توزيع بيتا للمتغيرات المصفوفية

لو${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ثم كثافة${\displaystyle X=U^{-1}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}}$

بشرط أن${\displaystyle X>I_{p}}$و${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$.

لو${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$و${\displaystyle H}$ثابت${\displaystyle p\times p}$المصفوفة المتعامدة ، ثم${\displaystyle HUH^{T}\sim B(a,b).}$

أيضًا، إذا${\displaystyle H}$هو متعامد عشوائي${\displaystyle p\times p}$المصفوفة المستقلة عن${\displaystyle U}$، ثم${\displaystyle HUH^{T}\sim B_{p}(a,b)}$، موزعة بشكل مستقل عن${\displaystyle H}$.

لو${\displaystyle A}$أي ثابت${\displaystyle q\times p}$،${\displaystyle q\leq p}$مصفوفة الرتب${\displaystyle q}$، ثم${\displaystyle AUA^{T}}$له توزيع بيتا للمتغيرات المصفوفية المعممة ، على وجه التحديد${\displaystyle AUA^{T}\sim GB_{q}\left(a,b;AA^{T},0\right)}$.

لو${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ونقسم${\displaystyle U}$مثل

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle U_{11}}$يكون${\displaystyle p_{1}\times p_{1}}$و${\displaystyle U_{22}}$يكون${\displaystyle p_{2}\times p_{2}}$ثم تعريف مكمل شور${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$مثل${\displaystyle U_{22}-U_{21}{U_{11}}^{-1}U_{12}}$يعطي النتائج التالية:

• ${\displaystyle U_{11}}$مستقل عن​${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$
• ${\displaystyle U_{11}\sim B_{p_{1}}\left(a,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{22\cdot 1}\sim B_{p_{2}}\left(a-p_{1}/2,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}}$له توزيع t للمتغيرات المصفوفية المعكوسة ، على وجه التحديد${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}\sim IT_{p_{2},p_{1}}\left(2b-p+1,0,I_{p_{2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\right).}$

يُثبت ميترا النظرية التالية التي توضح خاصية مفيدة لتوزيع بيتا للمتغيرات المصفوفية. لنفترض${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ويشارت مستقلة${\displaystyle p\times p}$المصفوفات${\displaystyle S_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma ),S_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma )}$افترض أن${\displaystyle \Sigma }$موجبة محددة و ذلك${\displaystyle n_{1}+n_{2}\geq p}$. لو

${\displaystyle U=S^{-1/2}S_{1}\left(S^{-1/2}\right)^{T},}$

أين${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}}$، ثم${\displaystyle U}$له توزيع بيتا للمتغيرات المصفوفية${\displaystyle B_{p}(n_{1}/2,n_{2}/2)}$. بخاصة،${\displaystyle U}$مستقل عن${\displaystyle \Sigma }$.

يتم تقريب توزيع أكبر قيمة ذاتية بشكل جيد عن طريق تحويل توزيع تريسي-ويدوم . ^{[ 2 ]}