توزيع F

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 63 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف توزيع F أو نسبة F ، أو توزيع سنيديكور F أو توزيع فيشر-سنيديكور (نسبةً إلى رونالد فيشر وجورج دبليو سنيديكور )، بأنه توزيع احتمالي مستمر يظهر بشكل متكرر كتوزيع صفري لإحصائية اختبار ، وخاصةً في تحليل التباين (ANOVA) واختبارات F الأخرى . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

التعريفات

توزيع F مع​د1{\displaystyle d_{1}}و​​د2{\displaystyle d_{2}}درجات الحرية هي توزيع X=يو1/د1يو2/د2{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}

أينيو1{\textstyle U_{1}}ويو2{\textstyle U_{2}}هي متغيرات عشوائية مستقلة ذات توزيعات كاي تربيع بدرجات حرية محددة .د1{\displaystyle d_{1}}و​​د2{\displaystyle d_{2}}⁠ .

يمكن إثبات أن دالة كثافة الاحتمال (PDF) لـX{\displaystyle X}يتم إعطاؤها بواسطة و(x؛د1،د2)=(د1x)د1د2د2(د1x+د2)د1+د2xب⁡(د12،د22)=(د1د2)د12x(د1د2)د12-1(1+د1د2x)-د1+د22ب⁡(د12،د22){\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}{x{\vphantom {\left({d_{1} \over d_{2}}\right)}}}^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\end{aligned}}}

حقيقي​​x>0{\displaystyle x>0}هنا​ب{\displaystyle \mathrm {B} }هي دالة بيتا . في العديد من التطبيقات، تكون المعاملاتد1{\displaystyle d_{1}}و​​د2{\displaystyle d_{2}}⁠ أعداد صحيحة موجبة ،لكن التوزيع محدد جيدًا للقيم الحقيقية الموجبة لهذه المعلمات.

دالة التوزيع التراكمي هي F(x؛د1،د2)=أناد1x(د1x+د2)(د12،د22)،{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{(d_{1}x+d_{2})}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}

أين​أناx(أ،ب){\displaystyle I_{x}(a,b)}هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة .

ملكيات

التوقع والتباين وتفاصيل أخرى حول توزيع FF(د1،د2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}يتم تقديمها في المربع الجانبي؛ لـد2>8{\displaystyle d_{2}>8}، التفرطح الزائد هو γ2=12د1(5د2-22)(د1+د2-2)+(د2-4)(د2-2)2د1(د2-6)(د2-8)(د1+د2-2).{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}

اللحظة k لـ​F(د1،د2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}يوجد التوزيع ويكون محدودًا فقط عندما2ك<د2{\displaystyle 2k<d_{2}}وهو يساوي [ 6 ]

μX(ك)=(د2د1)كΓ(د12+ك)Γ(د12)Γ(د22-ك)Γ(د22).\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}

يُعد توزيع F بمثابة معلمة خاصة لتوزيع بيتا الأولي ، والذي يُطلق عليه أيضًا توزيع بيتا من النوع الثاني.

تم إدراج الدالة المميزة بشكل غير صحيح في العديد من المراجع القياسية (مثل [ 3 ] ). التعبير الصحيح [ 7 ] هو

φد1،د2F(s)=Γ(د1+د22)Γ(د22)يو(د12،1-د22،-د2د1أناs){\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma {\left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}

أين​يو(أ،ب،z){\displaystyle U(a,b,z)}⁠ هي دالة هندسية فائقة متقاربة من النوع الثاني.

العلاقة بتوزيع كاي تربيع

في الحالات التي يُستخدم فيها توزيع F ، على سبيل المثال في تحليل التباين ، استقلال ⁠يو1{\displaystyle U_{1}}و​​يو2{\displaystyle U_{2}}يمكن إثبات (المعرّف أعلاه) من خلال تطبيق نظرية كوكران .

