نظرية الاستيفاء Marcinkiewicz

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل الوظيفي ، فإن نظرية الاستيفاء لمارسينكيويتش ، التي اكتشفها جوزيف مارسينكيويتش ( 1939 ) ، هي نتيجة تحدد معايير المؤثرات غير الخطية التي تعمل على فضاءات L ^p . 

إن نظرية مارسينكيويتش تشبه نظرية ريز-ثورين حول المؤثرات الخطية ، ولكنها تنطبق أيضًا على المؤثرات غير الخطية.

لتكن f دالة قابلة للقياس ذات قيم حقيقية أو مركبة، معرفة على فضاء قياس ( X , F , ω). دالة التوزيع لـ f معرفة بـ  

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}$

ثم يُطلق على f اسم الضعيف${\displaystyle L^{1}}$إذا وُجد ثابت C بحيث تحقق دالة التوزيع لـ f المتباينة التالية لجميع قيم t  >  0:

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}$

يُطلق على أصغر ثابت C في المتباينة أعلاه اسم الثابت الضعيف${\displaystyle L^{1}}$المعيار ويرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle \|f\|_{1,w}}$أو${\displaystyle \|f\|_{1,\infty }.}$وبالمثل، يُشار إلى الفضاء عادةً بـ L ^{1, w} أو L ^1,∞ .

(ملاحظة: هذا المصطلح مُضلل بعض الشيء لأن المعيار الضعيف لا يُحقق مُتباينة المثلث، كما يتضح من خلال النظر في مجموع الدوال على${\displaystyle (0,1)}$مقدم من${\displaystyle 1/x}$ و${\displaystyle 1/(1-x)}$(الذي له معيار 4 وليس 2.)

أي${\displaystyle L^{1}}$تنتمي الدالة إلى L ^{1، w} ، بالإضافة إلى وجود المتباينة

${\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}$

هذه ليست سوى متباينة ماركوف ( المعروفة أيضًا بمتباينة تشيبيشيف ). والعكس غير صحيح. على سبيل المثال، الدالة 1/ x تنتمي إلى L1 ^{, w} ولكنها لا تنتمي إلى L1 ^.

وبالمثل، يمكن تعريف الضعيف${\displaystyle L^{p}}$الفضاء هو فضاء جميع الدوال f التي تحقق${\displaystyle |f|^{p}}$ينتمي إلى L ^{1، w} ، والضعيف${\displaystyle L^{p}}$استخدام المعيار

$\displaystyle \|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.}$

وبشكل أكثر مباشرة، يُعرَّف معيار L ^{p , w} بأنه أفضل ثابت C في المتباينة

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

لكل t  >  0.

بشكل غير رسمي، نظرية Marcinkiewicz هي

نظرية. ليكن T مؤثرًا خطيًا محدودًا من${\displaystyle L^{p}}$ل${\displaystyle L^{p,w}}$وفي الوقت نفسه من${\displaystyle L^{q}}$ل${\displaystyle L^{q,w}}$إذن، فإن T هو أيضًا مؤثر محدود من${\displaystyle L^{r}}$ل${\displaystyle L^{r}}$لأي قيمة r بين p و q .

بمعنى آخر، حتى لو اقتصرنا على اشتراط التقييد الضعيف على القيمتين p و q ، فإن التقييد المنتظم يظل قائماً. ولتوضيح ذلك بشكل أكثر دقة، يجب شرح أن T محدودة فقط على مجموعة جزئية كثيفة ويمكن إكمالها. راجع نظرية ريز-ثورين لمزيد من التفاصيل.

تكمن نقطة ضعف نظرية مارسينكيويتش مقارنةً بنظرية ريز-ثورين في تقديرات المعيار. إذ تُعطي النظرية حدودًا لـ${\displaystyle L^{r}}$معيار T، لكن هذا الحد يزداد إلى ما لا نهاية عندما يتقارب r إلى p أو q . على وجه التحديد ( DiBenedetto 2002 ، النظرية VIII.9.2) ، لنفترض أن

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},}$

بحيث يكون معيار المؤثر T من L ^p إلى L ^{p , w} على الأكثر N _p ، ومعيار المؤثر T من L ^q إلى L ^{q , w} على الأكثر N _q . عندئذٍ، تتحقق متباينة الاستيفاء التالية لجميع قيم r بين p و q ولجميع الدوال f ∈ L ^r :  

${\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}}$

أين

${\displaystyle \delta ={\frac {p(qr)}{r(qp)}}}$

و

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

يمكن أيضًا إعطاء الثوابت δ و γ لـ q  =  ∞ عن طريق الانتقال إلى النهاية.

