الجاذبية الكمومية الكلاسيكية

في الفيزياء ، تُعدّ الجاذبية الكمومية الكلاسيكية محاولةً لتكميم الصيغة الكلاسيكية للنسبية العامة (أو الجاذبية الكلاسيكية ). وهي صيغة هاميلتونية لنظرية أينشتاين العامة للنسبية . وقد وضع برايس ديويت الخطوط العريضة للنظرية الأساسية.في ورقة بحثية رائدة عام 1967، واستنادًا إلى عمل سابق لبيتر جي. بيرغمانباستخدام ما يسمى بتقنيات التكميم الكلاسيكية لأنظمة هاميلتون المقيدة التي اخترعها بول ديراك .يُتيح نهج ديراك تكميم الأنظمة التي تتضمن تناظرات قياسية باستخدام تقنيات هاميلتونية في اختيار قياسي ثابت . وتشمل المناهج الأحدث، التي تستند جزئيًا إلى أعمال ديويت وديراك، حالة هارتل-هوكينغ ، وحساب ريجي ، ومعادلة ويلر-ديويت، وجاذبية الكم الحلقية .

في صياغة هاميلتونية للميكانيكا الكلاسيكية العادية، يُعد قوس بواسون مفهومًا مهمًا. يتكون "نظام الإحداثيات الكنسي" من متغيرات الموضع والزخم الكنسية التي تحقق علاقات قوس بواسون الكنسية. $${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$$ حيث يتم إعطاء قوس بواسون بواسطة $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$ لدوال فضاء الطور العشوائية${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$و${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$باستخدام أقواس بواسون، يمكن إعادة كتابة معادلات هاميلتون على النحو التالي:$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$$

تصف هذه المعادلات "تدفقًا" أو مدارًا في فضاء الطور الناتج عن الهاميلتوني${\displaystyle H}$. بالنظر إلى أي دالة فضاء طور${\displaystyle F(q,p)}$لدينا $${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$$

في التكميم المتعارف عليه، يتم تحويل متغيرات فضاء الطور إلى عوامل كمومية على فضاء هيلبرت ، ويتم استبدال قوس بواسون بين متغيرات فضاء الطور بعلاقة التبادل المتعارف عليها: $${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

في ما يسمى بتمثيل الموضع، تتحقق علاقة التبادل هذه من خلال الاختيار التالي: $${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$$و$${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$$

تُوصف الديناميكيات بمعادلة شرودنغر: $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$$ أين${\displaystyle {\hat {H}}}$هو المؤثر المتكون من الهاميلتوني${\displaystyle H(q,p)}$مع الاستبدال${\displaystyle q\mapsto q}$و${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$.

تُعدّ النسبية العامة الكلاسيكية مثالاً على نظرية مقيدة بالكامل. في النظريات المقيدة، توجد أنواع مختلفة من فضاء الطور: فضاء الطور غير المقيد (ويُسمى أيضاً فضاء الطور الحركي) الذي تُعرَّف عليه دوال القيد، وفضاء الطور المُختزل الذي حُلّت عليه القيود مسبقاً. بالنسبة للتكميم الكلاسيكي، يُستبدل فضاء الطور بفضاء هيلبرت مناسب ، وتُحوَّل متغيرات فضاء الطور إلى مؤثرات كمومية.

في منهج ديراك للتكميم، يُستبدل فضاء الطور غير المقيد بما يُسمى فضاء هيلبرت الحركي، وتُستبدل دوال القيد بمؤثرات قيد مُطبقة على فضاء هيلبرت الحركي؛ ثم تُبحث عن الحلول. تُعد معادلات القيد الكمومي هذه المعادلات المركزية للنسبية العامة الكمومية الكلاسيكية، على الأقل في منهج ديراك الذي يُعد المنهج المُتبع عادةً.

في النظريات ذات القيود، يوجد أيضًا تكميم فضاء الطور المُختزل، حيث تُحل القيود على المستوى الكلاسيكي، ثم تُحوّل متغيرات فضاء الطور المُختزل إلى مؤثرات كمومية. مع ذلك، كان يُعتقد أن هذا النهج مستحيل في النسبية العامة، إذ بدا مُكافئًا لإيجاد حل عام لمعادلات المجال الكلاسيكية. ولكن، مع التطوير الحديث نسبيًا لمخطط تقريبي منهجي لحساب الكميات القابلة للرصد في النسبية العامة (للمرة الأولى) على يد بيانكا ديتريش، استنادًا إلى أفكار كارلو روفيللي، طوّر توماس ثيمان مخططًا عمليًا لتكميم فضاء الطور المُختزل للجاذبية. مع ذلك، فهو ليس مُكافئًا تمامًا لتكميم ديراك، إذ يجب اعتبار "متغيرات الساعة" كلاسيكية في تكميم فضاء الطور المُختزل، على عكس تكميم ديراك.

من المفاهيم الخاطئة الشائعة الاعتقاد بأن تحويلات الإحداثيات هي تناظرات القياس في النسبية العامة، بينما في الواقع، تناظرات القياس الحقيقية هي التشاكلات التفاضلية كما عرّفها أحد علماء الرياضيات (انظر حجة هول )  - وهي أكثر جذرية. القيود من الدرجة الأولى في النسبية العامة هي قيد التشاكل التفاضلي المكاني وقيد هاميلتون (المعروف أيضًا بمعادلة ويلر-دي ويت)، وهما يطبعان ثبات التشاكل التفاضلي المكاني والزماني للنظرية على التوالي. إن فرض هذه القيود كلاسيكيًا هو في الأساس شروط قبول على البيانات الأولية، كما أنها تولد معادلات "التطور" (وهي في الحقيقة تحويلات قياس) عبر قوس بواسون. والأهم من ذلك، أن جبر قوس بواسون بين القيود يحدد النظرية الكلاسيكية بشكل كامل  - وهذا شيء يجب إعادة إنتاجه بطريقة ما في الحد شبه الكلاسيكي للجاذبية الكمومية المتعارف عليها لكي تكون نظرية قابلة للتطبيق في الجاذبية الكمومية.

في منهج ديراك، يتضح أن القيود الكمومية من الدرجة الأولى المفروضة على دالة الموجة تولد أيضًا تحويلات قياسية. وبالتالي، فإن عملية حل هذه القيود في النظرية الكلاسيكية تتم على مرحلتين.${\displaystyle C_{I}=0}$(المكافئ لحل شروط القبول للبيانات الأولية) والبحث عن مدارات القياس (حل معادلات "التطور") يتم استبداله بعملية من خطوة واحدة في نظرية الكم، وهي البحث عن الحلول${\displaystyle \Psi }$من المعادلات الكمومية${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$وذلك لأنها تحل القيد بوضوح على المستوى الكمومي، وتبحث في الوقت نفسه عن حالات ثابتة القياس لأن${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$هو المولد الكمومي لتحويلات القياس. على المستوى الكلاسيكي، فإن حل شروط القبول ومعادلات التطور يكافئ حل جميع معادلات مجال أينشتاين، وهذا يؤكد الدور المحوري لمعادلات القيد الكمومي في منهج ديراك للجاذبية الكمومية الكلاسيكية.

يمكن اعتبار التشاكل التفاضلي بمثابة "سحب" متزامن للمجال المتري (مجال الجاذبية) ومجالات المادة فوق الفضاء المجرد مع البقاء في نظام الإحداثيات نفسه، ولذا فهو أكثر جذرية من الثبات تحت مجرد تحويل إحداثيات. ينشأ هذا التناظر من الشرط الدقيق الذي ينص على أن قوانين النسبية العامة لا يمكن أن تعتمد على أي هندسة مسبقة للزمكان.

لهذا الثبات التفاضلي دلالة مهمة: ستكون الجاذبية الكمومية الكلاسيكية محدودة بشكل واضح، إذ أن القدرة على "سحب" دالة القياس على المتشعب المجرد تعني أن "المسافات" الصغيرة والكبيرة بين نقاط إحداثيات مُعرَّفة بشكل مجرد متكافئة قياسياً! وقد قدم لي سمولين حجة أكثر دقة:

