مجال مغلق تربيعي

في الرياضيات ، الحقل المغلق تربيعيًا هو حقل ذو خاصية لا تساوي 2، ويكون لكل عنصر فيه جذر تربيعي . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• حقل الأعداد المركبة مغلق تربيعيًا؛ وبشكل أعم، فإن أي حقل مغلق جبريًا يكون مغلقًا تربيعيًا.
• حقل الأعداد الحقيقية ليس مغلقًا تربيعيًا لأنه لا يحتوي على جذر تربيعي لـ -1.
• اتحاد الحقول المنتهية${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$بالنسبة لـ n  ≥  0، تكون المجموعة مغلقة تربيعيًا ولكنها ليست مغلقة جبريًا. ^{[ 3 ]}

• يكون الحقل مغلقًا تربيعيًا إذا وفقط إذا كان له ثابت شامل يساوي 1.
• كل حقل مغلق تربيعيًا هو حقل فيثاغورسي، ولكن ليس العكس (على سبيل المثال، R هو حقل فيثاغورسي)؛ ومع ذلك، فإن كل حقل فيثاغورسي غير حقيقي رسميًا هو حقل مغلق تربيعيًا. ^{[ 2 ]}
• يكون الحقل مغلقًا تربيعيًا إذا وفقط إذا كانت حلقة ويت-غروتينديك الخاصة به متماثلة مع Z تحت تطبيق الأبعاد. ^{[ 3 ]}
• إن الحقل الإقليدي الحقيقي E ليس مغلقًا تربيعيًا (لأن -1 ليس مربعًا في E )، لكن الامتداد التربيعي E ( √ -1 ) مغلق تربيعيًا. ^{[ 4 ]}
• ليكن E / F امتدادًا منتهيًا حيث E مغلق تربيعيًا. إما أن يكون -1 مربعًا في F ويكون F مغلقًا تربيعيًا، أو أن يكون -1 ليس مربعًا في F ويكون F إقليديًا. يمكن استنتاج "نظرية النزول" هذه من نظرية ديلر-دريس . ^{[ 5 ]}

الإغلاق التربيعي للحقل F هو حقل مغلق تربيعيًا يحتوي على F ، ويمكن تضمينه في أي حقل مغلق تربيعيًا يحتوي على F. يمكن إنشاء إغلاق تربيعي لأي حقل F معطى كحقل فرعي من الإغلاق الجبري F ^alg للحقل F ، أو كاتحاد لجميع الامتدادات التربيعية المتكررة للحقل F في F ^alg . ^{[ 4 ]}

• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1095-2. السيد 2104929 . زبل 1068.11023 .  
• راجواد، أ. ر. (1993). المربعات . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  171. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .