وظيفة الرتابة للمشغل

في الجبر الخطي، تُعدّ الدوال الرتيبة للمؤثرات نوعًا مهمًا من الدوال الحقيقية ، وقد صنّفها تشارلز لوفنر تصنيفًا كاملًا عام 1934. ^{[ 1 ]} وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدوال المقعرة والمحدبة للمؤثرات، وتُصادف في نظرية المؤثرات ونظرية المصفوفات ، وقد أدت إلى متباينة لوفنر-هاينز . ^{[ 2 ] [ 3 ]} تُسمى الدوال الرتيبة للمؤثرات في سياقات أخرى بالدوال الكاملة لبرنشتاين، أو دوال نيفانلينا ، أو دوال بيك، أو دوال الفئة (S). ^{[ 4 ]}

وظيفة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$معرفة على فترة${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$يُقال إن المشغل رتيب إذا كان كلما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مصفوفات هيرميتية (بأي حجم/أبعاد) تنتمي جميع قيمها الذاتية إلى مجال${\displaystyle f}$ومن يختلفون؟${\displaystyle AB}$إذا كانت مصفوفة شبه موجبة ، فبالضرورة${\displaystyle f(A)-f(B)\geq 0}$أين${\displaystyle f(A)}$و${\displaystyle f(B)}$هي قيم دالة المصفوفة الناتجة عن${\displaystyle f}$(وهي مصفوفات من نفس الحجم مثل${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$). الوظيفة${\displaystyle f}$يُقال إنها مصفوفة رتيبة من الرتبة n (أو ببساطة رتيبة من الرتبة n) إذا تحقق ما سبق لأي مصفوفات.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$من الحجم${\displaystyle n}$(ولكن ليس بالضرورة بأحجام أخرى).

الترميز

كثيراً ما يتم التعبير عن هذا التعريف بالرموز التي تم تعريفها الآن.

يكتب${\displaystyle A\geq 0}$للإشارة إلى أن المصفوفة${\displaystyle A}$هي شبه محددة موجبة، واكتب${\displaystyle A\geq B}$للإشارة إلى أن الفرق${\displaystyle AB}$من مصفوفتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يرضي${\displaystyle AB\geq 0}$(إنه،${\displaystyle AB}$(موجبة شبه محددة).

مع${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle A}$كما هو موضح في نص النظرية، قيمة دالة المصفوفة${\displaystyle f(A)}$هي المصفوفة (ذات الحجم نفسه)${\displaystyle A}$) مُعرَّف من حيث${\displaystyle A}$التحلل الطيفي${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}}$بواسطة $${\displaystyle f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ حيث${\displaystyle \lambda _{j}}$هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$مع أجهزة العرض المقابلة${\displaystyle P_{j}.}$

يمكن الآن إعادة صياغة تعريف دالة الرتيبة للمؤثر على النحو التالي:

وظيفة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$معرفة على فترة${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$يُقال إن المؤثر رتيب إذا (وفقط إذا) كان لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n,}$وكل شيء${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الهرميتية${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مع القيم الذاتية في${\displaystyle I,}$لو${\displaystyle A\geq B}$ثم${\displaystyle f(A)\geq f(B).}$

تنص نظرية لوفنر ^{[ 1 ]} على أن الدالة${\displaystyle f}$يكون المؤثر رتيبًا إذا وفقط إذا سمح باستمرار تحليلي إلى النصف العلوي من المستوى مع جزء تخيلي غير سالب.

وبشكل أعم، دالة${\displaystyle f(z)\geq 0}$ل${\displaystyle z\geq 0}$يكون المؤثر رتيبًا إذا وفقط إذا امتد إلى دالة تحليلية على${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} f(z)&\geq 0\qquad &&{\text{if }}\operatorname {Im} z\geq 0,\\\operatorname {Im} f(z)&\leq 0\qquad &&{\text{if }}\operatorname {Im} z\leq 0.\end{aligned}}}$

ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي${\displaystyle \operatorname {Im} f(z)\operatorname {Im} z\geq 0}$.

الدوال الرتيبة للمؤثرات هي نوع خاص من دوال برنشتاين. إذا كتبنا تمثيل برنشتاين لدالة برنشتاين${\displaystyle f}$مثل$${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$$ثم${\displaystyle f}$يكون المؤثر رتيبًا إذا وفقط إذا كان القياس${\displaystyle \mu }$لها دالة كثافة، وهذه الدالة رتيبة تمامًا، مما يفسر سبب وجود مثل هذه الدالة${\displaystyle f}$وتسمى أيضاً دالة برنشتاين الكاملة.

• دالة المصفوفة – دالة تربط المصفوفات ببعضها البعض. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• متباينة الأثر – مفهوم في رياضيات فضاءات هليبرت 

• هانسن، فرانك (2013). "الطريق المختصر إلى نظرية لوفنر". الجبر الخطي وتطبيقاته . 438 (11): 4557-4571 . arXiv : 1112.0098 . doi : 10.1016/j.laa.2013.01.022 . S2CID 119607318 . 
• تشانسانجيام، باتراوت (2015). "دراسة استقصائية حول رتابة المؤثر، وتحدب المؤثر، ومتوسطات المؤثر" . المجلة الدولية للتحليل . 2015 : 1-8 . doi : 10.1155/2015/649839 .
• بوت ، رادو إيوان؛ تشيتنيك، إرنو روبرت؛ هندريش، كريستوفر (1 أبريل 2015). "تقسيم دوغلاس-راشفورد بالقصور الذاتي لمسائل التضمين الرتيبة". الرياضيات التطبيقية والحساب . 256 : 472-487 . doi : 10.1016/j.amc.2015.01.017 .