يجب أن يكون المؤثر المستقل عن الخلفية محدودًا دائمًا. وذلك لأن مقياس التنظيم ومقياس الخلفية يُدخلان معًا دائمًا في عملية التنظيم. وهذا ضروري، لأن المقياس الذي يشير إليه معامل التنظيم يجب وصفه بدلالة مقياس الخلفية أو مخطط الإحداثيات المُدخل في بناء المؤثر المُنظَّم. ولهذا السبب، فإن اعتماد المؤثر المُنظَّم على قيمة القطع، أو معامل التنظيم، يرتبط باعتماده على مقياس الخلفية. عند حساب نهاية معامل التنظيم عندما يؤول إلى الصفر، يتم عزل الحدود غير الصفرية. إذا كانت هذه الحدود تعتمد على معامل التنظيم (كما هو الحال إذا كان الحد يتزايد بشكل كبير)، فلا بد أن تعتمد أيضًا على مقياس الخلفية. وعلى العكس، إذا كانت الحدود غير الصفرية عند إزالة معامل التنظيم لا تعتمد على مقياس الخلفية، فلا بد أن تكون محدودة.

في الواقع، كما ذُكر أدناه، أثبت توماس ثيمان صراحةً أن جاذبية الكم الحلقية (وهي نسخة متطورة من جاذبية الكم الكلاسيكية) محدودة بشكل واضح حتى في وجود جميع أشكال المادة! لذا، لا حاجة لإعادة التطبيع أو إزالة اللانهائيات. مع ذلك، أقر توماس ثيمان في أعمال أخرى بضرورة إعادة التطبيع كوسيلة لحل غموض التكميم. ^{[ 1 ]}

في نظرية الجاذبية الكمومية الاضطرابية (التي انبثقت منها حجج عدم إعادة التطبيع)، كما هو الحال في أي مخطط اضطرابي، يُفترض افتراضًا منطقيًا أن الزمكان على نطاقات واسعة يُمكن تقريبه جيدًا بفضاء مسطح؛ حيث تُشتت الجرافيتونات على هذه الخلفية المسطحة تقريبًا، ويُلاحظ أن سعة تشتتها لها تباعدات لا يُمكن استيعابها في إعادة تعريف ثابت نيوتن. لا يقبل منظرو الجاذبية الكمومية الكلاسيكية هذه الحجة؛ ومع ذلك، لم يُقدموا حتى الآن حسابًا بديلًا لسعة تشتت الجرافيتونات يُمكن استخدامه لفهم ما يحدث للحدود التي وُجد أنها غير قابلة لإعادة التطبيع في المعالجة الاضطرابية. من المتوقع منذ زمن طويل أنه في نظرية الهندسة الكمومية مثل الجاذبية الكمومية الكلاسيكية، تُصبح الكميات الهندسية مثل المساحة والحجم كميات قابلة للرصد الكمومي وتأخذ قيمًا منفصلة غير صفرية، مما يُوفر مُنظمًا طبيعيًا يُزيل اللانهائيات من النظرية، بما في ذلك تلك الناتجة عن مساهمات المادة. إن هذا "التكميم" للمشاهدات الهندسية يتحقق في الواقع في جاذبية الكم الحلقية (LQG).

تعتمد عملية التكميم على تحليل موتر القياس على النحو التالي، $${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$$حيث يُفترض ضمنيًا الجمع على المؤشرات المتكررة ، يشير المؤشر 0 إلى الوقت${\displaystyle \tau =x^{0}}$تُغطي المؤشرات اليونانية جميع القيم من 0 إلى  3  ، بينما تُغطي المؤشرات اللاتينية القيم المكانية من 1 إلى 3 .      ${\displaystyle N}$تُسمى هذه الدالة دالة الانقضاء ، والدوال${\displaystyle \beta _{k}}$تُسمى هذه الدوال بدوال الإزاحة. يتم رفع وخفض المؤشرات المكانية باستخدام المقياس المكاني.${\displaystyle \gamma _{ij}}$وعكسه${\displaystyle \gamma ^{ij}}$:${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$و${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$،${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$، أين${\displaystyle \delta }$هي دالة كرونكر دلتا . في ظل هذا التفكيك، تصبح دالة لاغرانج أينشتاين-هيلبرت ، حتى المشتقات الكلية ، $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$$ أين${\displaystyle {}^{(3)}R}$هل الانحناء القياسي المكاني محسوب بالنسبة إلى المقياس الريماني؟${\displaystyle \gamma _{ij}}$و${\displaystyle K_{ij}}$هو الانحناء الخارجي ، $${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يشير إلى التفاضل وفقًا لـ Lie،${\displaystyle n}$هو العمودي على الأسطح ذات الثابت${\displaystyle t}$و${\displaystyle \nabla _{i}}$يشير إلى التفاضل المتغير بالنسبة للمقياس${\displaystyle \gamma _{ij}}$. لاحظ أن${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$يكتب ديويت أن لاغرانجيان "له الشكل الكلاسيكي 'الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة'، حيث يلعب الانحناء الخارجي دور الطاقة الحركية، ويلعب معكوس الانحناء الداخلي دور الطاقة الكامنة". في حين أن هذا الشكل من لاغرانجيان ثابت بشكل واضح تحت إعادة تعريف الإحداثيات المكانية، إلا أنه يجعل التغاير العام غامضًا.

بما أن دالة الانقطاع ودالة الإزاحة يمكن حذفهما بتحويل قياسي ، فإنهما لا تمثلان درجات حرية فيزيائية. ويتضح ذلك عند الانتقال إلى الصيغة الهاميلتونية من خلال حقيقة أن زخمهما المترافق، على التوالي${\displaystyle \pi }$و${\displaystyle \pi ^{i}}$تتلاشى هذه القيود بشكل متطابق ( على الغلاف وخارجه ). ويُطلق عليها ديراك اسم القيود الأولية . ومن الخيارات الشائعة للمقياس، ما يُسمى بالمقياس المتزامن .${\displaystyle N=1}$و${\displaystyle \beta _{i}=0}$على الرغم من أنه من حيث المبدأ، يمكن اختيارها لتكون أي دالة للإحداثيات. في هذه الحالة، يأخذ الهاميلتوني الشكل التالي: $${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$$ أين $$//$$ و${\displaystyle \pi ^{ij}}$الزخم المرافق لـ${\displaystyle \gamma _{ij}}$يمكن استعادة معادلات أينشتاين بأخذ أقواس بواسون مع الهاميلتوني. وتنشأ قيود إضافية على الغلاف، يسميها ديراك قيودًا ثانوية ، من اتساق جبر أقواس بواسون. هذه هي${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$و${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$هذه هي النظرية التي يتم تكميمها في مناهج الجاذبية الكمومية الكلاسيكية.

يمكن إثبات أنه يمكن الحصول على ست معادلات أينشتاين تصف التطور الزمني (وهي في الواقع تحويل قياسي) عن طريق حساب أقواس بواسون للمقياس الثلاثي وزخمه المرافق باستخدام توليفة خطية من التشاكل المكاني وقيد هاميلتوني. أما تلاشي القيود، الذي يُعطي فضاء الطور الفيزيائي، فيُمثل المعادلات الأربع الأخرى لأينشتاين. أي أن لدينا:

قيود التماثل المكاني $${\displaystyle C_{a}(x)=0}$$ والتي يوجد منها عدد لا نهائي  - واحد لكل قيمة${\displaystyle x}$يمكن تشويهها بواسطة ما يسمى بوظائف الإزاحة${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$لإعطاء مجموعة مكافئة من قيود التماثل المكاني الملطخ، $${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$$

تُنتج هذه العمليات تحولات مكانية على طول مدارات محددة بواسطة دالة الإزاحة.${\displaystyle N^{a}(x)}$.

قيود هاميلتونية $${\displaystyle H(x)=0}$$ والتي يوجد منها عدد لا نهائي، يمكن تشويهها بواسطة ما يسمى بوظائف الانهيار${\displaystyle N(x)}$لإعطاء مجموعة مكافئة من قيود هاميلتونية مشوهة، $${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$$

كما ذكر أعلاه، فإن بنية قوس بواسون بين القيود (المشوشة) مهمة لأنها تحدد النظرية الكلاسيكية بشكل كامل، ويجب إعادة إنتاجها في الحد شبه الكلاسيكي لأي نظرية للجاذبية الكمومية.

