الاقتران

في الرياضيات ، الاقتران هو تطبيق ثنائي الخطية R من حاصل الضرب الديكارتي لوحدتين R ، حيث تكون الحلقة الأساسية R تبديلية .

ليكن R حلقة تبديلية مع عنصر محايد ، وليكن M و N و L وحدات R.

الاقتران هو أي خريطة ثنائية الخطية R${\displaystyle e:M\times N\to L}$أي أنه يرضي

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$،

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$و${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

لأي${\displaystyle r\in R}$وأي${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$وأي${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$أو بعبارة أخرى، الاقتران هو خريطة خطية R

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

أين${\displaystyle M\otimes _{R}N}$يرمز إلى حاصل الضرب الموتري لـ M و N.

يمكن أيضًا اعتبار الاقتران بمثابة خريطة خطية R${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$، وهو ما يتطابق مع التعريف الأول عن طريق تحديد ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$.

يُطلق على الزوج اسم الزوج المثالي إذا كانت الخريطة أعلاه${\displaystyle \Phi }$هو تماثل بين وحدات R وخريطة التقييم الأخرى${\displaystyle \Phi '\colon N\to \operatorname {Hom} _{R}(M,L)}$وهو تماثل أيضًا. في حالات جيدة، يكفي أن يكون أحدهما فقط تماثلًا، على سبيل المثال عندما يكون R حقلًا، و M وN فضاءات متجهة ذات أبعاد منتهية، و L=R .

يُطلق على الاقتران اسم غير منحط على اليمين إذا كان لدينا بالنسبة للخريطة أعلاه ما يلي:${\displaystyle e(m,n)=0}$للجميع${\displaystyle m}$يشير إلى${\displaystyle n=0}$؛ بصورة مماثلة،${\displaystyle e}$يُطلق عليه اسم غير منحط على اليسار إذا${\displaystyle e(m,n)=0}$للجميع${\displaystyle n}$يشير إلى${\displaystyle m=0}$.

متى${\displaystyle N=M}$يُطلق على الاقتران اسم الاقتران المتناظر إذا${\displaystyle e(m,n)=e(n,m)}$لكل m و n ، وبالتناوب إذا${\displaystyle e(m,m)=0}$لكل قيمة m . وعلى وجه الخصوص، هذا يعني${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$بينما تُظهر الثنائية الخطية${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$وبالتالي، بالنسبة للاقتران المتناوب،${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$.

للفضاء المتجهي${\displaystyle V}$فوق حقل${\displaystyle k}$، اقتران${\displaystyle V\times V\to k}$يُطلق عليه أيضًا اسم الشكل الثنائي الخطي . تشمل الأمثلة أي ضرب قياسي على فضاء متجهي حقيقي V ، أو تطبيق المحدد (مصفوفات 2 × 2 على k ) → k عند النظر إليه على أنه اقتران.${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$.

للوحدة المزدوجة${\displaystyle M^{*}}$ل${\displaystyle M}$خريطة التقييم${\displaystyle M^{*}\times M\to R}$،${\displaystyle (\lambda ,m)\mapsto \lambda (m)}$يُعرف هذا بالاقتران الطبيعي.

توجد أمثلة أخرى على الاقترانات في نظريات الازدواجية المختلفة ، مثل ازدواجية سير أو ازدواجية بوانكاريه . انظر أيضًا: النظام الثنائي .

مثال آخر هو منتج يونيدا بين مجموعات Ext .

خريطة هوبف${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$مكتوبة على النحو التالي${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$يُعد مثالاً على الاقتران. على سبيل المثال، يقدم هاردي وآخرون ^{[ 1 ]} بناءً صريحًا للخريطة باستخدام نماذج المجموعات المرتبة جزئيًا.

في علم التشفير ، غالباً ما يتم استخدام التعريف المتخصص التالي: ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$أن تكون مجموعات إضافية و${\displaystyle \textstyle G_{T}}$مجموعة ضربية ، جميعها من الرتبة الأولية${\displaystyle \textstyle p}$. يترك${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$كن مولدات لـ${\displaystyle \textstyle G_{1}}$و${\displaystyle \textstyle G_{2}}$على التوالى.

الاقتران هو خريطة:${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

وينطبق عليها ما يلي:

1. الثنائية الخطية :${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z}$ :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}
2. عدم الانحطاط :${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. لأغراض عملية،${\displaystyle \textstyle e}$يجب أن يكون قابلاً للحساب بطريقة فعالة

تجدر الإشارة إلى أنه من الشائع أيضاً في الأدبيات التشفيرية كتابة جميع المجموعات باستخدام الترميز الضربي.

في الحالات التي${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$يُطلق على هذا الاقتران اسم الاقتران المتناظر.${\displaystyle \textstyle G}$هي دورية ، الخريطة${\displaystyle e}$ستكون تبادلية ؛ أي، لأي${\displaystyle P,Q\in G}$لدينا${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$وذلك لأن المولد${\displaystyle g\in G}$توجد أعداد صحيحة${\displaystyle p}$،${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle P=g^{p}}$و${\displaystyle Q=g^{q}}$. لذلك${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$.

يُعدّ اقتران ويل مفهومًا هامًا في تشفير المنحنيات الإهليلجية ؛ فعلى سبيل المثال، يُمكن استخدامه لمهاجمة بعض المنحنيات الإهليلجية (انظر هجوم MOV ). وقد استُخدم هذا الاقتران، إلى جانب اقترانات أخرى، لتطوير أنظمة تشفير قائمة على الهوية .

تُسمى الضربات القياسية على فضاءات المتجهات المركبة أحيانًا بالاقترانات، على الرغم من أنها ليست ثنائية الخطية. على سبيل المثال، في نظرية التمثيل ، يوجد لدينا ضرب قياسي على خصائص التمثيلات المركبة لمجموعة منتهية، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم اقتران الخصائص .

• مكتبة التشفير القائمة على الاقتران