التحليل الميكرولوكي

التحليل الميكرولوكالي هو فرع من التحليل الرياضي يدرس الدوال، والدوال المعممة ، والمعادلات التفاضلية الجزئية من خلال تحديد موقعها وترددها. وتتمثل الفكرة الرئيسية في وصف التفرد ليس فقط من خلال النقطة التي يحدث عندها، بل أيضًا من خلال اتجاه المماس المرافق الذي يحدث فيه. ويشير مصطلح "ميكرولوكالي" إلى التموضع على نطاق صغير في فضاء الطور : محليًا بالقرب من نقطة ما.${\displaystyle x}$لمتشعب وبالقرب في الوقت نفسه من متجه مشترك غير صفري${\displaystyle \xi }$عند تلك النقطة. هذا أدق من التحليل المحلي العادي، الذي يميز فقط ما إذا كانت الدالة أو التوزيع منتظمًا بالقرب من${\displaystyle x}$تُشفّر معلومات الموضع والمتجه المرافق الذي تحدث فيه حالة التفرد بواسطة مجموعة جبهة الموجة لتوزيع، وهي مجموعة فرعية مخروطية من حزمة الظل المرافق مع إزالة المقطع الصفري. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

طُوِّر التحليل الميكرولوكالي خلال الفترة من خمسينيات إلى سبعينيات القرن العشرين، وذلك بالارتباط بالمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ، وطرق تحويل فورييه ، والدوال الفائقة، والمؤثرات التفاضلية الزائفة . ويتناول هذا التحليل الانتظام الإهليلجي ، وانتشار النقاط الشاذة، ومؤثرات التكامل الفورييه ، والبصريات الهندسية ، ونظرية التشتت ، والنظرية الطيفية ، والتحليل شبه الكلاسيكي ، والمسائل العكسية . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

تُعدّ فكرة النعومة من الأفكار الأساسية في التحليل الميكروي المحلي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم التعبير عن ذلك باستخدام تحويل فورييه . إذا${\displaystyle u}$هو توزيع و${\displaystyle \phi }$هي دالة قطع سلسة مدعومة بالقرب من نقطة${\displaystyle x_{0}}$اضمحلال تحويل فورييه${\displaystyle {\widehat {\phi u}}(\xi )}$مثل${\displaystyle |\xi |\to \infty }$يكشف ما إذا كان${\displaystyle u}$ناعم بالقرب${\displaystyle x_{0}}$يأخذ التحليل الميكرولوكالي هذا الاضمحلال في الاعتبار فقط في جوار مخروطي لاتجاه معين.${\displaystyle \xi _{0}\neq 0}$إذا استمر التحلل السريع في تلك المنطقة المخروطية، فإن${\displaystyle u}$يقال إنها ناعمة على المستوى الميكروي المحلي عند${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$[ ^{1 ]​}

وبالتالي فإن السلاسة الميكروية المحلية هي مفهوم أضعف من السلاسة العادية: يمكن أن يكون التوزيع سلسًا ميكرويًا محليًا في بعض الاتجاهات عند نقطة ما وليس في اتجاهات أخرى.

إحدى النتائج الأساسية في هذا المجال هي الانتظام الإهليلجي الميكروي المحلي. إذا${\displaystyle P}$هو مؤثر تفاضلي زائف يكون إهليلجيًا بالقرب من${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$، ثم${\displaystyle u}$ناعم على المستوى الميكروي${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$حينما${\displaystyle Pu}$يكون السطح أملسًا على المستوى الميكروي المحلي هناك. أو بعبارة أخرى، نقاط تفرد الحل${\displaystyle u}$إلى معادلة${\displaystyle Pu=f}$يمكن أن يحدث ذلك بعيدًا عن مجموعة جبهة الموجة${\displaystyle f}$فقط في المجموعة المميزة لـ${\displaystyle P}$[ ^{6 ] [ 2 ]​}

مجموعة جبهة الموجة${\displaystyle WF(u)}$توزيع${\displaystyle u}$على مشعب أملس${\displaystyle X}$هي مجموعة الأزواج${\displaystyle (x,\xi )}$، مع${\displaystyle \xi \neq 0}$، حيث${\displaystyle u}$ليست ناعمة على المستوى الميكروي المحلي. إنها مجموعة فرعية مخروطية مغلقة من${\displaystyle T^{*}X\setminus 0}$بمعنى أنه إذا${\displaystyle (x,\xi )}$ينتمي إلى${\displaystyle WF(u)}$إذن كذلك${\displaystyle (x,\lambda \xi )}$لكل${\displaystyle \lambda >0}$[ ^{1 ]​}

إسقاط${\displaystyle WF(u)}$ل${\displaystyle X}$هو الدعم الوحيد لـ${\displaystyle u}$وبالتالي، تحتوي مجموعة جبهة الموجة على الموقع المعتاد للنقاط الشاذة، ولكنها تسجل أيضًا اتجاهاتها. ^{[ 2 ]}

مجموعة جبهات الموجة لتوزيع ديراك دلتا${\displaystyle \delta _{x_{0}}}$في نقطة${\displaystyle x_{0}}$على سبيل المثال، يتكون من جميع اتجاهات الظل التمام غير الصفرية عند${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle WF(\delta _{x_{0}})=\{(x_{0},\xi ):\xi \in T_{x_{0}}^{*}X,\ \xi \neq 0\}.}$

إذا كان للتوزيع انقطاع مفاجئ عبر سطح فائق أملس${\displaystyle S}$، مجموعة جبهة الموجة الخاصة بها موجودة في الحزمة المشتركة لـ${\displaystyle S}$وبالتالي، تتركز النقطة الشاذة في الاتجاهات العمودية على السطح الفائق.

