الجاذبية الكمومية الحلقية

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير المتخصصين ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( سبتمبر 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

‹ يتم النظر في دمج قالب How-to .› 

This article contains instructions, advice, or how-to content. Please help rewrite the content so that it is more encyclopedic or move it to Wikiversity, Wikibooks, or Wikivoyage. (May 2019)

Beyond the Standard Model
Simulated Large Hadron Collider CMS particle detector data depicting a Higgs boson produced by colliding protons decaying into hadron jets and electrons
Standard Model
Evidence Hierarchy problem Dark matter Dark energy Quintessence Phantom energy Dark radiation Dark photon Cosmological constant problem Strong CP problem Neutrino oscillation
Theories Brans–Dicke theory Cosmic censorship hypothesis Fifth force F-theory Theory of everything Unified field theory Grand Unified Theory Technicolor Kaluza–Klein theory 6D (2,0) superconformal field theory Noncommutative quantum field theory Quantum cosmology Brane cosmology String theory Superstring theory M-theory Mathematical universe hypothesis Mirror matter Randall–Sundrum model N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory Twistor string theory Dark fluid Doubly special relativity de Sitter invariant special relativity Causal fermion systems Black hole thermodynamics Unparticle physics Graviphoton Graviscalar Graviton Gravitino Massive gravity Gauge gravitation theory Gauge theory gravity CPT symmetry
Supersymmetry MSSM NMSSM Superstring theory M-theory Supergravity Supersymmetry breaking Extra dimensions Large extra dimensions
Quantum gravity False vacuum String theory Spin foam Quantum foam Quantum geometry Loop quantum gravity Quantum cosmology Loop quantum cosmology Causal dynamical triangulation Causal fermion systems Causal sets Canonical quantum gravity Semiclassical gravity Superfluid vacuum theory
Experiments ANNIE Gran Sasso INO LHC SNO Super-K Tevatron NOvA
v t e

الجاذبية الكمومية الحلقية ( LQG ) هي نظرية للجاذبية الكمومية تدمج مادة النموذج القياسي في الإطار الذي تم إنشاؤه لحالة الجاذبية الكمومية الجوهرية. إنها محاولة لتطوير نظرية كمية للجاذبية تعتمد بشكل مباشر على الصيغة الهندسية لألبرت أينشتاين بدلاً من معالجة الجاذبية كآلية غامضة (قوة). كنظرية، تفترض LQG أن بنية المكان والزمان تتكون من حلقات محدودة منسوجة في نسيج أو شبكة دقيقة للغاية. تسمى شبكات الحلقات هذه شبكات الدوران . إن تطور شبكة الدوران، أو رغوة الدوران ، له مقياس من مرتبة طول بلانك ، أي ما يقرب من 10 ⁻³⁵ مترًا، والمقاييس الأصغر لا معنى لها. وبالتالي، ليس المادة فقط، بل الفضاء نفسه، يفضل بنية ذرية.

تشترك مجالات البحث، التي تشمل حوالي 30 مجموعة بحثية في جميع أنحاء العالم، ^[1] في الافتراضات الفيزيائية الأساسية والوصف الرياضي للفضاء الكمومي. تطور البحث في اتجاهين: الجاذبية الكمومية الحلقية التقليدية الأكثر شيوعًا، والجاذبية الكمومية الحلقية المتغيرة الأحدث، والتي تسمى نظرية الرغوة الدورانية . تُسمى النظرية الأكثر تطورًا والتي تم طرحها كنتيجة مباشرة للجاذبية الكمومية الحلقية علم الكونيات الكمومي الحلقي (LQC). تقدم LQC دراسة الكون المبكر، وتدمج مفهوم الانفجار العظيم في النظرية الأوسع للارتداد الكبير ، والتي تتصور الانفجار العظيم باعتباره بداية لفترة من التوسع ، والتي تتبع فترة من الانكماش، والتي وُصفت بأنها الانقباض الكبير .

في عام 1986، أعاد أبهاي أشتيكار صياغة النسبية العامة لأينشتاين بلغة أقرب إلى لغة بقية الفيزياء الأساسية، وتحديدًا نظرية يانغ-ميلز . ^[2] بعد فترة وجيزة، أدرك تيد جاكوبسون ولي سمولين أن المعادلة الرسمية للجاذبية الكمومية، والتي تسمى معادلة ويلر-ديويت ، تقبل الحلول الموسومة بالحلقات عند إعادة كتابتها في متغيرات أشتيكار الجديدة . عرّف كارلو روفيلي وسمولين نظرية الجاذبية الكمومية غير المضطربة والمستقلة عن الخلفية من حيث حلول الحلقات هذه. أدرك خورخي بولين وجيرزي ليفاندوفسكي أن تقاطعات الحلقات ضرورية لاتساق النظرية، ويجب صياغة النظرية من حيث الحلقات المتقاطعة أو الرسوم البيانية .

في عام 1994، أظهر روفيلي وسمولين أن المشغلات الكمومية للنظرية المرتبطة بالمساحة والحجم لها طيف منفصل. ^[3] وهذا يعني أن الهندسة كمية. تحدد هذه النتيجة أساسًا واضحًا لحالات الهندسة الكمومية، والتي تبين أنها مُسمَّاة بشبكات الدوران الخاصة بروجرز بينروز ، وهي رسوم بيانية مُسمَّاة بالدوران .

تم تأسيس النسخة الكنسية للديناميكيات بواسطة توماس ثيمان، الذي حدد عامل هاملتوني خالٍ من الشذوذ وأظهر وجود نظرية مستقلة عن الخلفية متسقة رياضيًا. تم تطوير النسخة المتغيرة أو "رغوة الدوران" للديناميكيات بشكل مشترك على مدى عدة عقود من قبل مجموعات بحثية في فرنسا وكندا والمملكة المتحدة وبولندا وألمانيا. تم الانتهاء منها في عام 2008، مما أدى إلى تعريف عائلة من سعات الانتقال، والتي يمكن إظهارها في الحد الكلاسيكي على أنها مرتبطة بعائلة من اقتطاعات النسبية العامة. ^[4] تم إثبات محدودية هذه السعات في عام 2011. ^{[5] [6]} يتطلب وجود ثابت كوني موجب ، وهو ما يتوافق مع التسارع الملحوظ في توسع الكون .

إن نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية مستقلة رسميًا عن الخلفية ، وهذا يعني أن معادلات نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية ليست مدمجة في الزمان والمكان أو معتمدة عليهما (باستثناء طوبولوجيتها الثابتة). وبدلاً من ذلك، من المتوقع أن تؤدي إلى نشوء الزمان والمكان على مسافات تبلغ 10 أضعاف طول بلانك . لا تزال مسألة استقلال الخلفية في نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية تحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة التي لم يتم حلها. على سبيل المثال، تتطلب بعض الاشتقاقات اختيارًا ثابتًا للطوبولوجيا ، في حين يجب أن تتضمن أي نظرية كمية متسقة للجاذبية تغيير الطوبولوجيا كعملية ديناميكية. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن الزمكان باعتباره "حاوية" تجري عليها الفيزياء ليس له معنى فيزيائي موضوعي، وبدلاً من ذلك يتم تمثيل التفاعل الجاذبي باعتباره مجرد أحد المجالات التي تشكل العالم. وهذا ما يُعرف بالتفسير النسبي للزمكان. وفي نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية، يؤخذ هذا الجانب من النسبية العامة على محمل الجد، ويتم الحفاظ على هذا التناظر من خلال اشتراط بقاء الحالات الفيزيائية ثابتة تحت مولدات التماثلات التفاضلية . إن تفسير هذا الشرط مفهوم جيدًا للتماثلات التفاضلية المكانية البحتة . ومع ذلك، فإن فهم التماثلات التفاضلية التي تنطوي على الوقت ( قيد هاملتونيان ) أكثر دقة لأنه مرتبط بالديناميكيات وما يسمى " مشكلة الوقت " في النسبية العامة. ^[7] لم يتم العثور على إطار حسابي مقبول بشكل عام لتفسير هذا القيد حتى الآن. ^{[8] [9]} المرشح المعقول للقيد الكمومي هاملتونيان هو المشغل الذي قدمه ثيمان. ^[10]

تحدد القيود سطح قيد في فضاء الطور الأصلي. تنطبق حركات القياس الخاصة بالقيود على كل فضاء الطور ولكنها تتميز بأنها تترك سطح القيد حيث هو، وبالتالي فإن مدار نقطة في السطح الفائق تحت تحويلات القياس سيكون مدارًا بالكامل داخله. يتم تعريف ملاحظات ديراك على أنها وظائف فضاء الطور ، ، والتي تتبادلها بواسون مع جميع القيود عندما يتم فرض معادلات القيد، ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$

وهذا يعني أنها كميات محددة على سطح القيد والتي تظل ثابتة تحت تحويلات القياس للنظرية.

بعد ذلك، فإن حل القيد فقط وتحديد قابليات ديراك للملاحظة فيما يتعلق به يقودنا مرة أخرى إلى فضاء الطور أرنويت-ديزر-ميسنر (ADM) مع القيود . يتم توليد ديناميكيات النسبية العامة من خلال القيود، ويمكن إظهار أنه يمكن الحصول على ست معادلات أينشتاين تصف تطور الوقت (في الواقع تحويل مقياس) عن طريق حساب أقواس بواسون للقياس الثلاثي وزخمه المترافق مع تركيبة خطية من التماثل المكاني والقيد الهاميلتوني. اختفاء القيود، مما يعطي فضاء الطور الفيزيائي، هي معادلات أينشتاين الأربع الأخرى. ^[11]${\displaystyle G_{j}=0}$${\displaystyle H,C_{a}}$

تدور العديد من المشاكل التقنية في الجاذبية الكمومية التقليدية حول القيود. تم صياغة النسبية العامة التقليدية في الأصل من حيث المتغيرات المترية، ولكن يبدو أن هناك صعوبات رياضية لا يمكن التغلب عليها في تعزيز القيود على المشغلات الكمومية بسبب اعتمادها غير الخطي للغاية على المتغيرات التقليدية. تم تبسيط المعادلات بشكل كبير مع تقديم متغيرات أشتيكار الجديدة. تصف متغيرات أشتيكار النسبية العامة التقليدية من حيث زوج جديد من المتغيرات التقليدية أقرب إلى تلك الموجودة في نظريات القياس. تتكون الخطوة الأولى من استخدام ثلاثيات مكثفة (الثلاثية هي ببساطة ثلاثة حقول متجهة متعامدة يتم تمييزها بواسطة ويتم تعريف الثلاثية المكثفة بواسطة ) لتشفير المعلومات حول المقياس المكاني، ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle E_{i}^{a}}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$

