو أثر المبدل:

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

يُعطى الفعل الفريد الذي له مشتقان فقط بالصيغة التالية:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

هذا هو الإجراء المتبع في نظرية يانغ ميلز.

في تمثيل الاتصال، يكون متغير التكوين هو${\displaystyle A_{a}^{i}}$وزخمها المترافق هو الثلاثي (المكثف)${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$من الطبيعي جدًا النظر في الدوال الموجية.${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$يُعرف هذا بتمثيل الاتصال. وتتحول المتغيرات الأساسية إلى عوامل كمومية.

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

(على غرار تمثيل الموضع)${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$) والثلاثيات هي مشتقات وظيفية،

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

(على غرار${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$)

لنعد إلى نظرية يانغ-ميلز الكلاسيكية. من الممكن ترميز المعلومات الثابتة للمقياس في النظرية بدلالة متغيرات "شبيهة بالحلقات".

نحن بحاجة إلى مفهوم التماثل . التماثل هو مقياس لمدى اختلاف القيمتين الابتدائية والنهائية للمتجه الدوراني أو المتجه بعد النقل المتوازي حول حلقة مغلقة${\displaystyle \gamma }$ ويُشار إليه بـ

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

إن معرفة الهولونوميات تعادل معرفة الاتصال، حتى تكافؤ القياس. ويمكن أيضًا ربط الهولونوميات بحافة؛ وبموجب قانون جاوس، تتحول هذه الهولونوميات كما يلي:

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

لحلقة مغلقة${\displaystyle x=y}$إذا أخذنا أثر هذا، أي وضع${\displaystyle \alpha =\beta }$وبجمع النتائج نحصل على

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

أو

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

وبالتالي، فإن أثر التماثل حول حلقة مغلقة يكون ثابتًا تحت تأثير المقياس. ويُرمز له بـ

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

وتُسمى حلقة ويلسون. الشكل الصريح للهولونومية هو

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

أين${\displaystyle \gamma }$هو المنحنى الذي يتم على طوله تقييم التماثل، و${\displaystyle s}$هو مُعامل على طول المنحنى،${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يشير إلى ترتيب المسار، مما يعني عوامل للقيم الأصغر لـ${\displaystyle s}$يظهر على اليسار، و${\displaystyle T_{i}}$هي مصفوفات تحقق الشروط التالية${\displaystyle su(2)}$الجبر

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

تحقق مصفوفات باولي العلاقة المذكورة أعلاه. ويتضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأمثلة لمجموعات من المصفوفات التي تحقق هذه العلاقات، حيث تتألف كل مجموعة من${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$المصفوفات مع${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$وحيث لا يمكن اعتبار أي من هذه الأمثلة قابلاً للتحلل إلى مثالين أو أكثر من الأبعاد الأدنى. وتسمى هذه الأمثلة تمثيلات غير قابلة للاختزال مختلفة لـ${\displaystyle su(2)}$الجبر. التمثيل الأساسي هو مصفوفات باولي. يتم تمييز التماثل بنصف عدد صحيح${\displaystyle N/2}$وفقًا للتمثيل غير القابل للاختزال المستخدم.

من أهم النظريات المتعلقة بنظريات القياس يانغ-ميلز نظرية جايلز، التي تنص على أنه إذا تم تحديد أثر التماثلية لوصلة ما لجميع الحلقات الممكنة على مشعب، فإنه من الممكن، من حيث المبدأ، إعادة بناء جميع المعلومات الثابتة للقياس الخاصة بتلك الوصلة. ^{[ 3 ]} أي أن حلقات ويلسون تُشكل أساسًا للدوال الثابتة للقياس الخاصة بتلك الوصلة. وتُعد هذه النتيجة المحورية أساسًا لتمثيل الحلقات في نظريات القياس والجاذبية.

يُسهم استخدام حلقات ويلسون في حل قيد مقياس غاوس بشكل صريح. وبما أن حلقات ويلسون تُشكل أساسًا، فيمكننا رسميًا توسيع أي دالة ثابتة لمقياس غاوس على النحو التالي:

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$.

يُطلق على هذا اسم تحويل الحلقة. ويمكننا ملاحظة التشابه مع الانتقال إلى تمثيل الزخم في ميكانيكا الكم. حيث توجد قاعدة من الحالات${\displaystyle \exp(ikx)}$مُرقّم${\displaystyle k}$ويتوسع أحدهما

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

ويعمل مع معاملات التوسع${\displaystyle \psi (k)}$.

