نظرية ميتشل للتضمين

تُعرف نظرية ميتشل للتضمين ، أو نظرية فريد-ميتشل، أو نظرية التضمين الكامل ، بأنها نتيجة تتعلق بالفئات الأبيلية الصغيرة ؛ إذ تنص على أنه يمكن تمثيل هذه الفئات، على الرغم من تعريفها المجرد، كفئات ملموسة تكون عناصرها عبارة عن وحدات نمطية . وعلى وجه الخصوص، تسمح هذه النتيجة باستخدام براهين تتبع المخططات العنصرية في الفئات الأبيلية. سُميت النظرية نسبةً إلى باري ميتشل وبيتر فريد .

البيان الدقيق هو كما يلي: إذا كانت A فئة أبيلية صغيرة، فإنه يوجد حلقة R (مع  1، ليس بالضرورة تبديلية) ودالة كاملة ومخلصة ودقيقة F : A → R -Mod ( حيث تشير الأخيرة إلى فئة جميع وحدات R اليسارية ).

يُنتج المؤثر F تكافؤًا بين A وفئة فرعية كاملة من R -Mod، بحيث تتطابق النوى والنوى المساعدة المحسوبة في A مع النوى والنوى المساعدة العادية المحسوبة في R -Mod. هذا التكافؤ جمعي بالضرورة . وبالتالي، تنص النظرية أساسًا على أنه يمكن اعتبار عناصر A وحدات R- ، والتشاكلات دوال خطية R- ، مع تحديد النوى والنوى المساعدة والمتتاليات التامة ومجاميع التشاكلات كما في حالة الوحدات. مع ذلك، لا تتطابق العناصر الإسقاطية والحقنية في A بالضرورة مع الوحدات الإسقاطية والحقنية R- .

يترك${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$لتكن فئة الدوال التامة اليسرى من الفئة الأبيلية${\displaystyle {\mathcal {A}}}$إلى فئة المجموعات الأبيلية${\displaystyle Ab}$أولاً، نقوم بإنشاء تضمين متغاير .${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$بواسطة${\displaystyle H(A)=h^{A}}$للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$، أين${\displaystyle h^{A}}$هو الدالة المتجانسة المتغيرة،${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$تنصّ عقيدة يونيدا على ما يلي :${\displaystyle H}$وهو أمين تمامًا، ونحصل أيضًا على الدقة اليسرى لـ${\displaystyle H}$بسهولة بالغة لأن${\displaystyle h^{A}}$تم تركه بالفعل بدقة تامة. دليل على الدقة الصحيحة لـ${\displaystyle H}$وهو أصعب ويمكن قراءته في كتاب سوان، Lecture Notes in Mathematics 76 .

وبعد ذلك نثبت ذلك${\displaystyle {\mathcal {L}}}$تُعتبر فئة أبيلية باستخدام نظرية التوطين (وأيضًا سوان). هذا هو الجزء الأصعب من البرهان.

من السهل التحقق من أن الفئة الأبيلية${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي من فئة AB5 مزودة بمولد كهربائي${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$بمعنى آخر، إنها فئة غروتينديك ، وبالتالي لها مولد مشترك حقني${\displaystyle I}$.

حلقة التشكل الداخلي${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$هذه هي الحلقة التي نحتاجها لفئة وحدات R.

بواسطة${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$نحصل على تضمين متغاير آخر، دقيق ومخلص تمامًا${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$التركيب${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$هو التضمين المتغير المطلوب الدقيق والمخلص تمامًا.

لاحظ أن برهان نظرية غابرييل-كويلين للتضمين للفئات الدقيقة متطابق تقريبًا.