(حيث هو مقياس الفضاء المسطح، والمعادلة أعلاه تعبر عن أن ، عند كتابتها من حيث الأساس ، تكون مسطحة محليًا). (لم يكن صياغة النسبية العامة باستخدام ثلاثيات بدلاً من المقاييس أمرًا جديدًا.) إن الثلاثيات المكثفة ليست فريدة من نوعها، وفي الواقع يمكن للمرء أن يؤدي دورانًا محليًا في الفضاء فيما يتعلق بالمؤشرات الداخلية . يرتبط المتغير المترافق بشكل قانوني بالانحناء الخارجي بواسطة . لكن المشاكل المشابهة لاستخدام الصيغة المترية تنشأ عندما يحاول المرء أن يكمم النظرية. كانت رؤية أشتيكار الجديدة هي تقديم متغير تكوين جديد، ${\displaystyle \delta ^{ij}}$${\displaystyle q^{ab}}$${\displaystyle E_{i}^{a}}$${\displaystyle i}$${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

الذي يتصرف كاتصال معقد حيث يرتبط بما يسمى باتصال الدوران عبر . هنا يسمى اتصال الدوران الكيرالي. وهو يحدد مشتقة متغيرة . اتضح أن هو الزخم المترافق لـ ، ويشكلان معًا متغيرات أشتيكار الجديدة. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

وتقرأ التعبيرات الخاصة بالقيود في متغيرات أشتيكار؛ نظرية جاوس، وقيد التماثل التفاضلي المكاني، وقيد هاميلتونيان (المكثف) على النحو التالي:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

على التوالي، حيث هو موتر قوة المجال للاتصال وحيث يشار إليه بقيد المتجه. إن الثبات الدوراني المحلي المذكور أعلاه في الفضاء هو الأصل لثبات القياس المعبر عنه هنا بواسطة نظرية جاوس. لاحظ أن هذه القيود متعددة الحدود في المتغيرات الأساسية، على عكس القيود في الصيغة المترية. يبدو أن هذا التبسيط الدرامي يفتح الطريق أمام كمية القيود. (انظر المقال إجراء بالاتيني المزدوج الذاتي لاستنتاج صيغة أشتيكار). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

مع متغيرات أشتيكار الجديدة، مع الأخذ في الاعتبار متغير التكوين ، فمن الطبيعي أن نأخذ في الاعتبار الدوال الموجية . هذا هو تمثيل الاتصال. وهو مماثل لميكانيكا الكم العادية مع متغير التكوين والدوال الموجية . يتم ترقية متغير التكوين إلى عامل كمي عبر: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(على غرار ) والثالوثات هي مشتقات (وظيفية)، ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$

(مشابه لـ ). عند الانتقال إلى نظرية الكم، تصبح القيود عوامل تشغيل على فضاء هيلبرت الحركي ( فضاء هيلبرت يانغ-ميلز غير المقيد). لاحظ أن الترتيب المختلف لـ s و s عند استبدال s بمشتقات يؤدي إلى ظهور عوامل تشغيل مختلفة - يُطلق على الاختيار الذي تم إجراؤه ترتيب العوامل ويجب اختياره من خلال التفكير الفيزيائي. رسميًا، يقرأون ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$

لا تزال هناك مشاكل في تحديد كل هذه المعادلات وحلها بشكل صحيح. على سبيل المثال، كان قيد هاميلتونيان الذي عمل عليه أشتيكار هو النسخة المكثفة بدلاً من القيد الهاميلتوني الأصلي، أي أنه عمل مع . كانت هناك صعوبات خطيرة في ترقية هذه الكمية إلى عامل كمي. علاوة على ذلك، على الرغم من أن متغيرات أشتيكار كانت تتمتع بفضيلة تبسيط القيد الهاميلتوني، إلا أنها معقدة. عندما يقوم المرء بتكميم النظرية، فمن الصعب ضمان استعادة النسبية العامة الحقيقية بدلاً من النسبية العامة المعقدة. ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

النتيجة الكلاسيكية لقوس بواسون لقانون جاوس الملطخ بالارتباطات هي ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

ينص قانون جاوس الكمومي على ما يلي:

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

إذا قمنا بتلطيخ قانون جاوس الكمي ودراسة تأثيره على الحالة الكمومية، فسوف نجد أن تأثير القيد على الحالة الكمومية يعادل تحويل وسيطة بواسطة تحويل مقياس لانهائي في الصغر (بمعنى أن المعامل صغير)، ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

والهوية الأخيرة تأتي من حقيقة أن القيد يلغي الحالة. لذا فإن القيد، باعتباره عاملاً كميًا، يفرض نفس التناظر الذي فرضه اختفاؤه كلاسيكيًا: فهو يخبرنا بأن الدوال يجب أن تكون دوال ثابتة للقياس في الاتصال. والفكرة نفسها صحيحة بالنسبة للقيود الأخرى. ${\displaystyle \Psi [A]}$

لذلك، يتم استبدال عملية الخطوتين في النظرية الكلاسيكية لحل القيود (المكافئة لحل شروط القبول للبيانات الأولية) والبحث عن مدارات القياس (حل معادلات "التطور") بعملية من خطوة واحدة في نظرية الكم، وهي البحث عن حلول لمعادلات الكم . وذلك لأنها تحل القيد على المستوى الكمومي وتبحث في نفس الوقت عن الحالات التي لا تتغير مع القياس لأنها المولد الكمومي لتحويلات القياس (الدوال الثابتة مع القياس ثابتة على طول مدارات القياس وبالتالي تميزها). ^[12] تذكر أنه على المستوى الكلاسيكي، كان حل شروط القبول ومعادلات التطور مكافئًا لحل جميع معادلات مجال أينشتاين، وهذا يؤكد الدور المركزي لمعادلات القيد الكمومي في الجاذبية الكمومية التقليدية. ${\displaystyle C_{I}=0}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

كان عدم القدرة على التحكم الجيد في مساحة الحلول لقانون جاوس وقيود التباين المكاني هو السبب الذي دفع روفيلي وسمولين إلى التفكير في تمثيل الحلقة في نظريات القياس والجاذبية الكمومية . ^[13]

يتضمن LQG مفهوم holonomy . holonomy هو مقياس لمدى اختلاف القيم الأولية والنهائية لمحور أو متجه بعد النقل الموازي حول حلقة مغلقة؛ يتم الإشارة إليه

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

إن معرفة المجسمات المتماثلة تعادل معرفة الاتصال، حتى تكافؤ القياس. يمكن أيضًا ربط المجسمات المتماثلة بحافة؛ بموجب قانون جاوس، تتحول هذه المجسمات إلى

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

بالنسبة للحلقة المغلقة وعلى افتراض أن ، ينتج ${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

أو

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

تم كتابة أثر الهولونومي حول حلقة مغلقة

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

وتسمى حلقة ويلسون. وبالتالي فإن حلقات ويلسون لا تتغير مع مرور الزمن. الشكل الصريح لـ Holonomy هو

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

حيث هو المنحنى الذي يتم على طوله تقييم الهولونومي، و هو معلمة على طول المنحنى، يدل على ترتيب المسار ومعنى العوامل للقيم الأصغر لـ تظهر على اليسار، و هي مصفوفات تلبي الجبر ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$

تُرضي مصفوفات باولي العلاقة المذكورة أعلاه. اتضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأمثلة لمجموعات المصفوفات التي تُرضي هذه العلاقات، حيث تتألف كل مجموعة من مصفوفات ذات ، ولا يمكن التفكير في أي منها على أنها "تتحلل" إلى مثالين أو أكثر من الأبعاد الأدنى. تُسمى هذه التمثيلات تمثيلات مختلفة غير قابلة للاختزال للجبر . التمثيل الأكثر جوهرية هو مصفوفات باولي. يتم تمييز المجسم بنصف عدد صحيح وفقًا للتمثيل غير القابل للاختزال المستخدم. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle N/2}$

إن استخدام حلقات ويلسون يحل بشكل صريح قيد مقياس جاوس. يلزم تمثيل الحلقة للتعامل مع قيد التماثل المكاني. مع حلقات ويلسون كأساس، يتم توسيع أي دالة ثابتة لمقياس جاوس على النحو التالي،

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

يُطلق على هذا تحويل الحلقة وهو مماثل لتمثيل الزخم في ميكانيكا الكم (انظر فضاء الموضع والزخم ). يعتمد تمثيل ميكانيكا الكم على أساس الحالات التي يتم تمييزها برقم ويتوسع على النحو التالي: ${\displaystyle \exp(ikx)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

ويعمل مع معاملات التوسع${\displaystyle \psi (k).}$

يتم تعريف تحويل الحلقة العكسية بواسطة

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

يحدد هذا تمثيل الحلقة. مع الأخذ في الاعتبار عاملًا في تمثيل الاتصال، ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

ينبغي تعريف المشغل المقابل في تمثيل الحلقة عبر، ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

حيث يتم تعريفه بواسطة تحويل الحلقة العكسية المعتاد، ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

يتم بعد ذلك الحصول على صيغة تحويل تعطي فعل العامل على من حيث فعل العامل على عن طريق مساواة الطرف الأيمن لـ مع الطرف الأيمن لـ مع الاستبدال في ، أي ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle Eq\;2}$${\displaystyle Eq\;3}$${\displaystyle Eq\;1}$${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

أو

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

حيث تعني المشغل ولكن مع ترتيب العوامل العكسي (تذكر من ميكانيكا الكم البسيطة حيث يتم عكس حاصل ضرب المشغلات تحت الاقتران). يتم تقييم عمل هذا المشغل على حلقة ويلسون كحساب في تمثيل الاتصال ويتم إعادة ترتيب النتيجة بحتة كتلاعب من حيث الحلقات (فيما يتعلق بالعمل على حلقة ويلسون، فإن المشغل المحول المختار هو الذي له ترتيب العوامل المعاكس مقارنة بالمشغل المستخدم لعمله على الدوال الموجية ). وهذا يعطي المعنى الفيزيائي للمشغل . على سبيل المثال، إذا كان يتوافق مع التماثل المكاني، فيمكن اعتبار هذا بمثابة الاحتفاظ بحقل الاتصال حيث هو أثناء إجراء التماثل المكاني على بدلاً من ذلك. لذلك، فإن معنى هو التماثل المكاني على ، حجة . ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

في تمثيل الحلقة، يتم حل قيد التباين المكاني من خلال النظر في وظائف الحلقات التي لا تتغير تحت التباين المكاني للحلقة . أي أنه يتم استخدام ثوابت العقدة . وهذا يفتح اتصالاً غير متوقع بين نظرية العقدة والجاذبية الكمومية. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle \gamma }$

أي مجموعة من حلقات ويلسون غير المتقاطعة تلبي قيد هاملتون الكمي لأشتيكار. باستخدام ترتيب معين للمصطلحات والاستبدال بمشتق، يكون تأثير قيد هاملتون الكمي على حلقة ويلسون ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$

عندما يتم أخذ مشتقة، فإنها تخفض متجه الظل، ، للحلقة، . لذا، ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$

ومع ذلك، كما هو مضاد للتناظر في المؤشرات وهذا يختفي (هذا يفترض أنه ليس غير متصل في أي مكان وبالتالي فإن المتجه المماس فريد). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \gamma }$

فيما يتعلق بتمثيل الحلقة، تختفي الدوال الموجية عندما تحتوي الحلقة على انقطاعات وتكون ثابتة العقدة. تحل مثل هذه الدوال قانون جاوس وقيد التماثل المكاني و(رسميًا) قيد هاملتونيان. وهذا يعطي مجموعة لا نهائية من الحلول الدقيقة (ولو كانت شكلية فقط) لجميع معادلات النسبية العامة الكمومية! ^[13] وقد أثار هذا قدرًا كبيرًا من الاهتمام بهذا النهج وأدى في النهاية إلى LQG. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

أسهل كمية هندسية هي المساحة. دعنا نختار إحداثيات بحيث يتميز السطح بـ . مساحة متوازي الأضلاع الصغير للسطح هي حاصل ضرب طول كل ضلع في حيث هي الزاوية بين الضلعين. لنفترض أن أحد الضلعين يعطى بالمتجه والآخر بواسطة ، ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{3}=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

في المساحة الممتدة بواسطة و يوجد متوازي أضلاع لانهائي الصغر موصوف بواسطة و . باستخدام (حيث المؤشرات و تعمل من 1 إلى 2)، نحصل على مساحة السطح المعطاة بواسطة ${\displaystyle x^{1}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$

حيث و هو المحدد للمقياس المستحث على . يمكن إعادة كتابة الأخير حيث تنتقل المؤشرات من 1 إلى 2. يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

الصيغة القياسية للمصفوفة العكسية هي

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$

هناك تشابه بين هذا والتعبير عن . ولكن في متغيرات أشتيكار، . لذلك، ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

وفقًا لقواعد التكميم القياسي، يجب ترقية الثلاثيات إلى مشغلات كمية، ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

يمكن ترقية المنطقة إلى عامل كمي محدد جيدًا على الرغم من حقيقة أنها تحتوي على حاصل ضرب مشتقتين وظيفيتين وجذر تربيعي. ^[14] بوضع ( التمثيل -th)، ${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle N=2J}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$

هذه الكمية مهمة في الصيغة النهائية لطيف المساحة. والنتيجة هي

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

حيث يكون المجموع على جميع حواف حلقة ويلسون التي تخترق السطح . ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

صيغة حجم المنطقة تعطى بواسطة ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

تتم عملية تكميم الحجم بنفس الطريقة كما هو الحال مع المساحة. في كل مرة يتم فيها أخذ المشتق، فإنه يخفض متجه المماس ، وعندما يعمل عامل الحجم على حلقات ويلسون غير المتقاطعة، تختفي النتيجة. لذلك، يجب أن تنطوي الحالات الكمية ذات الحجم غير الصفري على تقاطعات. ونظرًا لأن الجمع غير المتماثل قد تم تبنيه في صيغة الحجم، فإنه يحتاج إلى تقاطعات مع ثلاثة خطوط غير مستوية على الأقل . هناك حاجة إلى أربع رؤوس ذات تكافؤ على الأقل حتى يكون عامل الحجم غير متلاشي. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

بافتراض التمثيل الحقيقي حيث تكون مجموعة القياس ، فإن حلقات ويلسون هي أساس مكتمل بشكل زائد حيث توجد هويات تربط بين حلقات ويلسون المختلفة. يحدث هذا لأن حلقات ويلسون تعتمد على مصفوفات (الهولونومي) وهذه المصفوفات تلبي الهويات. مع الأخذ في الاعتبار أي مصفوفتين و ، ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

وهذا يعني أنه إذا أعطينا حلقتين وتقاطعتا ، ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

حيث نعني بذلك الحلقة التي تم اجتيازها في الاتجاه المعاكس ويعني الحلقة التي تم الحصول عليها بالمرور حول الحلقة ثم على طول . انظر الشكل أدناه. ونظرًا لأن المصفوفات وحدوية، فإن لدينا أن . ونظرًا أيضًا للخاصية الدورية لآثار المصفوفة (أي ) فإن لدينا أن . ويمكن دمج هذه الهويات مع بعضها البعض في هويات أخرى ذات تعقيد متزايد بإضافة المزيد من الحلقات. هذه الهويات هي ما يسمى بهويات ماندلستام. شبكات الدوران هي بالتأكيد تركيبات خطية لحلقات ويلسون المتقاطعة المصممة لمعالجة الإفراط في الاكتمال الذي قدمته هويات ماندلستام (بالنسبة للتقاطعات الثلاثية التكافؤ فإنها تقضي على الإفراط في الاكتمال تمامًا) وتشكل في الواقع أساسًا لجميع الدوال الثابتة للمقياس. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma \circ \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$

كما ذكرنا أعلاه، فإن علم الهولونوميا يخبرنا بكيفية نشر نصف جسيمات الدوران الاختباري. تحدد حالة شبكة الدوران سعة لمجموعة من نصف جسيمات الدوران التي ترسم مسارًا في الفضاء، وتندمج وتنقسم. يتم وصفها بواسطة شبكات الدوران : يتم تمييز الحواف بالدوران مع "متشابكات" عند الرؤوس والتي تعد وصفة لكيفية الجمع على طرق مختلفة لإعادة توجيه الدورات. يتم اختيار المجموع على إعادة التوجيه على هذا النحو لجعل شكل المتشابك ثابتًا تحت تحويلات مقياس جاوس. ${\displaystyle \gamma }$

في التاريخ الطويل للجاذبية الكمومية التقليدية، كان صياغة قيد هاملتون كمشغل كمي ( معادلة ويلر-ديويت ) بطريقة رياضية صارمة مشكلة هائلة. وفي عام 1996، تم صياغة قيد هاملتون محدد رياضيًا بشكل جيد في تمثيل الحلقة. ^[10] نترك المزيد من التفاصيل حول بنائه لمقال قيد هاملتون لـ LQG . هذا جنبًا إلى جنب مع الإصدارات الكمومية لقانون جاوس وقيود التفاضل المكاني المكتوبة في تمثيل الحلقة هي المعادلات المركزية لـ LQG (النسبية العامة الكمومية التقليدية الحديثة).

إن العثور على الحالات التي يتم إبادتها بواسطة هذه القيود (الحالات الفيزيائية)، والعثور على المنتج الداخلي الفيزيائي المقابل، والقابل للملاحظة هو الهدف الرئيسي للجانب التقني من LQG.

من الجوانب المهمة لمشغل هاملتون أنه يعمل فقط عند الرؤوس (نتيجة لهذا فإن مشغل ثيمان هاملتون، مثل مشغل أشتيكار، يدمر الحلقات غير المتقاطعة إلا أنه الآن ليس شكليًا فقط وله معنى رياضي صارم). وبشكل أكثر دقة، فإن عمله ليس صفرًا على الأقل عند رؤوس التكافؤ الثلاثة أو أكبر وينتج عنه تركيبة خطية من شبكات الدوران الجديدة حيث تم تعديل الرسم البياني الأصلي عن طريق إضافة خطوط عند كل رأس معًا وتغيير في تسميات الروابط المجاورة للرأس. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن أحد التحديات المهمة في الفيزياء النظرية يكمن في توحيد نظرية الجاذبية الكمومية، وهي نظرية الزمكان الكمومي، مع النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات، الذي يصف القوى الأساسية والجسيمات. ومن بين العوائق الرئيسية في هذا المسعى مشكلة مضاعفة الفرميونات ، والتي تنشأ عند دمج الفرميونات الكيرالية في إطار نظرية الجاذبية الكمومية.

الفرميونات الكيرالية، مثل الإلكترونات والكوراكات، هي جسيمات أساسية تتميز بـ "اليد" أو الكيرالية. وتنص هذه الخاصية على أن الجسيم وصورته المرآتية يتصرفان بشكل مختلف في ظل التفاعلات الضعيفة. وهذا التباين أساسي لنجاح النموذج القياسي في تفسير العديد من الظواهر الفيزيائية.

ومع ذلك، فإن محاولات دمج الفرميونات الكيرالية في نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية غالبًا ما تؤدي إلى ظهور جسيمات زائفة تشبه المرآة. فبدلاً من وجود فرميون واحد أعسر، على سبيل المثال، تتنبأ النظرية بوجود نسخة يسرى وأخرى يمنى. ^[15] يتناقض هذا "الازدواجية" مع الكيرالية المرصودة في النموذج القياسي ويعطل قدرته التنبؤية.

تشكل مشكلة مضاعفة الفرميونات عقبة كبيرة في بناء نظرية متسقة للجاذبية الكمية. تعتمد دقة النموذج القياسي في وصف الكون على أصغر المقاييس بشكل كبير على الخصائص الفريدة للفرميونات الكيرالية. وفي غياب حل لهذه المشكلة، يظل دمج المادة وتفاعلاتها في إطار موحد للجاذبية الكمية يشكل تحديًا كبيرًا.

ولذلك، فإن حل مشكلة مضاعفة الفرميون أمر بالغ الأهمية لتعزيز فهمنا للكون على المستوى الأكثر جوهرية وتطوير نظرية كاملة توحد الجاذبية مع العالم الكمومي.

في الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG)، تمثل شبكة الدوران "حالة كمية" للحقل الجاذبي على سطح فائق ثلاثي الأبعاد . مجموعة جميع شبكات الدوران الممكنة (أو بشكل أكثر دقة، "عقدة s" - أي فئات التكافؤ لشبكات الدوران تحت التماثلات التفاضلية) قابلة للعد؛ فهي تشكل أساس فضاء هيلبرت في الجاذبية الكمومية الحلقية .

في الفيزياء، الرغوة المغزلية هي بنية طوبولجية مكونة من وجوه ثنائية الأبعاد تمثل أحد التكوينات التي يجب جمعها للحصول على وصف تكامل مسار فاينمان (التكامل الوظيفي) للجاذبية الكمومية. وهي وثيقة الصلة بالجاذبية الكمومية الحلقية.