يُعرَّف تحويل الحلقة العكسي بواسطة

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

هذا يحدد تمثيل الحلقة. بالنظر إلى عامل تشغيل${\displaystyle {\hat {O}}}$في تمثيل الاتصال،

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

ينبغي تعريف العامل المقابل${\displaystyle {\hat {O}}'}$على${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$تمثيل الحلقة عبر،

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

أين${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$يتم تعريفها بواسطة تحويل الحلقة العكسي المعتاد،

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

صيغة تحويل توضح تأثير المؤثر${\displaystyle {\hat {O}}'}$على${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$فيما يتعلق بإجراءات المشغل${\displaystyle {\hat {O}}}$على${\displaystyle \Psi [A]}$ثم يتم الحصول على ذلك عن طريق مساواة الطرف الأيمن من${\displaystyle Eq\;2}$مع الجانب الأيمن من${\displaystyle Eq\;3}$مع${\displaystyle Eq\;1}$تم استبدالها بـ${\displaystyle Eq\;3}$، أي

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

أو

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

حيث${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$نقصد المشغل${\displaystyle {\hat {O}}}$لكن مع عكس ترتيب العوامل (تذكر من ميكانيكا الكم البسيطة حيث ينعكس حاصل ضرب المؤثرات تحت الاقتران). نقوم بتقييم تأثير هذا المؤثر على حلقة ويلسون كحساب في تمثيل الاتصال، وإعادة ترتيب النتيجة كمعالجة تعتمد كليًا على الحلقات (يجب أن نتذكر أنه عند النظر في التأثير على حلقة ويلسون، يجب اختيار المؤثر المراد تحويله بترتيب عوامل معاكس للترتيب المختار لتأثيره على الدوال الموجية).${\displaystyle \Psi [A]}$).

أدى إدخال متغيرات أشتيكار إلى صياغة النسبية العامة بلغة مشتركة مع نظريات القياس. وعلى وجه الخصوص، كان عدم القدرة على التحكم الجيد في فضاء حلول قانون جاوس وقيود التماثل المكاني هو ما دفع روفيلي وسمولين إلى النظر في تمثيل جديد - تمثيل الحلقة. ^{[ 4 ]}

لمعالجة قيد التماثل المكاني، نحتاج إلى الانتقال إلى تمثيل الحلقة. ويوضح المنطق السابق المعنى الفيزيائي للمؤثر.${\displaystyle {\hat {O}}'}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$إذا كان هذا يتوافق مع تحويل مكاني، فيمكن اعتباره بمثابة الاحتفاظ بحقل الاتصال.${\displaystyle A}$ل${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$حيث يكون أثناء إجراء تحويل تماثلي مكاني على${\displaystyle \gamma }$بدلاً من ذلك. لذلك، فإن معنى${\displaystyle {\hat {O}}'}$هو تحويل مكاني على${\displaystyle \gamma }$، حجة${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

في تمثيل الحلقة، يمكننا بعد ذلك حل قيد التماثل المكاني من خلال النظر في دوال الحلقات.${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$التي تبقى ثابتة تحت التحويلات المكانية للحلقة${\displaystyle \gamma }$أي أننا نبني ما يسميه علماء الرياضيات ثوابت العقد . وقد فتح هذا الأمر صلة غير متوقعة بين نظرية العقد والجاذبية الكمومية.

أسهل كمية هندسية هي المساحة. لنختر إحداثيات بحيث يكون السطح${\displaystyle \Sigma }$يتميز بـ${\displaystyle x^{3}=0}$مساحة متوازي الأضلاع الصغير من السطح${\displaystyle \Sigma }$هو حاصل ضرب طول كل ضلع في${\displaystyle \sin \theta }$أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين الضلعين. لنفترض أن أحد الأضلاع مُعطى بالمتجه${\displaystyle {\vec {u}}}$والآخر بواسطة${\displaystyle {\vec {v}}}$ثم،

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

ومن هذا نحصل على مساحة السطح${\displaystyle \Sigma }$سيتم تقديمها من قبل

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

أين${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$وهو المحدد للمقياس المستحث على${\displaystyle \Sigma }$يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

الصيغة القياسية للمصفوفة العكسية هي

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

لاحظ التشابه بين هذا والتعبير الخاص بـ${\displaystyle \det q^{(2)}}$لكن في متغيرات أشتيكار لدينا${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$. لذلك،

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

وفقًا لقواعد التكميم المتعارف عليه، ينبغي علينا تعزيز الثلاثيات${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$إلى المؤثرات الكمومية،

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

اتضح أن المنطقة${\displaystyle A_{\Sigma }}$يمكن ترقيته إلى مؤثر كمومي محدد جيدًا على الرغم من أننا نتعامل مع حاصل ضرب مشتقين داليين، والأسوأ من ذلك أننا نتعامل مع جذر تربيعي أيضًا. ^{[ 5 ]} بوضع${\displaystyle N=2J}$نتحدث عن التواجد في التمثيل J. ونلاحظ أن${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$هذه الكمية مهمة في الصيغة النهائية لمساحة الطيف. نذكر النتيجة أدناه ببساطة.

