نظرية ميرجيليان

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

نظرية ميرجيليان هي نتيجة للتقريب بواسطة كثيرات الحدود في التحليل المركب، وقد أثبتها عالم الرياضيات الأرمني سيرجي ميرجيليان في عام 1951.

إفادة

يتركك{\displaystyle K}لتكن مجموعة جزئية مضغوطة من المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }بحيثج∖ك{\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}متصلة . إذن، كل دالة متصلةو:ك→ج{\displaystyle f:K\to \mathbb {C} }بحيث يكون التقييدو{\displaystyle f}لعدد صحيح(ك){\displaystyle {\text{int}}(K)}هي دالة تحليلية ، ويمكن تقريبها بشكل منتظم علىك{\displaystyle K}باستخدام كثيرات الحدود . هنا،عدد صحيح(ك){\displaystyle {\text{int}}(K)}يشير إلى الجزء الداخلي منك{\displaystyle K}[ 1 ] [ 2 ]​

تنطبق نظرية ميرجيليان أيضًا على أسطح ريمان المفتوحة . ليكنأ(ك){\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}مجموعة جميع الدوال المتصلة والمركبة فيعدد صحيح(ك){\displaystyle {\text{int}}(K)}، و يا(X){\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}لتكن مجموعة جميع الدوال التي تكون تامة الشكل في جوارك{\displaystyle K}. ثم:

لوك{\displaystyle K}هي مجموعة مدمجة بدون ثقوب في سطح ريمان مفتوحX{\displaystyle X}ثم كل دالة فيأ(ك){\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}يمكن تقريبها بشكل منتظم علىك{\displaystyle K}بواسطة وظائف فييا(X){\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}[ 2 ]​

لا تنطبق نظرية ميرجيليان دائمًا في الأبعاد الأعلى (فضاءات المتغيرات المركبة المتعددة )، ولكن لها بعض النتائج. [ 2 ]

تاريخ

تُعد نظرية ميرجيليان تعميمًا لنظرية تقريب فايرشتراس ونظرية رونج .

في حالة أنج∖ك{\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}في مسألة التقريب الأولي، يجب استبدال كثيرات الحدود بدوال كسرية ، نظرًا لعدم وجود اتصال بينهما . وقد اقترح ميرجيليان في عام 1952 خطوة مهمة لحل مسألة التقريب الكسري هذه . وتُعزى نتائج معمقة أخرى حول التقريب الكسري، على وجه الخصوص، إلى أ. ج. فيتوشكين .

طُرحت نظريات فايرشتراس ورونجه عام ١٨٨٥، بينما تعود نظرية ميرجيليان إلى عام ١٩٥١. بعد فايرشتراس ورونجه، انكبّ العديد من علماء الرياضيات (ولا سيما والش ، وكيلديش ، ولافرينتييف ، وهارتوغز ، وروزنتال ) على دراسة المسألة نفسها. وتُعدّ طريقة البرهان التي اقترحها ميرجيليان طريقةً بنائية، وهي لا تزال البرهان البنائي الوحيد المعروف لهذه النتيجة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فورستنيريتش، فرانك (2019). "نظريتا ميرجيليان وأراكليان للتطبيقات متعددة القيم". مجلة موسكو الرياضية . 19 (3): 465-484 . arXiv : 1801.04773 . doi : 10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484 . MR 3993004 . 
  2. 1 2 3 فورناس، جيه إي؛ فورستنيريك، إف؛ وولد، إي إف (2020). "إرث فايرشتراس، ورونج، وأوكا-ويل، وميرجيليان". في برياز، دانيال؛ راسيس، مايكل ث. (محرران). التطورات في التحليل المركب - التقريب الهولومورفي . سبرينغر نيتشر . ص 133-192 . arXiv : 1802.03924 . doi : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN  978-3-030-40119-1. S2CID 220266044 . 

للمزيد من القراءة

  • لينارت كارلسون ، نظرية ميرجيليان حول التقريب متعدد الحدود المنتظم ، الرياضيات الإسكندنافية، المجلد 15، (1964) 167-175.
  • ديتر غاير، محاضرات في التقريب المركب ، بيركهاوزر بوسطن، (1987)، رقم ISBN 0-8176-3147-X.
  • دبليو. رودين، التحليل الحقيقي والمركب ، شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك، (1987)، رقم ISBN 0-07-054234-1.
  • أ. ج. فيتوشكين، نصف قرن كيوم واحد ، الأحداث الرياضية في القرن العشرين، 449-473، سبرينغر، برلين، (2006)، ISBN 3-540-23235-4/hbk.