تُعدّ معادلة ويلر-ديويت (التي تُسمى أحيانًا قيد هاميلتون، وأحيانًا معادلة أينشتاين-شرودنغر) محوريةً للغاية لأنها تُجسّد الديناميكيات على المستوى الكمومي. وهي تُشابه معادلة شرودنغر، باستثناء أن إحداثيات الزمن فيها...${\displaystyle t}$، وهو أمر غير فيزيائي، ولا يمكن للدالة الموجية الفيزيائية أن تعتمد على${\displaystyle t}$وبالتالي، فإن معادلة شرودنغر تختزل إلى قيد:

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =0.}$

أدى استخدام المتغيرات المترية إلى صعوبات رياضية تبدو مستعصية عند محاولة تحويل التعبير الكلاسيكي إلى مؤثر كمي محدد جيدًا، ولذلك مرت عقود دون إحراز أي تقدم عبر هذا النهج. تم تجاوز هذه المشكلة، وتمت صياغة معادلة ويلر-دي-ويت محددة جيدًا لأول مرة من خلال إدخال متغيرات أشتيكار-باربيرو وتمثيل الحلقة ، وهو المؤثر المحدد جيدًا الذي صاغه توماس ثيمان..

قبل هذا التطور، لم تتم صياغة معادلة ويلر-دي-ويت إلا في نماذج ذات تناظر منخفض، مثل علم الكون الكمي.

تتمحور العديد من المشكلات التقنية في نظرية الجاذبية الكمومية الكلاسيكية حول القيود. صيغت النسبية العامة الكلاسيكية في الأصل بدلالة متغيرات القياس، ولكن بدا أن هناك صعوبات رياضية بالغة في تطبيق هذه القيود على المؤثرات الكمومية نظرًا لاعتمادها غير الخطي الشديد على المتغيرات الكلاسيكية. وقد تم تبسيط المعادلات بشكل كبير مع إدخال متغيرات أشتيكار الجديدة. تصف متغيرات أشتيكار النسبية العامة الكلاسيكية بدلالة زوج جديد من المتغيرات الكلاسيكية أقرب إلى تلك المستخدمة في نظريات القياس. وبذلك، أضافت قيدًا إضافيًا، إلى جانب قيد التشاكل المكاني وقيد هاميلتون، وهو قيد قياس غاوس.

تمثيل الحلقة هو تمثيل هاميلتوني كمومي لنظريات القياس بدلالة الحلقات. يهدف تمثيل الحلقة، في سياق نظريات يانغ-ميلز، إلى تجنب التكرار الناتج عن تناظرات قياس غاوس، مما يسمح بالعمل مباشرةً في فضاء الحالات الثابتة تحت تأثير قياس غاوس. وقد نشأ استخدام هذا التمثيل بشكل طبيعي من تمثيل أشتيكار-باربيرو، إذ يوفر وصفًا دقيقًا غير اضطرابي، كما أن قيد التشاكل المكاني يُعالج بسهولة ضمن هذا التمثيل.

ضمن تمثيل الحلقة، قدّم ثيمان نظريةً أساسيةً محددةً جيدًا في وجود جميع أشكال المادة، وأثبت صراحةً أنها محدودةٌ بشكلٍ واضح! لذا، لا حاجة لإعادة التطبيع . مع ذلك، ولأنّ منهج LQG مناسبٌ تمامًا لوصف الفيزياء على مقياس بلانك، توجد صعوباتٌ في الربط بينه وبين فيزياء الطاقة المنخفضة المألوفة، وفي إثبات أنّه يمتلك الحدّ شبه الكلاسيكي الصحيح.

تُعنى جميع النظريات الكلاسيكية للنسبية العامة بمشكلة الزمن . في الجاذبية الكمومية، تُمثل مشكلة الزمن تعارضًا مفاهيميًا بين النسبية العامة وميكانيكا الكم. في النسبية العامة الكلاسيكية، يُعد الزمن مجرد إحداثية أخرى نتيجةً للتغاير العام . أما في نظريات الحقل الكمومي، وخاصةً في صياغة الهاميلتوني، فتنقسم الصياغة بين ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني واحد. باختصار، تكمن مشكلة الزمن في انعدامه في النسبية العامة. ذلك لأن الهاميلتوني في النسبية العامة قيدٌ يجب أن يتلاشى. مع ذلك، في أي نظرية كلاسيكية، يُولّد الهاميلتوني إزاحات زمنية. لذا، نصل إلى استنتاج مفاده أن "لا شيء يتحرك" ("لا وجود للزمن") في النسبية العامة. وبما أنه "لا وجود للزمن"، فإن التفسير المعتاد لقياسات ميكانيكا الكم في لحظات زمنية معينة ينهار. تُشكل مشكلة الزمن هذه الإطار العام لجميع المشكلات التفسيرية لهذه الصياغة.