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

حيث يكون المجموع على جميع الحواف${\displaystyle I}$من حلقة ويلسون التي تخترق السطح${\displaystyle \Sigma }$.

صيغة حساب حجم منطقة ما${\displaystyle R}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

تتم عملية تكميم الحجم بنفس طريقة تكميم المساحة. فعندما نشتق، وفي كل مرة نفعل ذلك، نخفض متجه المماس.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$عندما يؤثر عامل الحجم على حلقات ويلسون غير المتقاطعة، تتلاشى النتيجة. لذا، يجب أن تتضمن الحالات الكمومية ذات الحجم غير الصفري تقاطعات. وبما أن الجمع غير المتناظر مُستخدم في صيغة الحجم، فإننا نحتاج على الأقل إلى تقاطعات مع ثلاثة خطوط غير مستوية . في الواقع، يتضح أننا نحتاج على الأقل إلى رؤوس رباعية التكافؤ لكي يكون عامل الحجم غير صفري.

سندرس الآن حلقات ويلسون ذات التقاطعات. نفترض التمثيل الحقيقي حيث تكون مجموعة القياس هي${\displaystyle SU(2)}$تُعدّ حلقات ويلسون أساسًا مكتملًا، إذ توجد متطابقات تربط بين حلقات ويلسون المختلفة. وتنشأ هذه المتطابقات من كون حلقات ويلسون مبنية على المصفوفات (الهولونومية)، وهذه المصفوفات تحقق متطابقات تُعرف باسم متطابقات ماندلشتام. بفرض أي حلقتين${\displaystyle SU(2)}$المصفوفات${\displaystyle \mathbb {A} }$و${\displaystyle \mathbb {B} }$من السهل التحقق من ذلك،

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

وهذا يعني أنه بالنظر إلى حلقتين${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \eta }$عند تقاطع هذين الطرفين، سنحصل على

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

حيث${\displaystyle \eta ^{-1}}$نقصد الحلقة${\displaystyle \eta }$اجتاز في الاتجاه المعاكس و${\displaystyle \gamma \circ \eta }$يعني الحلقة التي يتم الحصول عليها من خلال الدوران حول الحلقة${\displaystyle \gamma }$ثم على طول${\displaystyle \eta }$انظر الشكل أدناه. يُطلق على هذا اسم متطابقة ماندلشتام من النوع الثاني. وهناك متطابقة ماندلشتام من النوع الأول.${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$. الشبكات الدورانية هي تركيبات خطية معينة من حلقات ويلسون المتقاطعة المصممة لمعالجة مشكلة الاكتمال الزائد التي أدخلتها متطابقات ماندلستام.

في الواقع، تشكل شبكات الدوران أساسًا لجميع الدوال الثابتة للمقياس والتي تقلل من درجة الإكمال الزائد لأساس الحلقة، وبالنسبة للتقاطعات ثلاثية التكافؤ، فإنها تقضي عليها تمامًا.

كما ذُكر سابقًا، يُحدد مفهوم الهولومترية كيفية انتشار جسيمات نصف اللف المغزلي الاختبارية. تُحدد حالة شبكة اللف المغزلي سعةً لمجموعة من جسيمات نصف اللف المغزلي التي ترسم مسارًا في الفضاء، وتندمج وتنقسم. ويتم وصف هذه الجسيمات بواسطة شبكات اللف المغزلي.${\displaystyle \gamma }$تُسمى الحواف باللف المغزلي، بالإضافة إلى "الوصلات المتشابكة" عند الرؤوس، والتي تُحدد كيفية جمع اللف المغزلي عبر الطرق المختلفة لإعادة توجيهه. وقد تم اختيار مجموع إعادة التوجيه بحيث يكون شكل الوصلة المتشابكة ثابتًا تحت تحويلات غاوس القياسية.

قدمت مجموعتان (ليواندوفسكي، أوكولوف، سالمان، وثيمان) [6] و(كريستيان فليشاك) [7] نظريات تثبت تفرد تمثيل الحلقة كما عرّفه أشتيكار وآخرون (أي تحقيق ملموس معين لفضاء هيلبرت والمؤثرات المرتبطة به التي تعيد إنتاج جبر الحلقة الصحيح - وهو التحقيق الذي كان الجميع يستخدمه) ^{. قبل إثبات} هذه النتيجة ^{، لم يكن معروفًا ما إذا كان من الممكن وجود أمثلة أخرى لفضاءات هيلبرت بمؤثرات تستخدم جبر الحلقة نفسه، أو تحقيقات أخرى غير مكافئة للتحقيق المستخدم حتى ذلك الحين} .