في هذا القسم، انظر ^[16] والمراجع الواردة فيه. يولد القيد الهاميلتوني تطورًا "زمنيًا". يجب أن يخبرنا حل القيد الهاميلتوني كيف تتطور الحالات الكمية في "الزمن" من حالة شبكة الدوران الأولية إلى حالة شبكة الدوران النهائية. يبدأ أحد الأساليب لحل القيد الهاميلتوني بما يسمى دالة دلتا ديراك . يمكن تصور مجموعها على تسلسلات مختلفة من الإجراءات كمجموع على تواريخ مختلفة من "رؤوس التفاعل" في تطور "الزمن" لإرسال شبكة الدوران الأولية إلى شبكة الدوران النهائية. في كل مرة يتصرف فيها عامل هاميلتوني، فإنه يفعل ذلك عن طريق إضافة حافة جديدة عند الرأس.

يؤدي هذا بطبيعة الحال إلى ظهور المركبين (مجموعة تركيبية من الوجوه التي تنضم على طول الحواف، والتي تنضم بدورها على الرؤوس) التي تكمن وراء وصف رغوة الدوران؛ نتطور إلى الأمام بشبكة دوران أولية تكتسح سطحًا، ويتمثل عمل مشغل القيد الهاميلتوني في إنتاج سطح مستوٍ جديد يبدأ من الرأس. نتمكن من استخدام عمل القيد الهاميلتوني على رأس حالة شبكة الدوران لربط سعة بكل "تفاعل" (على غرار مخططات فاينمان ). انظر الشكل أدناه. يفتح هذا طريقة لمحاولة ربط LQG القياسي مباشرة بوصف تكامل المسار. تمامًا كما تصف شبكات الدوران الفضاء الكمومي، فإن كل تكوين يساهم في تكاملات المسار هذه، أو المجاميع على مدار التاريخ، يصف "الزمكان الكمومي". ونظرًا لتشابهها مع رغوة الصابون والطريقة التي يتم تسميتها بها، أطلق جون بايز على هذه "الزمكانات الكمومية" اسم "رغوة الدوران".

ومع ذلك، هناك صعوبات شديدة مع هذا النهج المعين، على سبيل المثال، لا يكون عامل هاملتون مترافقًا ذاتيًا، بل إنه ليس حتى عاملًا طبيعيًا (أي أن العامل لا يتبادل مع مرافقه) وبالتالي لا يمكن استخدام نظرية الطيف لتحديد الأسي بشكل عام. المشكلة الأكثر خطورة هي أن 's لا تتبادل مع بعضها البعض، ومن ثم يمكن إظهار أن الكمية الرسمية لا يمكنها حتى تعريف جهاز إسقاط (معمم). لا يعاني القيد الرئيسي (انظر أدناه) من هذه المشاكل وبالتالي يوفر طريقة لربط النظرية الكنسية بصيغة التكامل المساري. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

اتضح أن هناك طرقًا بديلة لصياغة تكامل المسار، إلا أن ارتباطها بالشكلية الهاميلتونية أقل وضوحًا. إحدى الطرق هي البدء بنظرية BF . هذه نظرية أبسط من النسبية العامة، ولا تحتوي على درجات حرية محلية وبالتالي تعتمد فقط على الجوانب الطوبولوجية للحقول. نظرية BF هي ما يُعرف بنظرية المجال الطوبولوجي . ومن المدهش أنه اتضح أنه يمكن الحصول على النسبية العامة من نظرية BF من خلال فرض قيد، ^[17] تتضمن نظرية BF مجالًا وإذا اختار المرء أن يكون المجال هو حاصل الضرب (غير المتماثل) لرباعيين ${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$

(تشبه الرباعيات الثلاثيات ولكن في أربعة أبعاد مكانية زمانية)، يستعيد المرء النسبية العامة. يُطلق على الشرط الذي يعطى المجال من خلال حاصل ضرب رباعيتين قيد البساطة. إن ديناميكيات رغوة الدوران لنظرية المجال الطوبولوجي مفهومة جيدًا. بالنظر إلى سعات "تفاعل" رغوة الدوران لهذه النظرية البسيطة، يحاول المرء بعد ذلك تنفيذ شروط البساطة للحصول على تكامل المسار للنسبية العامة. ثم يتم تقليص المهمة غير التافهة المتمثلة في بناء نموذج رغوة الدوران إلى مسألة كيفية فرض قيد البساطة هذا في نظرية الكم. كانت المحاولة الأولى لهذا هي نموذج باريت-كرين الشهير . ^[18] ومع ذلك، فقد ثبت أن هذا النموذج يمثل مشكلة، على سبيل المثال لم يكن هناك ما يكفي من درجات الحرية لضمان الحد الكلاسيكي الصحيح. ^[19] لقد قيل إن قيد البساطة فُرض بقوة شديدة على المستوى الكمومي ويجب فرضه فقط بمعنى قيم التوقع كما هو الحال مع شرط مقياس لورينز في صيغة جوبتا-بلويلر للديناميكا الكهربائية الكمومية . وقد تم طرح نماذج جديدة الآن، مدفوعة أحيانًا بفرض شروط البساطة بمعنى أضعف. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

هناك صعوبة أخرى هنا وهي أن الرغوة الدورانية يتم تعريفها على أساس تقسيم الزمكان. وفي حين أن هذا لا يمثل أي مشكلة بالنسبة لنظرية المجال الطوبولوجي حيث لا تحتوي على درجات محلية من الحرية، فإنه يمثل مشاكل بالنسبة لنظرية النسبية العامة. وهذا ما يُعرف باسم مشكلة الاعتماد على التثليث.

وكما أن فرض قيد البساطة الكلاسيكية يستعيد النسبية العامة من نظرية الجاذبية الكمية، فمن المتوقع أن قيد البساطة الكمية المناسب سوف يستعيد الجاذبية الكمية من نظرية الجاذبية الكمية.

لقد تم تحقيق تقدم فيما يتعلق بهذه القضية من قبل إنجل، وبيريرا، وروفيلي، ^[20] وفريدل وكراسنوف ^[21] وليفين وسبيزيالي ^[22] في تحديد سعة تفاعل الرغوة الدورانية ذات السلوك الأفضل.

لقد تم إجراء محاولة لإنشاء اتصال بين رغوة الدوران EPRL-FK والصيغة التقليدية لـ LQG. ^[23]

انظر أدناه.

الحد الكلاسيكي هو قدرة النظرية الفيزيائية على تقريب الميكانيكا الكلاسيكية. يتم استخدامه مع النظريات الفيزيائية التي تتنبأ بالسلوك غير الكلاسيكي. ^{[ بحاجة لمصدر ]} يجب أن تكون أي نظرية مرشحة للجاذبية الكمومية قادرة على إعادة إنتاج نظرية أينشتاين للنسبية العامة كحد كلاسيكي لنظرية الكم . هذا غير مضمون بسبب سمة من سمات نظريات المجال الكمومي وهي أن لديها قطاعات مختلفة، وهي تشبه المراحل المختلفة التي تحدث في الحد الديناميكي الحراري للأنظمة الإحصائية. تمامًا كما تختلف المراحل المختلفة فيزيائيًا، فإن القطاعات المختلفة لنظرية المجال الكمومي مختلفة أيضًا. قد يتبين أن LQG تنتمي إلى قطاع غير فيزيائي - قطاع لا يستعيد فيه المرء النسبية العامة في الحد شبه الكلاسيكي أو قد لا يكون هناك أي قطاع فيزيائي.

علاوة على ذلك، يجب أن تحتوي فضاء هيلبرت الفيزيائي على حالات شبه كلاسيكية كافية لضمان أن النظرية الكمومية التي تم الحصول عليها يمكن أن تعود إلى النظرية الكلاسيكية عند تجنب الشذوذ الكمومي ؛ وإلا ستكون هناك قيود على فضاء هيلبرت الفيزيائي ليس لها نظير في النظرية الكلاسيكية، مما يعني أن النظرية الكمومية لديها درجات حرية أقل من النظرية الكلاسيكية. ${\displaystyle H_{phys}}$${\displaystyle \hbar \to 0}$

تم تقديم النظريات التي تثبت تفرد تمثيل الحلقة كما حدده أشتيكار وآخرون (أي تحقيق ملموس معين لمساحة هيلبرت والمشغلات المرتبطة التي تعيد إنتاج جبر الحلقة الصحيح) من قبل مجموعتين (ليفاندوفسكي وأوكولو وسالمان وثيمان؛ ^[24] وكريستيان فليشاك ^[25] ). قبل إثبات هذه النتيجة، لم يكن معروفًا ما إذا كان يمكن أن تكون هناك أمثلة أخرى لمساحات هيلبرت مع مشغلين يستدعون نفس جبر الحلقة - تحقيقات أخرى غير مكافئة لتلك التي تم استخدامها. تشير نظريات التفرد هذه إلى عدم وجود أي نظريات أخرى، لذلك إذا لم يكن لـ LQG الحد شبه الكلاسيكي الصحيح، فإن النظريات تعني نهاية تمثيل الحلقة للجاذبية الكمومية.

هناك عدد من الصعوبات في محاولة إثبات نظرية LQG التي تعطي نظرية أينشتاين للنسبية العامة في الحد شبه الكلاسيكي:

1. لا يوجد عامل يتوافق مع التماثلات المكانية اللانهائية في الصغر (ليس من المستغرب أن النظرية لا تحتوي على مولد "ترجمات" مكانية لانهائية في الصغر لأنها تتنبأ بأن الهندسة المكانية لها طبيعة منفصلة، ​​مقارنة بالوضع في المادة المكثفة). بدلاً من ذلك، يجب تقريبها من خلال التماثلات المكانية المحدودة وبالتالي فإن بنية قوس بواسون للنظرية الكلاسيكية لا يمكن إعادة إنتاجها بدقة. يمكن التغلب على هذه المشكلة من خلال تقديم ما يسمى بالقيد الرئيسي (انظر أدناه). ^[26]
2. هناك مشكلة التوفيق بين الطبيعة التركيبية المنفصلة للحالات الكمومية والطبيعة المستمرة لحقول النظرية الكلاسيكية.
3. هناك صعوبات خطيرة تنشأ عن بنية أقواس بواسون التي تنطوي على التماثل المكاني والقيود الهاميلتونية. وعلى وجه الخصوص، فإن جبر القيود الهاميلتونية (الملطخة) لا يغلق: فهو يتناسب مع مجموع التماثل المكاني اللامتناهي الصغر (والذي، كما ذكر أعلاه، لا وجود له في نظرية الكم) حيث معاملات التناسب ليست ثابتة ولكنها تعتمد على فضاء الطور غير التافه - وبالتالي فهي لا تشكل جبر لاي . ومع ذلك، يتحسن الوضع من خلال إدخال القيد الرئيسي. ^[26]
4. إن الآلية شبه الكلاسيكية التي تم تطويرها حتى الآن مناسبة فقط للمشغلات غير المتغيرة للرسم البياني، ومع ذلك، فإن قيد هاميلتون لثيمان هو مشغل يغير الرسم البياني - الرسم البياني الجديد الذي يولد لديه درجات من الحرية لا تعتمد عليها الحالة المتماسكة وبالتالي لا يتم قمع تقلباتها الكمية. هناك أيضًا قيد، حتى الآن، مفاده أن هذه الحالات المتماسكة محددة فقط على المستوى الحركي، والآن يتعين على المرء رفعها إلى مستوى و . يمكن إظهار أن قيد هاميلتون لثيمان مطلوب أن يكون متغيرًا للرسم البياني لحل المشكلة 3 بمعنى ما. ومع ذلك، فإن جبر القيد الرئيسي تافه وبالتالي يمكن رفع الشرط بأن يكون متغيرًا للرسم البياني وقد تم بالفعل تعريف مشغلات القيد الرئيسي غير المتغيرة للرسم البياني. وبقدر ما هو معروف حاليًا، لا تزال هذه المشكلة بعيدة المنال.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$
5. إن صياغة الملاحظات للنسبية العامة الكلاسيكية تشكل مشكلة هائلة بسبب طبيعتها غير الخطية وثبات التباين المكاني الزمني. وقد تم مؤخرًا تطوير مخطط تقريب منهجي لحساب الملاحظات. ^{[27] [28]}

لا ينبغي الخلط بين الصعوبات التي تنشأ عند محاولة فحص الحد شبه الكلاسيكي للنظرية وبين وجود الحد شبه الكلاسيكي الخاطئ لها.

فيما يتعلق بالمسألة رقم 2 أعلاه، ضع في اعتبارك ما يسمى بحالات النسيج. القياسات العادية للكميات الهندسية تكون على مستوى العيانية، ويتم تنعيم الانفصال البلانكي. نسيج القميص مماثل: فهو على مسافة سطح منحني أملس ثنائي الأبعاد، ولكن عند الفحص الدقيق نرى أنه يتكون في الواقع من آلاف الخيوط المرتبطة أحادية البعد. صورة الفضاء المعطاة في LQG مماثلة. ضع في اعتبارك شبكة دوران كبيرة مكونة من عدد كبير من العقد والروابط، كل منها بمقياس بلانك . عند فحصها على نطاق عياني، تظهر كهندسة مترية مستمرة ثلاثية الأبعاد.

للتواصل مع فيزياء الطاقة المنخفضة، من الضروري تطوير مخططات تقريب لكل من المنتج الداخلي الفيزيائي وملاحظات ديراك؛ يمكن اعتبار نماذج الرغوة الدورانية التي تمت دراستها بشكل مكثف بمثابة طرق نحو مخططات تقريب لهذا المنتج الداخلي الفيزيائي.

تبنى ماركوبولو وآخرون فكرة الأنظمة الفرعية الخالية من الضوضاء في محاولة لحل مشكلة حد الطاقة المنخفضة في نظريات الجاذبية الكمومية المستقلة عن الخلفية. ^{[29] [30]} وقد أدت الفكرة إلى إمكانية تحديد مادة النموذج القياسي بدرجات الحرية الناشئة من بعض إصدارات LQG (انظر القسم أدناه: LQG وبرامج البحث ذات الصلة ).

كما أكد وايتمان في الخمسينيات من القرن العشرين، في نظرية مينكوفسكي للمجال الكمومي، تكون وظائف النقاط ${\displaystyle n-}$

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$

تحديد النظرية بشكل كامل. على وجه الخصوص، يمكن للمرء أن يحسب سعات التشتت من هذه الكميات. كما هو موضح أدناه في القسم الخاص بسعات التشتت المستقلة عن الخلفية ، في سياق الخلفية المستقلة، تشير الدوال النقطية إلى حالة وفي الجاذبية يمكن لهذه الحالة أن تشفر بشكل طبيعي معلومات حول هندسة معينة والتي يمكن أن تظهر بعد ذلك في تعبيرات هذه الكميات. بالنسبة للترتيب الرائد، فقد ثبت أن حسابات LQG تتفق بمعنى مناسب مع الدوال النقطية المحسوبة في النسبية العامة الكمومية منخفضة الطاقة الفعالة. ${\displaystyle n-}$${\displaystyle n-}$

تم اقتراح برنامج القيود الرئيسية لثيمان لجاذبية الكم الحلقية (LQG) كطريقة مكافئة كلاسيكية لفرض العدد اللانهائي من معادلات القيود الهاميلتونية من حيث قيد رئيسي واحد ، والذي يتضمن مربع القيود المعنية. كان الاعتراض الأولي على استخدام القيد الرئيسي هو أنه للوهلة الأولى لا يبدو أنه يشفر معلومات حول القابلات للملاحظة؛ لأن القيد الرئيسي تربيعي في القيد، فعندما يحسب المرء قوس بواسون الخاص به بأي كمية، تكون النتيجة متناسبة مع القيد، وبالتالي يختفي عندما يتم فرض القيود وبالتالي لا يختار وظائف فضاء الطور المعينة. ومع ذلك، فقد أدرك أن الشرط ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$

حيث تكون دالة قابلة للاشتقاق مرتين على الأقل في فضاء الطور تعادل كونها قابلة للملاحظة ضعيفة وفقًا لـ Dirac فيما يتعلق بالقيود المعنية. لذا فإن القيد الرئيسي يلتقط معلومات حول القابلات للملاحظة. ونظرًا لأهميته، يُعرف هذا بالمعادلة الرئيسية. ^[31]${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$

إن كون الجبر الرئيسي لقيد بواسون هو جبر لي صادق يفتح إمكانية استخدام طريقة تُعرف باسم المتوسط ​​الجماعي، من أجل بناء حلول لعدد لا نهائي من القيود الهاميلتونية، ومنتج داخلي فيزيائي عليها وملاحظات ديراك من خلال ما يُعرف بالكمية الجبرية المكررة، أو RAQ. ^[32]

قم بتعريف قيد المعلم الكمومي (بغض النظر عن قضايا التنظيم) على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$

بوضوح،

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

لأن كل شيء يعني . وعلى العكس من ذلك، إذا كان الأمر كذلك، ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

يعني

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$.

أولاً، احسب عناصر المصفوفة للمشغل المحتمل ، أي الشكل التربيعي . هو شكل تربيعي متغير الرسم البياني، ثابت التماثل، لا يمكن أن يوجد في فضاء هيلبرت الحركي ، ويجب تعريفه على . نظرًا لأن مشغل القيد الرئيسي معرف بكثافة على ، إذن فهو مشغل موجب ومتماثل في . وبالتالي، فإن الشكل التربيعي المرتبط بـ قابل للإغلاق. إغلاق هو الشكل التربيعي لمشغل مترافق ذاتي فريد ، يسمى امتداد فريدريش لـ . نعيد التسمية على النحو التالي من أجل البساطة. ${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle H_{Kin}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$

لاحظ أن وجود حاصل داخلي، أي المعادلة 4، يعني عدم وجود حلول زائدة، أي لا توجد حلول من هذا القبيل ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

ولكن من أجل ماذا . ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

من الممكن أيضًا إنشاء شكل تربيعي لما يسمى قيد الرئيسي الممتد (الذي تتم مناقشته أدناه) والذي يتضمن أيضًا التكامل المرجح لمربع قيد التشكل التفاضلي المكاني (هذا ممكن لأنه لا يتغير الرسم البياني). ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$${\displaystyle H_{Kin}}$${\displaystyle Q_{M_{E}}}$

قد لا يحتوي طيف القيد الرئيسي على صفر بسبب تأثيرات الترتيب الطبيعي أو العامل والتي تكون محدودة ولكنها مماثلة في طبيعتها لطاقات الفراغ اللانهائية لنظريات المجال الكمومي المعتمدة على الخلفية. في هذه الحالة، يتبين أنه من الصحيح فيزيائيًا استبدال بـ بشرط أن يختفي "ثابت الترتيب الطبيعي" في الحد الكلاسيكي، أي، ${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

لذا فإن هذه كمية صحيحة لـ . ${\displaystyle {\hat {M}}'}$${\displaystyle M}$

إن القيود في شكلها البدائي مفردة إلى حد ما، وكان هذا هو السبب وراء دمجها عبر وظائف الاختبار للحصول على قيود مشوهة. ومع ذلك، يبدو أن معادلة القيد الرئيسي، الموضحة أعلاه، أكثر تفردًا وتتضمن حاصل ضرب قيدين بدائيين (على الرغم من التكامل عبر الفضاء). إن تربيع القيد أمر خطير لأنه قد يؤدي إلى تفاقم سلوك الأشعة فوق البنفسجية للمشغل المقابل، وبالتالي يجب التعامل مع برنامج القيد الرئيسي بحذر.

وبذلك تم اختبار برنامج القيد الرئيسي بشكل مرضي في عدد من أنظمة النماذج باستخدام جبر القيد غير التافه ونظريات المجال الحرة والمتفاعلة. ^{[33] [34] [35] [36] [37]} تم تأسيس القيد الرئيسي لـ LQG كمشغل مترافق ذاتي إيجابي حقيقي وتم إثبات أن مساحة هيلبرت الفيزيائية لـ LQG ليست فارغة، ^[38] وهو اختبار الاتساق الذي يجب أن تجتازه LQG لتكون نظرية قابلة للتطبيق في النسبية العامة الكمومية.

تم استخدام القيد الرئيسي في محاولات تقريب المنتج الداخلي المادي وتحديد تكاملات المسار الأكثر صرامة. ^{[39] [40] [41] [42]}

إن نهج التقسيمات المتسقة لـ LQG، ^{[43] [44]} هو تطبيق لبرنامج القيد الرئيسي لبناء فضاء هيلبرت الفيزيائي للنظرية الكنسية.