طوّر تشارلز وانغ [4] ^[ 5] صيغةً أساسيةً لتحليل جيمس يورك المطابق للديناميكا الهندسية، ^{[ 2 ]} مما أدى إلى "زمن يورك" ^{[ 3 ]} في النسبية العامة . ^{[ 4 ] [ 5 ]} وقد طوّر وانغ وزملاؤه هذا العمل لاحقًا ليُقدّموا منهجًا لتحديد وتكميم الزمن، وهو منهجٌ قابلٌ للتطبيق على فئةٍ واسعةٍ من نظريات الجاذبية والمادة ذات المقياس الثابت. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

تكمن مشكلة علم الكون الكمي في أن الحالات الفيزيائية التي تحل قيود الجاذبية الكمية المتعارف عليها تمثل حالات كمية للكون بأكمله، وعلى هذا النحو تستبعد وجود مراقب خارجي، ومع ذلك فإن وجود مراقب خارجي هو عنصر حاسم في معظم تفسيرات ميكانيكا الكم.

1. ^ بيرغمان، ب. (1966). "نظرية هاميلتون-جاكوبي ونظرية شرودنغر في النظريات ذات القيود الهاميلتونية من الدرجة الأولى". مجلة Physical Review . 144 (4): 1078-1080 . Bibcode : 1966PhRv..144.1078B . doi : 10.1103/PhysRev.144.1078 .
2. ^ ديويت، ب. (1967). "النظرية الكمية للجاذبية. الجزء الأول: النظرية الأساسية". مجلة Physical Review . 160 (5): 1113-1148 . Bibcode : 1967PhRv..160.1113D . doi : 10.1103/PhysRev.160.1113 .
3. ^ ديراك، بام (1958). "ديناميكيات هاميلتون المعممة". وقائع الجمعية الملكية في لندن أ . 246 (1246): 326-332 . Bibcode : 1958RSPSA.246..326D . doi : 10.1098/rspa.1958.0141 . JSTOR 100496 . 
4. ^ ثيمان، ت. (1996). "صياغة خالية من الشذوذ لنظرية الجاذبية الكمومية لورنتزية رباعية الأبعاد غير الاضطرابية". رسائل الفيزياء ب . 380 ( 3-4 ): 257-264 . arXiv : gr-qc/9606088 . Bibcode : 1996PhLB..380..257T . doi : 10.1016/0370-2693(96)00532-1 . S2CID 8691449 . 

• أرنويت، ر.؛ ديزر، س.؛ ميسنر، س. و. (2008). "ديناميكيات النسبية العامة". النسبية العامة والجاذبية . 40 (9): 1997-2027 . arXiv : gr-qc/0405109 . Bibcode : 2008GReGr..40.1997A . doi : 10.1007/s10714-008-0661-1 . S2CID 14054267 . 
• ويتن، ل. (1962). الجاذبية: مقدمة للبحوث الحالية . جون وايلي وأولاده . ص 227-265 . 
• ديراك، بام (1958). "نظرية الجاذبية في صيغة هاميلتونية". وقائع الجمعية الملكية في لندن، السلسلة أ . 246 ( 1246): 333-343 . رمز Bibcode : 1958RSPSA.246..333D . doi : 10.1098/rspa.1958.0142 . JSTOR 100497. S2CID 122053391 .  
• ديراك، بام (1959). "تثبيت الإحداثيات في نظرية هاميلتون للجاذبية". مجلة Physical Review . 114 (3): 924-930 . Bibcode : 1959PhRv..114..924D . doi : 10.1103/PhysRev.114.924 .
• ديراك، بام (1964). محاضرات في ميكانيكا الكم . جامعة يشيفا . ISBN 0-387-51916-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )