التوزيع العكسي

للتوزيع المتبادل دالة كثافة من الشكل ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

أين${\displaystyle \propto \!\,}$يعني "يتناسب مع" . ويترتب على ذلك أن التوزيع العكسي في هذه الحالة يكون على الشكل التالي:

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

وهو توزيع متبادل مرة أخرى.

إذا كان المتغير العشوائي الأصلي X موزعًا توزيعًا منتظمًا على الفترة ( a , b )، حيث a > 0، فإن المتغير المقلوب Y = 1/ X له توزيع مقلوب يأخذ قيمًا في النطاق ( b ^{- 1} , a ^{- 1} )، ودالة كثافة الاحتمال في هذا النطاق هي

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{ba}},}$

ويكون صفراً في أي مكان آخر.

دالة التوزيع التراكمي للمقلوب، ضمن نفس النطاق، هي

${\displaystyle G(y)={\frac {by^{-1}}{ba}}.}$

على سبيل المثال، إذا كان المتغير العشوائي X موزعًا توزيعًا منتظمًا على الفترة (0،1)، فإن كثافة Y = 1 / X هي${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ ودالة التوزيع التراكمي${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$متى${\displaystyle y>1.}$

ليكن X متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع t وله k درجة حرية . عندئذٍ تكون دالة كثافته هي

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

كثافة Y = 1 / X هي

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

عندما تكون قيمة k تساوي 1، يكون توزيع كل من X و 1  / X متطابقًا ( أي أن X يتبع توزيع كوشي (0,1)). أما إذا كانت قيمة k أكبر من 1، فإن توزيع 1 / X يكون ثنائي النمط .   

متغير إذا${\displaystyle X}$يتبع التوزيع الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ثم العكس أو المقلوب${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$يتبع التوزيع الطبيعي المتبادل: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

إذا كان المتغير X يتبع التوزيع الطبيعي القياسي${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$إذاً، فإن Y  =  1/ X يتبع توزيعًا طبيعيًا معياريًا مقلوبًا ، ذو ذيل سميك ونمطين ، ^{[ 2 ]} مع أنماط عند${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$الكثافة

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

ولا توجد العزوم من الرتبة الأولى وما فوقها. ^{[ 2 ]} بالنسبة لهذه التوزيعات العكسية وتوزيعات النسب ، لا يزال من الممكن تحديد احتمالات للفترات، والتي يمكن حسابها إما عن طريق محاكاة مونت كارلو أو، في بعض الحالات، باستخدام تحويل جيري-هينكلي. ^{[ 3 ]}

ومع ذلك، في الحالة الأكثر عمومية لدالة متبادلة مُزاحة${\displaystyle 1/(pB)}$، ل${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$إذا اتبعنا التوزيع الطبيعي العام، فإن إحصاءات المتوسط ​​والتباين موجودة بمعنى القيمة الرئيسية ، إذا كان الفرق بين القطبين${\displaystyle p}$والمتوسط${\displaystyle \mu }$له قيمة حقيقية. إن متوسط ​​هذا المتغير العشوائي المحول ( التوزيع الطبيعي المقلوب المزاح ) هو في الواقع دالة داوسون المُقاسة : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

في المقابل، إذا كان التحول${\displaystyle p-\mu }$إذا كانت دالة مركبة بحتة، فإن المتوسط ​​موجود وهو دالة فادييفا مُقاسة ، ويعتمد تعبيرها الدقيق على إشارة الجزء التخيلي.${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$في كلتا الحالتين، يكون التباين دالة بسيطة للمتوسط. ^{[ 5 ]} لذلك، يجب النظر إلى التباين من منظور القيمة الرئيسية إذا${\displaystyle p-\mu }$هو حقيقي، طالما أنه موجود إذا كان الجزء الخيالي من${\displaystyle p-\mu }$لا يساوي الصفر. لاحظ أن هذه المتوسطات والتباينات دقيقة، لأنها لا تعتمد على خطية النسبة. التغاير الدقيق لنسبتين لهما قطبان مختلفان.${\displaystyle p_{1}}$و${\displaystyle p_{2}}$وهو متاح بالمثل. ^{[ 6 ]} حالة معكوس متغير طبيعي مركب${\displaystyle B}$سواء تم تغييرها أم لا، فإنها تُظهر خصائص مختلفة. ^{[ 4 ]}

لو${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو توزيع أسي بمعامل معدل${\displaystyle \lambda }$، ثم${\displaystyle Y=1/X}$لها دالة التوزيع التراكمي التالية:${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$ل${\displaystyle y>0}$لاحظ أن القيمة المتوقعة لهذا المتغير العشوائي غير موجودة. يُستخدم التوزيع الأسي المقلوب في تحليل أنظمة الاتصالات اللاسلكية المتلاشية.

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا موزعًا وفقًا لتوزيع كوشي ( μ ، σ )، فإن 1/X هو متغير عشوائي موزع وفقًا لتوزيع كوشي ^{( μ} / C ، σ / C ) حيث C = μ² + σ² .

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا موزعًا وفقًا لـ F ( ν ₁ , ν ₂ ) فإن 1 / X هو متغير عشوائي موزع وفقًا لـ F ( ν ₂ , ν ₁ ) .

لو${\displaystyle X}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع ذي الحدين مع ${\displaystyle n}$عدد المحاولات واحتمالية النجاح${\displaystyle p}$إذن، لا توجد صيغة مغلقة معروفة للتوزيع التبادلي. ومع ذلك، يمكننا حساب متوسط ​​هذا التوزيع.

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

يُعرف تقريب تقاربي للعزوم غير المركزية للتوزيع المتبادل. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

حيث O() و o() هما دالتا الترتيب الكبير والصغير على التوالي.${\displaystyle a}$هو عدد حقيقي.

بالنسبة للتوزيع المثلثي ذي الحد الأدنى a والحد الأعلى b والمنوال c ، حيث a  < b و a ≤ c ≤ b ، فإن متوسط ​​المقلوب يُعطى بالصيغة التالية:     

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{ac}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{bc}}\right)}{ab}}}$

والتباين بواسطة

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{ac}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{bc}}\right)}{ab}}-\mu ^{2}}$.

يتم تعريف كلا عزمي المقلوب فقط عندما لا يتقاطع المثلث مع الصفر، أي عندما تكون a و b و c إما موجبة بالكامل أو سالبة بالكامل.

تشمل التوزيعات العكسية الأخرى

توزيع كاي تربيع العكسي

توزيع غاما المعكوس

توزيع ويشارت العكسي

توزيع جاما للمصفوفة العكسية