يمكن تعميم القيد الرئيسي بسهولة ليشمل القيود الأخرى. يُشار إليه بعد ذلك باسم القيد الرئيسي الممتد، والذي يُشار إليه بـ . يمكننا تعريف القيد الرئيسي الممتد الذي يفرض كلًا من القيد الهاميلتوني وقيد التماثل المكاني كمشغل واحد، ${\displaystyle M_{E}}$

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

إن ضبط هذا القيد الفردي على الصفر يعادل و لكل ما في . ينفذ هذا القيد التماثل المكاني والقيد الهاميلتوني في نفس الوقت على فضاء هيلبرت الحركي. ثم يتم تعريف الحاصل الداخلي المادي على أنه ${\displaystyle H(x)=0}$${\displaystyle V_{a}(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

(كما هو الحال ). يتم الحصول على تمثيل رغوة الدوران لهذا التعبير عن طريق تقسيم المعلمة - إلى خطوات منفصلة وكتابة ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$${\displaystyle t}$

${\textstyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

ثم يتبع وصف رغوة الدوران تطبيق على شبكة دوران مما ينتج عنه تركيبة خطية من شبكات دوران جديدة تم تعديل رسمها البياني وعلاماتها. من الواضح أن التقريب يتم عن طريق اقتطاع قيمة إلى عدد صحيح محدود. تتمثل إحدى مزايا القيد الرئيسي الموسع في أننا نعمل على المستوى الحركي وحتى الآن لا يمكننا الوصول إلى حالات متماسكة شبه كلاسيكية إلا هنا. علاوة على ذلك، يمكن للمرء أن يجد إصدارات غير متغيرة للرسم البياني لمشغل القيد الرئيسي هذا، وهي النوع الوحيد من المشغلات المناسبة لهذه الحالات المتماسكة. ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$${\displaystyle n}$

تطور برنامج القيد الرئيسي إلى معالجة تركيبية كاملة للجاذبية تُعرف باسم الجاذبية الكمومية الجبرية (AQG). ^[45] يتم تكييف عامل القيد الرئيسي غير المتغير للرسم البياني في إطار الجاذبية الكمومية الجبرية. في حين أن AQG مستوحاة من LQG، إلا أنها تختلف عنها بشكل كبير لأنه في AQG لا يوجد أساسًا طوبولوجيا أو بنية تفاضلية - فهي مستقلة عن الخلفية بمعنى أكثر تعميمًا وقد يكون لها ما تقوله عن تغيير الطوبولوجيا. في هذه الصيغة الجديدة للجاذبية الكمومية، تتحكم حالات AQG شبه الكلاسيكية دائمًا في تقلبات جميع درجات الحرية الحالية. هذا يجعل تحليل AQG شبه الكلاسيكي متفوقًا على تحليل LQG، وقد تم إحراز تقدم في إثبات أن لها الحد شبه الكلاسيكي الصحيح وتوفير اتصال بفيزياء الطاقة المنخفضة المألوفة. ^{[46] [47]}

الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء هي مجال الدراسة الذي يسعى إلى التوفيق بين قوانين الديناميكا الحرارية ووجود آفاق الحدث للثقوب السوداء . تنص التخمينات التي لا تشوبها شائبة للنسبية العامة على أن الثقب الأسود يتميز فقط بكتلته وشحنته وزخمه الزاوي ؛ وبالتالي، ليس لديه إنتروبيا . يبدو إذن أنه يمكن للمرء أن ينتهك القانون الثاني للديناميكا الحرارية بإسقاط جسم ذي إنتروبيا غير صفرية في ثقب أسود. ^[48] أظهر عمل ستيفن هوكينج وجاكوب بيكينستاين أنه يمكن الحفاظ على القانون الثاني للديناميكا الحرارية من خلال تعيين إنتروبيا الثقب الأسود لكل ثقب أسود

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

حيث هي مساحة أفق الحدث للثقب، و هي ثابت بولتزمان ، و هي طول بلانك. ^[49] حقيقة أن إنتروبيا الثقب الأسود هي أيضًا الحد الأقصى للإنتروبيا التي يمكن الحصول عليها من خلال حد بيكينستين (حيث يصبح حد بيكينستين مساوية) كانت الملاحظة الرئيسية التي أدت إلى مبدأ الهولوغرافيا . ^[48]${\displaystyle A}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

إن أحد أوجه القصور في تطبيق نظرية عدم الشعر هو افتراض أن درجات الحرية ذات الصلة التي تفسر إنتروبيا الثقب الأسود يجب أن تكون كلاسيكية في طبيعتها؛ ماذا لو كانت ميكانيكية كمية بحتة بدلاً من ذلك ولديها إنتروبيا غير صفرية؟ هذا ما تم إدراكه في اشتقاق LQG لإنتروبيا الثقب الأسود، ويمكن اعتباره نتيجة لاستقلاله عن الخلفية - يأتي زمكان الثقب الأسود الكلاسيكي من الحد شبه الكلاسيكي للحالة الكمومية للحقل الجاذبي، ولكن هناك العديد من الحالات الكمومية التي لها نفس الحد شبه الكلاسيكي. على وجه التحديد، في LQG ^[50] من الممكن ربط تفسير هندسي كمي بالحالات الدقيقة: هذه هي الهندسة الكمومية للأفق والتي تتوافق مع مساحة، ، الثقب الأسود وطوبولوجيا الأفق (أي كروي). تقدم LQG تفسيرًا هندسيًا لحدود الإنتروبيا وتناسب مساحة الأفق. ^{[51] [52]} تم تعميم هذه الحسابات على الثقوب السوداء الدوارة. ^[53]${\displaystyle A}$

من الممكن استنتاج العلاقة الصحيحة بين الطاقة والمساحة (القانون الأول) من الصيغة المتغيرة لنظرية الكم الكاملة ( Spinfoam )، ودرجة حرارة أونروه والتوزيع الذي ينتج إنتروبيا هوكينج. ^[54] يستخدم الحساب مفهوم الأفق الديناميكي ويتم إجراؤه للثقوب السوداء غير المتطرفة.

أحد النجاحات الحديثة التي حققتها النظرية في هذا الاتجاه هو حساب إنتروبيا جميع الثقوب السوداء غير المفردة مباشرة من النظرية وبصرف النظر عن معامل إميرزي . ^{[54] [55]} والنتيجة هي الصيغة المتوقعة ، حيث هي إنتروبيا ومساحة الثقب الأسود، التي استنتجها بيكينستين وهاوكينج على أسس استدلالية. هذا هو الاشتقاق الوحيد المعروف لهذه الصيغة من نظرية أساسية، في حالة الثقوب السوداء غير المفردة العامة. واجهت المحاولات القديمة لهذا الحساب صعوبات. كانت المشكلة أنه على الرغم من أن جاذبية الكم الحلقية تنبأت بأن إنتروبيا الثقب الأسود تتناسب مع مساحة أفق الحدث، إلا أن النتيجة تعتمد على معامل حر حاسم في النظرية، وهو معامل إميرزي المذكور أعلاه. ومع ذلك، لا يوجد حساب معروف لمعامل إميرزي، لذلك تم إصلاحه من خلال المطالبة بالاتفاق مع حساب بيكينستين وهاوكينج لإنتروبيا الثقب الأسود . ${\displaystyle S=A/4}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$

تم إجراء دراسة مفصلة للهندسة الكمومية لأفق الثقب الأسود باستخدام جاذبية الكم الحلقية. ^[52] لا تعيد عملية التكميم الحلقي إنتاج النتيجة الخاصة بإنتروبيا الثقب الأسود التي اكتشفها بيكينستين وهوكينج في الأصل، ما لم يختار المرء قيمة معامل إميرزي لإلغاء ثابت آخر ينشأ في الاشتقاق. ومع ذلك، فقد أدى ذلك إلى حساب تصحيحات من الدرجة الأعلى لإنتروبي وإشعاع الثقوب السوداء.

بناءً على تقلبات منطقة الأفق، يُظهر الثقب الأسود الكمومي انحرافات عن طيف هوكينج والتي يمكن ملاحظتها إذا تم ملاحظة الأشعة السينية من إشعاع هوكينج للثقوب السوداء البدائية المتبخرة. ^[56] تتركز التأثيرات الكمومية عند مجموعة من الترددات المنفصلة وغير الممزوجة بشكل واضح فوق طيف إشعاع هوكينج. ^[57]

في عام 2014 اقترح كارلو روفيلي وفرانسيسكا فيدوتو وجود نجم بلانك داخل كل ثقب أسود. ^[58] بناءً على نظرية الجاذبية الكمومية، تنص النظرية على أنه عندما تنهار النجوم إلى ثقوب سوداء، تصل كثافة الطاقة إلى كثافة طاقة بلانك، مما يتسبب في قوة طاردة تخلق نجمًا. علاوة على ذلك، فإن وجود مثل هذا النجم من شأنه أن يحل جدار حماية الثقب الأسود ومفارقة معلومات الثقب الأسود .

تشير الأدبيات الشعبية والتقنية على نطاق واسع إلى موضوع علم الكونيات الكمومي الحلقي المرتبط بـ LQG. تم تطوير LQC بشكل أساسي بواسطة Martin Bojowald. وقد تم ترويجه في مجلة Scientific American للتنبؤ بالارتداد الكبير قبل الانفجار العظيم . ^[59] علم الكونيات الكمومي الحلقي (LQC) هو نموذج مخفض التناظر للنسبية العامة الكلاسيكية تم كميته باستخدام طرق تحاكي طرق الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG) التي تتنبأ بـ "جسر كمي" بين الفروع الكونية المتقلصة والمتوسعة.

كانت إنجازات نظرية الكم السائل هي حل تفرد الانفجار العظيم ، والتنبؤ بالارتداد العظيم، وآلية طبيعية للتضخم .

تشترك نماذج LQC في سمات LQG وبالتالي فهي نموذج لعبة مفيد. ومع ذلك، تخضع النتائج التي تم الحصول عليها للقيود المعتادة التي تنص على أن النظرية الكلاسيكية المبتورة، ثم الكمومية، قد لا تعرض السلوك الحقيقي للنظرية الكاملة بسبب القمع الاصطناعي لدرجات الحرية التي قد يكون لها تقلبات كمية كبيرة في النظرية الكاملة. وقد قيل إن تجنب التفرد في LQC يتم من خلال آليات متاحة فقط في هذه النماذج التقييدية وأن تجنب التفرد في النظرية الكاملة لا يزال من الممكن الحصول عليه ولكن من خلال سمة أكثر دقة من LQG. ^{[60] [61]}

من الصعب قياس تأثيرات الجاذبية الكمية لأن طول بلانك صغير للغاية. ومع ذلك، بدأ علماء الفيزياء مؤخرًا، مثل جاك بالمر، في النظر في إمكانية قياس تأثيرات الجاذبية الكمية في الغالب من خلال الملاحظات الفيزيائية الفلكية وأجهزة الكشف عن الموجات الثقالية. تتسبب طاقة هذه التقلبات على مقاييس صغيرة كهذه في حدوث اضطرابات في الفضاء يمكن رؤيتها على مقاييس أعلى.

تمت صياغة جاذبية الكم الحلقية بلغة مستقلة عن الخلفية. لا يُفترض وجود أي زمكان مسبقًا، بل يتم بناؤه بواسطة حالات النظرية نفسها - ومع ذلك، فإن سعات التشتت مستمدة من وظائف النقطة - ( دالة الارتباط ) وهذه، المصاغة في نظرية المجال الكمومي التقليدية، هي وظائف لنقاط زمكان خلفية. العلاقة بين الصيغة المستقلة عن الخلفية والصيغة التقليدية لنظرية المجال الكمومي في زمكان معين ليست واضحة، وليس من الواضح كيفية استعادة الكميات منخفضة الطاقة من النظرية المستقلة عن الخلفية بالكامل. يود المرء أن يستنتج وظائف النقطة - للنظرية من الصيغة المستقلة عن الخلفية، من أجل مقارنتها بالتوسع المضطرب القياسي للنسبية العامة الكمومية وبالتالي التحقق من أن جاذبية الكم الحلقية تعطي حد الطاقة المنخفضة الصحيح. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

تم اقتراح استراتيجية لمعالجة هذه المشكلة؛ ^[62] من خلال دراسة سعة الحدود، أي التكامل المساري على منطقة زمنية محدودة، والتي يُنظر إليها كدالة لقيمة حدود المجال. ^{[63] [64]} في نظرية المجال الكمومي التقليدية، تكون سعة الحدود هذه محددة جيدًا ^{[65] [66]} وتشفر المعلومات الفيزيائية للنظرية؛ وهي تفعل ذلك في الجاذبية الكمومية أيضًا، ولكن بطريقة مستقلة تمامًا عن الخلفية. ^[67] يمكن بعد ذلك أن يستند التعريف المتغير بشكل عام لوظائف النقطة - إلى فكرة أن المسافة بين النقاط الفيزيائية - حجج دالة النقطة - يتم تحديدها من خلال حالة المجال الجاذبي على حدود منطقة الزمكان المعتبرة. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

لقد تم تحقيق تقدم في حساب سعة التشتت المستقلة عن الخلفية بهذه الطريقة باستخدام الرغوة الدورانية. هذه طريقة لاستخراج المعلومات الفيزيائية من النظرية. وقد تم تقديم ادعاءات بإعادة إنتاج السلوك الصحيح لسعات تشتت الجرافيتون واستعادة الجاذبية الكلاسيكية. "لقد حسبنا قانون نيوتن بدءًا من عالم بلا مكان ولا وقت." - كارلو روفيلي.

تفترض بعض النظريات الكمومية للجاذبية وجود حقل كمي مغزلي 2 مكمم، مما يؤدي إلى ظهور الجرافيتونات. في نظرية الأوتار، يبدأ المرء عمومًا بإثارات مكممة فوق خلفية ثابتة كلاسيكيًا. وبالتالي، توصف هذه النظرية بأنها تعتمد على الخلفية. يتم وصف الجسيمات مثل الفوتونات وكذلك التغيرات في هندسة الزمكان (الجرافيتونات) على أنها إثارات على ورقة عالم الأوتار. يمكن أن يكون لاعتماد نظرية الأوتار على الخلفية عواقب فيزيائية، مثل تحديد عدد أجيال الكوارك. على النقيض من ذلك، فإن الجاذبية الكمومية الحلقية، مثل النسبية العامة، مستقلة عن الخلفية بشكل واضح، مما يلغي الخلفية المطلوبة في نظرية الأوتار. تهدف الجاذبية الكمومية الحلقية، مثل نظرية الأوتار، أيضًا إلى التغلب على التباعدات غير القابلة لإعادة التطبيع لنظريات المجال الكمومي.

لا تقدم نظرية الجاذبية الكمومية الخلفية والإثارات التي تعيش على هذه الخلفية، وبالتالي لا تستخدم الجاذبية الكمومية الجرافيتونات كوحدات بناء. وبدلاً من ذلك، نتوقع أن نستعيد نوعًا من الحد شبه الكلاسيكي أو حد المجال الضعيف حيث ستظهر أشياء مثل "الجرافيتونات" مرة أخرى. وعلى النقيض من ذلك، تلعب الجرافيتونات دورًا رئيسيًا في نظرية الأوتار حيث تعد من بين المستوى الأول (عديم الكتلة) لإثارات الأوتار الفائقة.

تختلف نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية عن نظرية الأوتار في أنها صيغت في ثلاثة وأربعة أبعاد وبدون تناظر فائق أو أبعاد كالوزا-كلاين الإضافية، في حين تتطلب الأخيرة أن يكون كلاهما صحيحًا. لا يوجد دليل تجريبي حتى الآن يؤكد تنبؤات نظرية الأوتار بالتناظر الفائق وأبعاد كالوزا-كلاين الإضافية. في ورقة بحثية عام 2003 بعنوان "حوار حول الجاذبية الكمومية"، ^[68] يعتبر كارلو روفيلي حقيقة أن نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية صيغت في أربعة أبعاد وبدون تناظر فائق كقوة للنظرية لأنها تمثل التفسير الأكثر اقتصادًا ، والمتوافق مع النتائج التجريبية الحالية، مقارنة بنظرية الأوتار/M المنافسة لها. غالبًا ما يشير أنصار نظرية الأوتار إلى حقيقة أنها، من بين أمور أخرى، تعيد إنتاج النظريات الراسخة للنسبية العامة ونظرية المجال الكمومي في الحدود المناسبة، والتي كافحت الجاذبية الكمومية الحلقية للقيام بها. بهذا المعنى، يمكن اعتبار ارتباط نظرية الأوتار بالفيزياء الراسخة أكثر موثوقية وأقل تخمينًا، على المستوى الرياضي. لا تملك نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية أي شيء تقوله عن المادة (الفرميونات) في الكون.

نظرًا لأن نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية قد صيغت في أربعة أبعاد (مع وبدون التناظر الفائق)، وتتطلب نظرية إم التناظر الفائق و11 بُعدًا، لم يكن من الممكن إجراء مقارنة مباشرة بين الاثنين. من الممكن توسيع صيغة نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية السائدة لتشمل الجاذبية الفائقة ذات الأبعاد الأعلى، والنسبية العامة مع التناظر الفائق، والأبعاد الإضافية لكالوزا-كلاين إذا أثبتت الأدلة التجريبية وجودها. لذلك سيكون من المرغوب فيه أن يكون لدينا كميات كمية لحلقة الجاذبية الفائقة ذات الأبعاد الأعلى تحت تصرف المرء من أجل مقارنة هذه الأساليب. تم نشر سلسلة من الأوراق البحثية في محاولة لذلك. ^{[69] [70] [71] [72] [ 73] [74 ] [75] [76]} في الآونة الأخيرة، أحرز ثيمان (والخريجون) تقدمًا نحو حساب إنتروبيا الثقب الأسود للجاذبية الفائقة في أبعاد أعلى. سيكون من المفيد مقارنة هذه النتائج بحسابات الأوتار الفائقة المقابلة. ^{[77] [78]}

حاولت العديد من مجموعات البحث الجمع بين LQG وبرامج بحثية أخرى: حيث يجمع بحث يوهانس أستروب وجيسبر إم. جريمستروب وآخرون بين الهندسة غير التبادلية والجاذبية الكمومية القياسية ومتغيرات أشتيكار، ^[79] ولوران فريدل وسيمون سبيزيال وآخرون ونظرية السبينور والتويستور مع الجاذبية الكمومية الحلقية، ^{[80] [81]} ولي سمولين وآخرون مع جاذبية فيرليند الإنتروبية والجاذبية الحلقية. ^[82] حاول ستيفون ألكسندر وأنتونينو مارسيانو ولي سمولين شرح أصول كيرالية القوة الضعيفة من حيث متغيرات أشكيتار، التي تصف الجاذبية بأنها كيرالية، ^[83] وLQG مع حقول نظرية يانغ-ميلز ^[84] في أربعة أبعاد. حاول Sundance Bilson-Thompson وHackett وآخرون، ^{[85] [86]} تقديم النموذج القياسي عبر درجات حرية LQGs كخاصية ناشئة (من خلال استخدام فكرة الأنظمة الفرعية الخالية من الضوضاء ، وهي فكرة تم تقديمها في موقف أكثر عمومية للأنظمة المقيدة بواسطة Fotini Markopoulou-Kalamara وآخرون). ^[87]

علاوة على ذلك، أجرت نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية مقارنات فلسفية مع المثلثات الديناميكية السببية ^[88] والجاذبية الآمنة بشكل مقارب ، ^[89] والرغوة الدوارة مع نظرية المجال الجماعي ومطابقة AdS/CFT . ^[90] اقترح سمولين وون الجمع بين نظرية الجاذبية الكمومية اللانهائية والسائل الشبكي الوتر ، والموتر ، والجرافيت الكمومي لماركوبولو-كلامارا سمولين وفوتيني . هناك نهج التقسيمات المتسقة. كما يوفر بولين وجامبيني إطارًا لربط تكامل المسار والنهج التقليدية للجاذبية الكمومية. قد يساعدان في التوفيق بين نهجي رغوة الدوران وتمثيل الحلقة التقليدية. يقدم البحث الأخير الذي أجراه كريس داستون وماتيلد ماركولي تغييرًا في الطوبولوجيا عبر شبكات الدوران العلوي. ^[91]

بعض المشاكل الرئيسية التي لم يتم حلها في الفيزياء هي مشاكل نظرية، وهذا يعني أن النظريات القائمة تبدو غير قادرة على تفسير ظاهرة معينة تم رصدها أو نتيجة تجريبية. والبعض الآخر مشاكل تجريبية، وهذا يعني أن هناك صعوبة في إنشاء تجربة لاختبار نظرية مقترحة أو التحقيق في ظاهرة بمزيد من التفصيل.

تنطبق العديد من هذه المشاكل على LQG، بما في ذلك:

• هل من الممكن أن تتحقق ميكانيكا الكم والنسبية العامة كنظرية متناسقة تمامًا (ربما كنظرية المجال الكمومي)؟
• هل الزمكان مستمر أم منفصل في الأساس؟
• هل تتضمن النظرية المتسقة قوة يتوسطها جرافيتون افتراضي، أم تكون نتاجًا لبنية منفصلة من الزمكان نفسه (كما هو الحال في الجاذبية الكمية الحلقية)؟
• هل هناك انحرافات عن تنبؤات النسبية العامة على نطاقات صغيرة جدًا أو كبيرة جدًا أو في ظروف متطرفة أخرى تنبع من نظرية الجاذبية الكمومية؟

نظرية LQG هي أحد الحلول الممكنة لمشكلة الجاذبية الكمومية، كما هي نظرية الأوتار . ومع ذلك، هناك اختلافات جوهرية. على سبيل المثال، تتناول نظرية الأوتار أيضًا التوحيد ، وفهم جميع القوى والجسيمات المعروفة كمظاهر لكيان واحد، من خلال افتراض أبعاد إضافية وجسيمات وتناظرات إضافية لم يتم ملاحظتها حتى الآن. وعلى النقيض من ذلك، تستند LQG فقط على نظرية الكم والنسبية العامة ويقتصر نطاقها على فهم الجوانب الكمومية للتفاعل الجاذبي. من ناحية أخرى، فإن عواقب LQG جذرية، لأنها تغير بشكل أساسي طبيعة المكان والزمان وتوفر صورة فيزيائية ورياضية مؤقتة ولكنها مفصلة للزمكان الكمومي.

في الوقت الحاضر، لم يُظهِر وجود حد شبه كلاسيكي يستعيد النسبية العامة. وهذا يعني أنه لا يزال من غير المؤكد أن وصف LQG للزمكان عند مقياس بلانك له حد الاستمرارية الصحيح (الموصوف بالنسبية العامة مع التصحيحات الكمومية المحتملة). على وجه التحديد، يتم ترميز ديناميكيات النظرية في قيد هاملتونيان ، ولكن لا يوجد هاملتونيان مرشح . ^[92] تشمل المشكلات الفنية الأخرى إيجاد إغلاق خارج الغلاف لجبر القيد وفضاء متجه المنتج الداخلي الفيزيائي ، والاقتران بحقول المادة في نظرية المجال الكمومي ، ومصير إعادة تطبيع الجرافيتون في نظرية الاضطراب التي تؤدي إلى تباعد الأشعة فوق البنفسجية بما يتجاوز حلقتين (انظر مخطط فاينمان أحادي الحلقة في مخطط فاينمان ). ^[92]

في حين كان هناك اقتراح يتعلق بمراقبة التفردات العارية ، ^[93] والنسبية الخاصة المزدوجة كجزء من برنامج يسمى علم الكونيات الكمومي الحلقي ، لا توجد ملاحظة تجريبية حيث تقدم الجاذبية الكمومية الحلقية تنبؤًا لم يتم إجراؤه بواسطة النموذج القياسي أو النسبية العامة (وهي مشكلة تؤرق جميع النظريات الحالية للجاذبية الكمومية). وبسبب الافتقار المذكور أعلاه إلى حد شبه كلاسيكي، لم تقم LQG حتى الآن بإعادة إنتاج التنبؤات التي قدمتها النسبية العامة.

هناك انتقاد بديل وهو أن النسبية العامة قد تكون نظرية مجال فعالة ، وبالتالي فإن التكميم يتجاهل درجات الحرية الأساسية.

قام القمر الصناعي INTEGRAL التابع لوكالة الفضاء الأوروبية بقياس استقطاب الفوتونات ذات الأطوال الموجية المختلفة وتمكن من وضع حد لحبيبات الفضاء ^[94] أقل من 10 ⁻⁴⁸ م أو 13 مرتبة من حيث الحجم تحت مقياس بلانك. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]}

• الكتب الشعبية:
  • رودولفو جامبيني وخورخي بولين ، الجاذبية الكمية الحلقية للجميع، العالم العلمي ، 2020.
  • كارلو روفيلي ، "الواقع ليس كما يبدو"، بنغوين، 2016.
  • مارتن بوجوالد ، ذات مرة قبل الزمن: قصة الكون بأكملها 2010.
  • كارلو روفيلي ، ما هو الوقت؟ ما هو الفضاء؟ ، دي رينزو إديتور، روما، 2006.
  • لي سمولين ، ثلاثة طرق إلى الجاذبية الكمومية ، 2001.
• مقالات المجلات:
  • لي سمولين ، "ذرات المكان والزمان"، مجلة ساينتفك أمريكان ، يناير 2004.
  • مارتن بوجوالد ، "متابعة الكون المرتدّ"، مجلة ساينتفك أمريكان ، أكتوبر 2008.
• أعمال تمهيدية أو تفسيرية أو نقدية أسهل:
  • أبهاي أشتيكار ، الجاذبية والكم ، الطبعة الإلكترونية متوفرة باسم gr-qc/0410054 (2004).
  • جون سي. بايز وخافيير ب. مونياين، حقول القياس والعقد والجاذبية الكمومية ، وورلد ساينتيفيك (1994).
  • كارلو روفيلي ، حوار حول الجاذبية الكمومية ، الطبعة الإلكترونية متوفرة باسم hep-th/0310077 (2003).
  • كارلو روفيلي وفرانسيسكا فيدوتو ، الجاذبية الكمية الحلقية المتغيرة ، كامبريدج (2014)؛ المسودة متاحة على الإنترنت.
• أعمال تمهيدية/توضيحية أكثر تقدمًا:
  • كارلو روفيلي ، الجاذبية الكمومية ، مطبعة جامعة كامبريدج (2004)؛ المسودة متاحة على الإنترنت.
  • أبهاي أشتيكار ، وجهات نظر جديدة في الجاذبية الكنسية ، بيبليوبوليس (1988).
  • أبهاي أشتيكار ، محاضرات عن الجاذبية القياسية غير المضطربة ، مجلة العلوم العالمية (1991).
  • رودولفو جامبيني وخورخي بولين ، الحلقات والعقد ونظريات القياس والجاذبية الكمومية ، مطبعة جامعة كامبريدج (1996).
  • T. Thiemann The LQG – String: Loop Quantum Gravity Quantization of String Theory (2004).
  • سيلادا، ماريانو؛ جونزاليس، دييغو؛ مونتيسينوس، ميرسيد (2016). "جاذبية BF". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Bibcode :2016CQGra..33u3001C. doi :10.1088/0264-9381/33/21/213001. S2CID  119605468.
• المراجعات الموضوعية
  • روفيلي، كارلو (2011). “محاضرات زاكوباني عن الجاذبية الحلقية”. أرخايف : 1102.3660 [غرام-مراقبة الجودة].
  • روفيلي، كارلو (1998). "جاذبية الكم الحلقية". مراجعات حية في النسبية . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Bibcode :1998LRR.....1....1R. doi : 10.12942/lrr-1998-1 . PMC  5567241. PMID  28937180 .
  • ثيمان، توماس (2003). "محاضرات عن الجاذبية الكمومية الحلقية". الجاذبية الكمومية . ملاحظات المحاضرة في الفيزياء . المجلد 631. ص 41-135. arXiv : gr-qc/0210094 . رمز Bibcode :2003LNP...631...41T. doi :10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491.
  • أشتيكار، أبهاي ؛ ليواندوفسكي، جيرزي (2004). "الجاذبية الكمية المستقلة عن الخلفية: تقرير حالة". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 21 (15): R53–R152. arXiv : gr-qc/0404018 . Bibcode :2004CQGra..21R..53A. doi :10.1088/0264-9381/21/15/R01. S2CID  119175535.
  • كارلو روفيلي وماركوس جول، الجاذبية الكمية الحلقية ومعنى ثبات التشكل التفاضلي ، الطبعة الإلكترونية متوفرة كـ gr-qc/9910079.
  • لي سمولين ، قضية استقلال الخلفية ، الطبعة الإلكترونية متوفرة باسم hep-th/0507235.
  • أليخاندرو كوريتشي ، هندسة الكم الحلقية: كتاب تمهيدي ، طبعة إلكترونية متاحة باسم هندسة الكم الحلقية: كتاب تمهيدي.
  • أليخاندرو بيريز، مقدمة إلى الجاذبية الكمية الحلقية ورغوة الدوران ، طبعة إلكترونية متاحة باسم مقدمة إلى الجاذبية الكمية الحلقية ورغوة الدوران.
• أوراق بحثية أساسية:
  • روجر بينروز ، الزخم الزاوي: نهج للفضاء الزمني التوافقي في نظرية الكم وما بعدها ، تحرير تيد باستين، مطبعة جامعة كامبريدج، 1971.
  • روفيلي، كارلو ؛ سمولين، لي (1988). "نظرية العقدة والجاذبية الكمومية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 61 (10): 1155-1158. رمز Bibcode :1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
  • روفيلي، كارلو ؛ سمولين، لي (1990). "تمثيل فضاء الحلقة للنسبية العامة الكمومية". الفيزياء النووية . B331 (1): 80-152. رمز Bibcode :1990NuPhB.331...80R. doi :10.1016/0550-3213(90)90019-a.
  • كارلو روفيلي ولي سمولين ، انفصال المساحة والحجم في الجاذبية الكمومية ، الفيزياء النووية، B442 (1995). ص 593-622، الطبعة الإلكترونية متوفرة على شكل arXiv :gr-qc/9411005.
  • ثيمان، توماس (2007). "جاذبية الكم الحلقية: نظرة داخلية". مناهج الفيزياء الأساسية . محاضرات في الفيزياء. المجلد 721. ص 185-263. arXiv : hep-th/0608210 . رمز الكتاب : 2007LNP...721..185T. doi : 10.1007/978-3-540-71117-9_10. ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847.

• مقدمة عن نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية محاضرات عبر الإنترنت لكارلو روفيلي
• الجاذبية الكمومية ذات الحلقة المتغيرة بقلم كارلو روفيلي وفرانشيسكا فيدوتو
• "الجاذبية الكمومية الحلقية" لكارلو روفيلي، عالم الفيزياء، نوفمبر 2003
• رغوة كمية وحلقة الجاذبية الكمية
• أبهاي أشتيكار: مقالات شبه شعبية. بعض المقالات الشعبية الممتازة المناسبة للمبتدئين حول الفضاء والزمان والنسبية العامة والجاذبية الكمومية الضئيلة
• الجاذبية الكمومية الحلقية: لي سمولين
• محاضرات عبر الإنترنت عن الجاذبية الكمومية الحلقية بقلم لي سمولين
• شبكات الدوران، ورغوة الدوران، والجاذبية الكمومية الحلقية
• مجلة Wired، أخبار: التحرك إلى ما هو أبعد من نظرية الأوتار
• العدد الخاص من مجلة ساينتفك أمريكان في أبريل 2006، "مسألة وقت"، يتضمن مقالاً عن لي سمولين بعنوان "ذرات المكان والزمان"
• سبتمبر 2006، مجلة الإيكونوميست، مقال بعنوان "تكرار الحلقة"
• تلسكوب الفضاء واسع النطاق لأشعة غاما: تلسكوب الفضاء فيرمي لأشعة غاما محفوظ في 18 يونيو 2008 على موقع واي باك مشين
• يلتقي زينون بالعلم الحديث. مقالة من Acta Physica Polonica B بقلم ZK Silagadze.
• هل ترك الكون ما قبل الانفجار العظيم أثره على السماء؟ - وفقًا لنموذج يعتمد على نظرية "جاذبية الكم الحلقية"، فإن الكون الأم الذي كان موجودًا قبل كوننا ربما ترك بصمة ( نيو ساينتست ، 10 أبريل 2008)
• أوداود، مات (15 أكتوبر 2019). "شرح الجاذبية الكمومية الحلقية". PBS Space Time – عبر YouTube .