تُعمم المؤثرات التفاضلية الزائفة المؤثرات التفاضلية من خلال السماح بدوال أكثر عمومية لمتغير التردد. محليًا، يكون لهذا المؤثر الشكل التالي:

${\displaystyle Au(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\cdot \xi }a(x,\xi ){\widehat {u}}(\xi )\,d\xi ,}$

أو، بشكل أعم، تكامل تذبذبي ذو سعة${\displaystyle a(x,\xi )}$الوظيفة${\displaystyle a}$يُطلق عليه رمز المعامل. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

الجزء المتجانس الرئيسي من الرمز هو الرمز الأساسي. وهو يتحكم في جزء كبير من السلوك الميكرو-محلي للمؤثر. يكون المؤثر إهليلجيًا عند نقطة ما.${\displaystyle (x,\xi )}$من حزمة الظل التمام إذا كان رمزها الرئيسي غير صفري هناك. المجموعة التي يتلاشى فيها الرمز الرئيسي هي المجموعة المميزة للمؤثر.

تعتبر المؤثرات التفاضلية الزائفة ميكروية محلية بمعنى أنها لا تخلق حالات شاذة جديدة في اتجاهات عشوائية:

${\displaystyle WF(Au)\subseteq WF(u).}$

تتضمن التصريحات الأكثر دقة الدعم الأساسي لرمز${\displaystyle A}$وعلى العكس من ذلك، يمكن عكس المؤثرات التفاضلية الزائفة الإهليلجية على المستوى الميكروي المحلي، مما يؤدي إلى أشكال ميكروية محلية من الانتظام الإهليلجي. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للمؤثرات من النوع الرئيسي الحقيقي، يقدم التحليل الميكرولوكالي نظرية دقيقة حول انتشار النقاط الشاذة. ليكن${\displaystyle P}$رمز رأس المال الحقيقي${\displaystyle p}$حقل متجه هاميلتوني${\displaystyle H_{p}}$تحدد حزمة الظل التمام منحنيات تسمى الخصائص الثنائية . وتنص نظرية انتشار التفردات، بشكل تقريبي، على أن مجموعة جبهة الموجة لحل لـ${\displaystyle Pu=f}$، خارج مجموعة جبهة الموجة${\displaystyle f}$، ثابت على طول التدفق ثنائي الخصائص في المجموعة المميزة لـ${\displaystyle P}$[ ^{9 ] [ 10 ]​}

تُقدّم هذه النظرية صيغةً دقيقةً للبصريات الهندسية . ففي المعادلات الزائدية، تنتقل النقاط الشاذة على طول الأشعة التي يُحدّدها التدفق الهاميلتوني للرمز الرئيسي. وفي حالة معادلة الموجة على مشعب ريماني ، ترتبط هذه الأشعة بالتدفق الجيوديسي . وفي الهندسة اللورنتزية ، ينصّ البيان المقابل على أن النقاط الشاذة لحلول الموجة تنتشر على طول الجيوديسيات الصفرية (الخصائص الثنائية الصفرية).

• التحليل الجبري
• وظيفة دقيقة
• مشغل التفاضل الجزئي

• Duistermaat، JJ (2011)، مشغلو فورييه المتكاملون ، كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة، بوسطن: بيركهاوزر، دوى : 10.1007 / 978-0-8176-8108-1 ، ISBN 978-0-8176-8107-4.
• هورماندر، لارس (1990)، تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية 1: نظرية التوزيع وتحليل فورييه (الطبعة الثانية  )، برلين: سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-642-61497-2 ، ISBN 978-3-642-61497-2.
• هورماندر، لارس (1985)، تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية III: المؤثرات التفاضلية الزائفة ، برلين: سبرينغر.
• كاشيوارا، م.؛ شابيرا، ب. إيفورا، ف؛ Waschkies، I. (2006)، “Microlocalization of ind-sheaves” ، التقدم في الرياضيات ، بوسطن، MA: Birkhäuser Boston، الصفحات من 171 إلى 221، ISBN  978-0-8176-4342-3
• تايلور، مايكل إي. (1981)، المؤثرات التفاضلية الزائفة ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  34، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون.

• ملاحظات المحاضرة بقلم ريتشارد ميلروز
• ملاحظات محاضرات حديثة لريتشارد ميلروز