التدرج المحتمل

أبسط تعريف للتدرج المحتمل F في بُعد واحد هو التالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

حيث ϕ ( x ) هو نوع من الجهد القياسي ، و x هو الإزاحة (وليس المسافة ) في اتجاه x ، وتشير الرموز السفلية إلى موضعين مختلفين x1 _و x2 _، والجهود عند هاتين النقطتين، ϕ1 = ϕ ( x1 ₎ ، _ϕ2 = ϕ ( _{x2 )} . في حالة الإزاحات المتناهية الصغر ، تصبح نسبة الفروق نسبة تفاضلات .

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

يكون اتجاه تدرج الجهد الكهربائي من${\displaystyle x_{1}}$ل${\displaystyle x_{2}}$.

في ثلاثة أبعاد ، توضح الإحداثيات الديكارتية أن تدرج الجهد الناتج هو مجموع تدرجات الجهد في كل اتجاه:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

حيث تمثل e _{_x} و e _{_y} و e_{_z} متجهات وحدة في الاتجاهات x و y و z على التوالي. ويمكن كتابة ذلك بشكل مختصر بدلالة عامل التدرج ∇ .

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi \,\!}$

على الرغم من أن هذا الشكل النهائي ينطبق على أي نظام إحداثيات منحني ، وليس فقط نظام الإحداثيات الديكارتية.

يمثل هذا التعبير سمة مهمة لأي حقل متجه محافظ F ، وهي أن F له جهد مقابل ϕ . ^{[ 2 ]}

باستخدام نظرية ستوكس ، يمكن التعبير عن ذلك بشكل مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

بمعنى أن التفاف الحقل المتجهي، الذي يرمز له بـ ∇×، يتلاشى.

القوة${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$يرتبط ذلك ارتباطًا مباشرًا بتدرج طاقة الوضع${\displaystyle U\,\!}$عبر: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla U\,\!}$

في حالة مجال الجاذبية g ، والذي يمكن إثبات أنه محافظ، ^{[ 4 ]} فهو يساوي التدرج في جهد الجاذبية Φ :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi \,\!}$

توجد إشارات متعاكسة بين مجال الجاذبية والجهد، لأن تدرج الجهد والمجال متعاكسان في الاتجاه: فمع زيادة الجهد، تنخفض قوة مجال الجاذبية والعكس صحيح.

في علم الكهرباء الساكنة ، يكون المجال الكهربائي E مستقلاً عن الزمن t ، لذلك لا يوجد حث لمجال مغناطيسي B يعتمد على الزمن وفقًا لقانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

مما يعني أن E هو تدرج الجهد الكهربائي V ، وهو مطابق للمجال الجاذبي الكلاسيكي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

في الديناميكا الكهربائية ، يكون المجال الكهربائي (E) متغيرًا مع الزمن، ويُحدث مجالًا مغناطيسيًا (B) متغيرًا مع الزمن أيضًا (وفقًا لقانون فاراداي)، لذا فإن دوران المجال الكهربائي ( E) لا يساوي صفرًا كما كان سابقًا، مما يعني أن المجال الكهربائي لم يعد تدرجًا للجهد الكهربائي. يجب إضافة حد متغير مع الزمن: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

حيث A هو الجهد الشعاعي الكهرومغناطيسي . في الواقع، يُختزل هذا التعبير الأخير للجهد قانون فاراداي إلى متطابقة.

في ميكانيكا الموائع ، يصف حقل السرعة v حركة المائع. ويعني التدفق غير الدوراني أن حقل السرعة محافظ، أو بعبارة أخرى، يكون حقل متجه الدوامة الزائف ω مساوياً للصفر.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

وهذا يسمح بتعريف جهد السرعة ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$