ينطبق شكل آخر من النظرية بشكل أعم إذا افترضنا أن T مؤثر شبه خطي بالمعنى التالي: يوجد ثابت C  >  0 بحيث يحقق T ما يلي:

${\displaystyle |T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)}$

لكل قيمة تقريبًا لـ x . تبقى النظرية صحيحة تمامًا كما هي مذكورة، باستثناء استبدال γ بـ

${\displaystyle \gamma =2C\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

مؤثر T (ربما شبه خطي) يحقق تقديرًا على النحو التالي

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}}$

يُقال إن المؤثر من ^النوع الضعيف ( p , q ) . يكون المؤثر ببساطة من النوع ( p , q ) إذا كان T تحويلاً محدوداً من Lp إلى Lq ^.

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

الصيغة الأكثر عمومية لنظرية الاستيفاء هي كما يلي:

• إذا كان T مؤثرًا شبه خطي من النوع الضعيف ( p₀ _, q₀ ) ومن النوع الضعيف ( p₁ _, q₁ ) حيث q₀ ≠ q₁ _، فإنه لكل θ ∈ (0,1)، _يكون T من النوع ( _p , q )، وذلك لـ p و q حيث p ≤ q على الصورة التالية _:    

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.}$

وتستند الصيغة الأخيرة إلى الصيغة الأولى من خلال تطبيق متباينة هولدر وحجة الازدواجية.

من الأمثلة التطبيقية الشهيرة تحويل هيلبرت . عند النظر إليه كمضاعف ، يمكن حساب تحويل هيلبرت للدالة f عن طريق أخذ تحويل فورييه للدالة f أولاً ، ثم ضربه بدالة الإشارة ، وأخيراً تطبيق تحويل فورييه العكسي .

وبالتالي، تُظهر نظرية بارسيفال بسهولة أن تحويل هيلبرت محدود من${\displaystyle L^{2}}$ل${\displaystyle L^{2}}$والحقيقة الأقل وضوحًا هي أنها محصورة من${\displaystyle L^{1}}$ل${\displaystyle L^{1,w}}$وبالتالي، تُظهر نظرية مارسينكيويتش أنها محدودة من${\displaystyle L^{p}}$ل${\displaystyle L^{p}}$لأي قيمة لـ p بين 1 و2. تُظهر حجج الازدواجية أنها محدودة أيضًا لـ p بين 2 و∞ . في الواقع، تحويل هيلبرت غير محدود فعليًا عندما تكون p تساوي 1 أو ∞.

ومن الأمثلة الشهيرة الأخرى دالة هاردي-ليتلوود القصوى ، وهي دالة شبه خطية وليست خطية.${\displaystyle L^{p}}$ل${\displaystyle L^{p}}$يمكن استخلاص الحدود مباشرة من${\displaystyle L^{1}}$إلى الضعف${\displaystyle L^{1}}$يُعد تقدير دالة ماركينكيويتش القصوى عن طريق تغيير ذكي للمتغيرات نهجًا أكثر سهولة. وبما أن دالة هاردي-ليتلوود القصوى محدودة بشكل بديهي من${\displaystyle L^{\infty }}$ل${\displaystyle L^{\infty }}$، حدود قوية للجميع${\displaystyle p>1}$وينتج ذلك مباشرةً من التقدير الضعيف (1,1) والاستيفاء. ويمكن الحصول على التقدير الضعيف (1,1) من مبرهنة فيتالي للتغطية .

أُعلن عن هذه النظرية لأول مرة من قِبل مارسينكيويتش (1939) ، الذي عرضها على أنطوني زيغموند قبيل وفاته في الحرب العالمية الثانية. كاد زيغموند أن ينسى النظرية، وغابت عن أعماله الأصلية في نظرية المؤثرات التكاملية الشاذة . لاحقًا، أدرك زيغموند (1956) أن نتيجة مارسينكيويتش يمكن أن تُبسط عمله بشكل كبير، فنشر حينها نظرية تلميذه السابق مع تعميم خاص به.

في عام 1964، نشر ريتشارد أ. هانت وغيدو فايس برهانًا جديدًا لنظرية الاستيفاء لمارسينكيويتش. ^{[ 1 ]}

• فضاء الاستيفاء

• ديبينديتو، إيمانويل (2002)، تحليل حقيقي ، بيركهاوزر، ISBN 3-7643-4231-5.
• جيلبارج، ديفيد ؛ ترودينجر، نيل س. (2001)، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz، J. (1939)، “Sur l'interpolation d'operations” ، سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس ، 208 : 1272 – 1273
• شتاين، إلياس ؛ فايس، غيدو (1971)، مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، مطبعة جامعة برينستون، ISBN 0-691-08078-X.
• Zygmund، A. (1956)، “On a theorem of Marcinkiewicz بخصوص استيفاء العمليات”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ، Neuvième Série، 35 : 223–248 ، ISSN 0021-7824 ، MR 0080887