التناظر الثماني الأوجه

مجموعات النقاط المختارة في ثلاثة أبعاد

التناظر الانعكاسي C s , (*) [ ] =	التناظر الدوري C nv , (*nn) [n] =	التناظر ثنائي السطوح D nh , (*n22) [n,2] =
مجموعة متعددة السطوح ، [n,3]، (*n32)
التناظر الرباعي الأوجه T d , (*332) [3,3] =	التناظر الثماني الأوجه O h ، (*432) [4,3] =	التناظر العشري الوجوه I h , (*532) [5,3] =

يمتلك المجسم الثماني الأوجه المنتظم 24 تناظرًا دورانيًا (أو يحافظ على الاتجاه)، و48 تناظرًا إجمالًا. وتشمل هذه التناظرات التحويلات التي تجمع بين الانعكاس والدوران. ويمتلك المكعب نفس مجموعة التناظرات، لأنه المجسم الثنائي للمجسم الثماني الأوجه.

مجموعة التناظرات التي تحافظ على الاتجاه هي S ₄ ، وهي المجموعة المتناظرة أو مجموعة تباديل أربعة كائنات، حيث يوجد تناظر واحد فقط لكل تبديل من الأقطار الأربعة للمكعب.

التناظر الكيرالي والتناظر الثماني السطوح الكامل (أو غير الكيرالي ) هما تناظران نقطيان منفصلان (أو ما يعادلهما، تناظران على الكرة ) لهما أكبر مجموعات تناظر متوافقة مع التناظر الانتقالي . وهما من بين مجموعات التناظر النقطية البلورية للنظام البلوري المكعب .

أمثلة
${\displaystyle (0,0)=0}$	${\displaystyle (3,0)=7}$	${\displaystyle (0,3)=3}$	${\displaystyle (7,1)=1'}$	${\displaystyle (4,5)=9'}$
${\displaystyle (7,0)=0'}$	${\displaystyle (4,0)=7'}$	${\displaystyle (7,3)=3'}$	${\displaystyle (0,1)=1}$	${\displaystyle (3,5)=9}$
يمكن الاطلاع على القائمة الكاملة في مقالة ويكيفيرسيتي .

باعتبارها المجموعة فائقة السطوح ذات البعد 3، فإن المجموعة الثمانية السطوح الكاملة هي ناتج الإكليل${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$والطريقة الطبيعية لتحديد عناصرها هي كأزواج ( م ، ن ) مع${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$و${\displaystyle n\in [0,3!)}$ولكن بما أنه أيضًا حاصل الضرب المباشر S ₄ × S ₂ ، يمكن للمرء ببساطة تحديد عناصر المجموعة الفرعية رباعية الأوجه T _d على النحو التالي:${\displaystyle a\in [0,4!)}$وانعكاساتها كـ${\displaystyle a'}$.

فعلى سبيل المثال، يُرمز إلى عنصر التطابق (0، 0) بالرقم 0، وإلى معكوسه (7، 0) بالرقم 0′. ويُرمز إلى (3، 1) بالرقم 6، وإلى (4، 1) بالرقم 6′.

الدوران والانعكاس هما مزيج من الدوران والانعكاس.

رسم توضيحي للانعكاسات الدوارة
الانعكاس 7′ يتم تطبيقها على دوران 120 درجة 4 يعطي انعكاس الدوران 60 درجة 8′. ${\displaystyle 7'\circ 4=8'}$
الانعكاس 7′ تم تطبيقها على دوران 90 درجة 22′ يعطي انعكاس الدوران بزاوية 90 درجة 17. ${\displaystyle 7'\circ 22'=17}$

التناظر الثماني السطوح الكيرالي

محاور الدوران
ج 4	ج 3 >	ج 2
3	4	6

المجموعة O ، 432 ، أو [4,3] ⁺ من الرتبة 24، هي تناظر ثماني السطوح كيرالي أو تناظر ثماني السطوح دوراني . تشبه هذه المجموعة التناظر الرباعي السطوح الكيرالي T، لكن محاور C2 _أصبحت الآن محاور C4 _، بالإضافة إلى وجود 6 محاور C2 _تمر بمنتصفات أضلاع المكعب. المجموعتان Td _و O متماثلتان كمجموعات مجردة: فكلتاهما تُقابلان S4 _، وهي المجموعة المتناظرة على 4 عناصر. Td _هي اتحاد T والمجموعة الناتجة عن دمج كل عنصر من O \ T مع الانعكاس. O هي مجموعة الدوران للمكعب وثماني السطوح المنتظم .  

التناظر الثماني السطوح الكيرالي

الإسقاط المتعامد	الإسقاط المجسم
ضعفين	أربعة أضعاف	ثلاثة أضعاف	ضعفين

تناظر ثماني الأوجه كامل

O _h ، *432 ، [4,3]، أو m3m من الرتبة 48 - تناظر ثماني السطوح غير كيرالي أو تناظر ثماني السطوح كامل . لهذه المجموعة نفس محاور الدوران مثل O، ولكن مع مستويات انعكاس، تشمل كلاً من مستويات انعكاس T _d و T _h . هذه المجموعة متماثلة مع S ₄ .C ₂ ، وهي مجموعة التناظر الكامل للمكعب وثماني السطوح . وهي مجموعة فوق ثماني السطوح عندما n = 3. انظر أيضًا إلى تماثلات المكعب .

مركب من المكعب وثماني الأوجه

كل وجه من أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهاً هو مجال أساسي.

المجموعة الثمانية السطوح O _h ذات المجال الأساسي

باستخدام المحاور الرباعية كمحاور إحداثيات، يُعطى المجال الأساسي لـ O _h بالعلاقة 0 ≤ x ≤ y ≤ z . يتميز الجسم ذو هذا التناظر بجزء الجسم الموجود في المجال الأساسي، فعلى سبيل المثال، يُعطى المكعب بالعلاقة z = 1 ، وثماني الأوجه بالعلاقة x + y + z = 1 (أو المتباينات المناظرة، للحصول على المجسم بدلًا من السطح). تعطي العلاقة ax + by + cz = 1 متعدد السطوح ذو 48 وجهًا، مثل مجسم ديسدياكيس ذي الاثني عشر وجهًا.

تتكون الوجوه من 8 × 8 مجتمعة لتكوين وجوه أكبر عندما يكون a = b = 0 (مكعب) و 6 × 6 عندما يكون a = b = c (ثماني الأوجه).

يمكن تقسيم خطوط المرآة التسعة ذات التناظر الثماني السطوح الكامل إلى مجموعتين فرعيتين من 3 و 6 (مرسومة باللونين الأرجواني والأحمر)، تمثلان تناظرين فرعيين متعامدين: D _2h و T _d . ويمكن مضاعفة تناظر D _{2h إلى D 4h} عن طريق استعادة مرآتين من أحد الاتجاهات الثلاثة.

التناظر الثماني السطوح والمجموعات الفرعية العاكسة
الإسقاط المتعامد الإسقاط المجسم أربعة أضعاف ثلاثة أضعاف ضعفين O h , [4,3], , تناظر ثماني السطوح كامل (3+6 مرايا) T d , [3,3]=[1 + ,4,3], = , مجموعة فرعية رباعية الأوجه (6 مرايا) C 3v , [3], , مجموعة فرعية ثنائية السطوح (3 مرايا)	الإسقاط المتعامد الإسقاط المجسم أربعة أضعاف ثلاثة أضعاف ضعفين D 4h ، [4,2] ، مجموعة فرعية ثنائية السطوح (مرايا 1+2+2) D 2h , [2,2]=[4,3*], = مجموعة فرعية ثنائية السطوح (مرايا 1+1+1) C 4v , [4], , مجموعة فرعية ثنائية السطوح (مرآتان 2+2)

مصفوفات الدوران

خذ مجموعة جميع مصفوفات التبديل 3×3 وقم بتعيين إشارة + أو − لكل من الأرقام 1 الثلاثة. يوجد${\displaystyle 3!=6}$التباديل و${\displaystyle 2^{3}=8}$تُشكّل تركيبات الإشارات ما مجموعه 48 مصفوفة، تُعطي المجموعة الثمانية السطوح كاملةً. 24 من هذه المصفوفات لها مُحدِّد +1؛ ​​وهي مصفوفات الدوران للمجموعة الثمانية السطوح الكيرالية. أما المصفوفات الـ 24 المتبقية فلها مُحدِّد -1 وتُقابل الانعكاس أو الانقلاب.

