مجموعة مع المشغلين

في الجبر المجرد ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، فإن المجموعة ذات المؤثرات أو مجموعة Ω هي بنية جبرية يمكن اعتبارها مجموعة مع مجموعة Ω تعمل على عناصر المجموعة بطريقة خاصة.

لقد درست إيمي نوثر ومدرستها المجموعات التي تحتوي على عوامل بشكل مكثف في عشرينيات القرن الماضي. وقد استخدمت المفهوم في صياغتها الأصلية لنظريات نوثر الثلاث للتشاكل .

مجموعة تضم مشغلين${\displaystyle (G,\Omega )}$يمكن تعريفها ^{[ 1 ]} على أنها مجموعة${\displaystyle G=(G,\cdot )}$بالإضافة إلى فعل مجموعة$أوميغا$على${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

أي توزيعي بالنسبة لقانون المجموعة:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

لكل${\displaystyle \omega \in \Omega }$الخريطة${\displaystyle g\mapsto g^{\أوميغا }}$إذن، يكون هذا تشاكلاً داخلياً لـ G. ومن هذا، ينتج أن مجموعة Ω يمكن اعتبارها أيضاً مجموعة G ذات عائلة مفهرسة .${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$من التشكلات الداخلية لـ G.

$أوميغا$يُطلق عليه اسم مجال المؤثرات . وتُسمى التشاكلات الداخلية المرتبطة ^{[ 2 ]} بالتماثلات لـ G.

بفرض وجود مجموعتين G و H لهما نفس مجال المؤثرات$أوميغا$، تشاكل للمجموعات مع المؤثرات من${\displaystyle (G,\Omega )}$ل${\displaystyle (H,\Omega )}$هو تماثل زمر${\displaystyle \phi :G\to H}$مُرضٍ

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$للجميع${\displaystyle \omega \in \Omega }$و${\displaystyle g\in G.}$

تُسمى المجموعة الفرعية S من G مجموعة فرعية مستقرة ،$أوميغا$-مجموعة فرعية أو$أوميغا$المجموعة الفرعية الثابتة إذا كانت تحترم التماثلات، أي

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$للجميع${\displaystyle s\in S}$و${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

في نظرية الفئات ، يمكن تعريف المجموعة ذات المؤثرات ^{[ 3 ]} على أنها عنصر من فئة الدوال Grp ^M، حيث M هي أحادي (أي فئة ذات عنصر واحد)، و Grp ترمز إلى فئة المجموعات . هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق، بشرط$أوميغا$هو أحادي (وإلا فقد نوسعه ليشمل العنصر المحايد وجميع التركيبات ).

التشاكل في هذه الفئة هو تحويل طبيعي بين دالتين (أي مجموعتين لهما مؤثرات تشتركان في نفس مجال المؤثرات M ). ومرة ​​أخرى ، نستعيد التعريف المذكور أعلاه لتشاكل المجموعات ذات المؤثرات (حيث f هو عنصر التحويل الطبيعي).

تُعتبر المجموعة التي تحتوي على عوامل تشغيل أيضًا عملية ربط

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

أين${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$هي مجموعة التشكلات الداخلية للمجموعة G.

• بالنظر إلى أي مجموعة G ، فإن ( G , ∅) هي مجموعة بديهية ذات مؤثرات.
• بالنظر إلى وحدة نمطية M على حلقة R ، فإن R تعمل عن طريق الضرب القياسي على المجموعة الأبيلية الأساسية لـ M ، لذا فإن ( M ، R ) هي مجموعة مع عوامل تشغيل.
• كحالة خاصة مما سبق، فإن كل فضاء متجهي على حقل K هو مجموعة مع عوامل التشغيل ( V ، K ).

تنطبق نظرية جوردان -هولدر أيضًا على الزمر التي تحتوي على مؤثرات. إن اشتراط وجود متسلسلة تركيبية في الزمرة يُشابه شرط التراص في علم الطوبولوجيا ، وقد يكون أحيانًا شرطًا مُبالغًا فيه. من الطبيعي الحديث عن "التراص بالنسبة لمجموعة"، أي الحديث عن متسلسلة تركيبية حيث تكون كل زمرة جزئية ( طبيعية ) زمرة جزئية مؤثرة بالنسبة لمجموعة المؤثرات X ، للزمرة المعنية.

• العمل الجماعي

• بورباكي، نيكولاس (1974). عناصر الرياضيات  : الجبر 1، الفصول 1-3 . هيرمان. ISBN 2-7056-5675-8.
• بورباكي، نيكولاس (1998). عناصر الرياضيات  : الجبر 1، الفصول 1-3 . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-64243-9.
• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98403-8.