يلزم وجود ثلاث مصفوفات مولدة انعكاسية لتحقيق التناظر الثماني الأوجه، والتي تمثل المرايا الثلاث لمخطط كوكسيتر-دينكين . ينتج عن ضرب الانعكاسات 3 مولدات دورانية.

[4,3],

	تأملات			التناوب			انعكاس الدوران
مولدات كهربائية	R 0	R 1	R 2	R 0 R 1	R 1 R 2	R 0 R 2	R 0 R 1 R 2
مجموعة
طلب	2	2	2	4	3	2	6
المصفوفة	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1\\0&-1&{\phantom {+}}0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\phantom {+}}0&1&0\\{\phantom {+}}0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

مجموعات فرعية من التناظر الثماني السطوح الكامل

يا تي دي ذ​ الرسوم البيانية الدورية للمجموعات الفرعية من الرتبة 24

المجموعات الفرعية الدورانية المجموعات الفرعية العاكسة مجموعات فرعية تحتوي على انقلاب

تدوين شونفليس	كوكسيتر		محجر العين.	جلالة الملكة	بناء	دورة.	طلب	فِهرِس
أوه​	[4,3]		*432	م 3 م	S 4 × S 2		48	1
تي دي	[3,3]		*332	4 3م	S 4		24	2
D 4h	[2,4]		*224	4/ممم	D 2 × D 8		16	3
D 2h	[2,2]		*222	ممم	D 3 2 = D 2 × D 4		8	6
C 4v	[4]		*44	4 مم	د 8		8	6
C 3v	[3]		*33	3 أمتار	D 6 = S 3		6	8
C 2v	[2]		*22	مم2	D 2 2 = D 4		4	12
C s = C 1v	[  ]		*	2 أو م	د 2		2	24
ذ​	[3 + ,4]		3*2	م 3	A 4 × S 2		24	2
ج 4 ساعات	[4 + ,2]		4*	4/م	Z 4 × D 2		8	6
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3 أمتار	D 12 = Z 2 × D 6		12	4
D 2d	[2 + ,4]		2*2	4 2 متر	د 8		8	6
C 2h = D 1d	[2 + ,2]		2*	2/م	Z 2 × D 2		4	12
S 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z 6 = Z 2 × Z 3		6	8
S 4	[2 + ،4 + ]		2×	4	Z 4		4	12
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	S 2		2	24
يا	[4,3] +		432	432	S 4		24	2
تي	[3,3] +		332	23	أ 4		12	4
د 4	[2,4] +		224	422	د 8		8	6
د 3	[2,3] +		223	322	D 6 = S 3		6	8
د 2	[2,2] +		222	222	D 4 = Z 2 2		4	12
ج 4	[4] +		44	4	Z 4		4	12
ج 3	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	16
ج 2	[2] +		22	2	Z 2		2	24
ج 1	[  ] +		11	1	Z 1		1	48

المجموعات الفرعية ثمانية الأوجه في تدوين كوكسيتر [ 1 ]

يحتوي المكعب على 48 شكلاً متماثلاً (عناصر تناظر)، تشكل مجموعة التناظر O _h ، وهي متماثلة مع S ₄ × Z _2. ويمكن تصنيفها على النحو التالي:

• O (التطابق و23 دورانًا صحيحًا) مع فئات الاقتران التالية (بين قوسين توجد تباديل أقطار الجسم وتمثيل الكواترنيون الوحدوي ):
  • الهوية (الهوية؛ 1)
  • الدوران حول محور من مركز وجه إلى مركز الوجه المقابل بزاوية 90 درجة: 3 محاور، 2 لكل محور، معًا 6 ((1 2 3 4)، إلخ؛ ((1 ± i )/ √ 2 ، إلخ.)
  • وبالمثل بزاوية 180 درجة: 3 محاور، واحد لكل محور، معًا 3 ((1 2) (3 4)، إلخ؛ i ، j ، k )
  • الدوران حول محور من مركز حافة إلى مركز الحافة المقابلة بزاوية 180 درجة: 6 محاور، محور واحد لكل محور، معًا 6 ((1 2)، إلخ؛ (( i ± j )/ √ 2 ، إلخ.)
  • الدوران حول قطر الجسم بزاوية 120 درجة: 4 محاور، 2 لكل محور، معًا 8 ((1 2 3)، إلخ؛ (1 ± i ± j ± k )/2)
• وينطبق الأمر نفسه على الانعكاس ( حيث يُحوّل x إلى -x ) (وكذلك 24 عملية تماثل). لاحظ أن الدوران بزاوية 180° حول محور ما مع الانعكاس هو مجرد انعكاس في المستوى العمودي. أما الجمع بين الانعكاس والدوران حول قطر الجسم بزاوية 120° فهو دوران حول قطر الجسم بزاوية 60°، مع انعكاس في المستوى العمودي (الدوران بحد ذاته لا يُحوّل المكعب إلى نفسه؛ بل تقاطع مستوى الانعكاس مع المكعب هو شكل سداسي منتظم ).

يمكن تحديد التماثل الهندسي للمكعب بطرق مختلفة:

• يتم تعيين ثلاثة أوجه متجاورة معينة (على سبيل المثال 1 و2 و3 على النرد) بواسطة الوجوه
• بواسطة صورة مكعب عليه علامة غير متناظرة على أحد أوجهه: الوجه الذي يحمل العلامة، سواء كان عاديًا أم صورة معكوسة، واتجاهه
• عن طريق تبديل الأقطار الأربعة للجسم (كل تبديل من التبديلات الـ 24 ممكن)، بالإضافة إلى مفتاح تبديل لعكس المكعب، أو لا

بالنسبة للمكعبات ذات الألوان أو العلامات (مثل النرد )، فإن مجموعة التناظر هي مجموعة فرعية من O _h .

أمثلة:

• C _4v , [4], (*422): إذا كان أحد الأوجه بلون مختلف (أو كان للوجهين المتقابلين ألوان مختلفة عن بعضها البعض وعن الأوجه الأربعة الأخرى)، فإن المكعب له 8 أشكال متساوية القياس، كما هو الحال في المربع ثنائي الأبعاد.
• D _2h , [2,2], (*222): إذا كانت الأوجه المتقابلة لها نفس الألوان، مختلفة لكل مجموعة من اثنين، فإن المكعب له 8 تماثلات، مثل متوازي المستطيلات .
• D _4h , [4,2], (*422): إذا كان للوجهين المتقابلين نفس اللون، ولجميع الوجوه الأخرى لون مختلف، فإن المكعب له 16 شكلًا متساوي القياس، مثل المنشور المربع (صندوق مربع).
• C _2v , [2], (*22):
  • إذا كان لوجهين متجاورين نفس اللون، ولجميع الأوجه الأخرى لون مختلف، فإن المكعب له 4 أشكال متساوية القياس.
  • إذا كانت ثلاثة أوجه، اثنان منها متقابلان، لها لون واحد والثلاثة الأخرى لها لون آخر، فإن المكعب له 4 أوجه متساوية القياس.
  • إذا كان لوجهين متقابلين نفس اللون، ووجهين متقابلين آخرين كذلك، وكان للوجهين الأخيرين ألوان مختلفة، فإن المكعب له 4 أشكال متساوية القياس، مثل قطعة من الورق الفارغ ذات شكل متناظر معكوس.
• C _s , [  ], (*):
  • إذا كان للوجهين المتجاورين ألوان مختلفة عن بعضها البعض، وللأوجه الأربعة الأخرى لون ثالث، فإن المكعب له 2 من التماثلات.
  • إذا كان للوجهين المتقابلين نفس اللون، ولجميع الوجوه الأخرى ألوان مختلفة، فإن المكعب له شكلان متساويان، مثل قطعة غير متماثلة من الورق الفارغ.
• C _3v , [3], (*33): إذا كانت ثلاثة أوجه، لا يوجد منها وجه مقابل للآخر، لها لون واحد والثلاثة الأخرى لون آخر، فإن المكعب له 6 أوجه متساوية القياس.

بالنسبة لبعض المجموعات الفرعية الأكبر، لا يمكن الحصول على مكعب ذي مجموعة تناظرية من تلك المجموعة بمجرد تلوين الأوجه بالكامل. بل يجب رسم نمط معين على الأوجه.

أمثلة:

• D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): إذا كان أحد الأوجه يحتوي على قطعة مستقيمة تقسم الوجه إلى مستطيلين متساويين، وكان الوجه المقابل يحتوي على نفس الشيء في الاتجاه العمودي، فإن المكعب له 8 تماثلات؛ يوجد مستوى تناظر وتناظر دوراني ثنائي مع محور بزاوية 45 درجة على ذلك المستوى، ونتيجة لذلك، يوجد أيضًا مستوى تناظر آخر عمودي على الأول، ومحور آخر للتناظر الدوراني الثنائي عمودي على الأول.
• T _h , [3 ⁺ ,4], (3*2): إذا كان لكل وجه قطعة مستقيمة تقسم الوجه إلى مستطيلين متساويين، بحيث لا تلتقي القطع المستقيمة للأوجه المتجاورة عند الحافة، فإن المكعب له 24 تماثلًا: التبديلات الزوجية لأقطار الجسم ونفس الشيء مع الانعكاس ( يتم تعيين x إلى − x ).
• T _d , [3,3], (*332): إذا كان المكعب يتكون من ثمانية مكعبات أصغر، أربعة بيضاء وأربعة سوداء، موضوعة معًا بالتناوب في جميع الاتجاهات القياسية الثلاثة، فإن المكعب يحتوي مرة أخرى على 24 تماثلًا: هذه المرة التبديلات الزوجية لأقطار الجسم ومعكوسات الدورانات المناسبة الأخرى .
• T, [3,3] ⁺ , (332): إذا كان لكل وجه نفس النمط مع تناظر دوراني ثنائي، لنقل الحرف S، بحيث يلتقي الجزء العلوي من S واحد بجانب من S الآخر عند جميع الحواف، فإن المكعب له 12 تماثلًا: التبديلات الزوجية لأقطار الجسم.

يتم الحفاظ على التناظر الكامل للمكعب، O _{h ، [4,3]، (*432)،} إذا وفقط إذا كانت جميع الأوجه لها نفس النمط بحيث يتم الحفاظ على التناظر الكامل للمربع ، مع مجموعة تناظر للمربع، Dih ₄ ، [4]، من الرتبة 8.

يتم الحفاظ على التناظر الكامل للمكعب تحت الدوران المناسب، O، [4،3] ⁺ ، (432)، إذا وفقط إذا كانت جميع الأوجه لها نفس النمط مع تناظر دوراني رباعي ، Z ₄ ، [4] ⁺ .

في نظرية أسطح ريمان ، يُستخلص سطح بولزا ، الذي يُسمى أحيانًا منحنى بولزا، كغطاء مزدوج متفرع لكرة ريمان، مع موضع تفرع عند مجموعة رؤوس ثماني السطوح المنتظم المحاط بها. تتضمن زمرة التشاكل الذاتي الخاصة به الالتفاف الزائدي الإهليلجي الذي يقلب طبقتي الغطاء. ينتج عن قسمة هذا السطح على الزمرة الفرعية من الرتبة 2 المولدة بواسطة الالتفاف الزائدي الإهليلجي زمرة تناظرات ثماني السطوح. من بين الخصائص العديدة المميزة لسطح بولزا أنه يُعظم قيمة الانقباض بين جميع الأسطح الزائدية من الجنس 2.

• التناظر الرباعي الأوجه
• التناظر العشري الوجوه
• مجموعة ثمانية السطوح ثنائية
• مجموعة فائقة ثمانية الأوجه
• 25 دائرة عظمى من ثماني السطوح الكروي
• مواد تعليمية متعلقة بالمجموعة الثمانية السطوح الكاملة على موقع ويكيفيرسيتي

• بيتر ر. كرومويل، متعددات السطوح (1997)، ص  295
• تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6أُرشف بتاريخ 11 يوليو 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
• إن دبليو جونسون : الهندسة والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المنتهية ، 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الثمانية الأوجه" . عالم الرياضيات .
• خصائص المجموعة: ناتج مباشر لـ S4 و Z2