بصورة مكافئة، بما أن توزيع كاي تربيع هو مجموع مربعات متغيرات عشوائية طبيعية قياسية مستقلة ، يمكن أيضًا كتابة المتغير العشوائي لتوزيع F على النحو التاليX=s12σ12÷s22σ22،{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}

أينs12=S12د1{\textstyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}و​s22=S22د2{\displaystyle \textstyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}،​S12{\displaystyle S_{1}^{2}}هو مجموع مربعاتد1{\displaystyle d_{1}}المتغيرات العشوائية من التوزيع الطبيعيشمال(0،σ12){\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}وS22{\displaystyle S_{2}^{2}}هو مجموع مربعاتد2{\displaystyle d_{2}}المتغيرات العشوائية من التوزيع الطبيعيشمال(0،σ22){\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}⁠ .

في سياق الإحصاء التكراري ، فإن توزيع F المُقاس يعطي بالتالي الاحتمالية ⁠ص(s12/s22|σ12،σ22){\displaystyle \textstyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}، مع توزيع F نفسه، دون أي تغيير في المقياس، ينطبق حيثσ12{\displaystyle \sigma _{1}^{2}} يُعتبر مساوياً لـσ22{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}⁠ . هذا هو السياق الذي يظهر فيه توزيع F بشكل عام في اختبارات F : حيث تكون الفرضية الصفرية هي أن تباينين ​​طبيعيين مستقلين متساويان، ثم يتم فحص المجاميع الملاحظة لبعض المربعات المختارة بشكل مناسب لمعرفة ما إذا كانت نسبتها غير متوافقة بشكل كبير مع هذه الفرضية الصفرية.

الكميةX{\displaystyle X}لها نفس التوزيع في الإحصاءات البايزية، إذا تم أخذ توزيع جيفريز المسبق غير المعلوماتي وغير المتغير مع إعادة التحجيم للاحتمالات المسبقة لـσ12{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}و​σ22{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}[ 8 ] في هذا السياق ، فإن توزيع F المُقاسيُعطي الاحتمال اللاحق .ص(σ22/σ12|s12،s22){\displaystyle \textstyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}، حيث المجاميع المرصودةs12{\displaystyle s_{1}^{2}}وs22{\displaystyle s_{2}^{2}}تُعتبر الآن أموراً معروفة.

على العموم

  • لوX∼χد12{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}وY∼χد22{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}إذا كانت المتغيرات المستقلة ( توزيع مربع كاي ) مستقلة ، فإنX/د1Y/د2∼F(د1،د2){\displaystyle \textstyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}⁠ .
  • لوXك∼Γ(αك،βك){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}إذا كانت توزيعات جاما مستقلة ، فإنα2β1X1α1β2X2∼F(2α1،2α2){\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}⁠ .
  • لوX∼بيتا⁡(د12،د22){\textstyle X\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}( توزيع بيتا ) ثمد2Xد1(1-X)∼F⁡(د1،د2){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}⁠ .
    • وبعبارة أخرى، إذاX∼F(د1،د2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}ثم​​د1X/د21+د1X/د2∼بيتا⁡(د12،د22){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}⁠ .
  • إذا​X∼F(د1،د2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}ثم​د1د2X{\textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}له توزيع بيتا أولي :د1د2X∼β′⁡(د12،د22){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}⁠ .
  • لوX∼F(د1،د2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}ثمY=ليمد2→∞د1X{\textstyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}يتبع توزيع كاي تربيعχد12{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}⁠ .
  • F(د1،د2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}وهو ما يعادل توزيع هوتلينغ تي تربيع المُعدَّلد2د1(د1+د2-1)تي2⁡(د1،د1+د2-1){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}⁠ .
  • لوX∼F(د1،د2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}ثم​X-1∼F(د2،د1){\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}⁠ .
  • إذا​X∼ت(ن){\displaystyle X\sim t_{(n)}}– توزيع t للطالب – ثم :  X2∼F⁡(1،ن)،X-2∼F⁡(ن،1).{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n),\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1).\end{aligned}}}
  • يُعد توزيع F حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع 6 .
  • لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}مستقلون، معX،Y∼لابلاس⁡(μ،ب){\displaystyle X,Y\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}( توزيع لابلاس ) ،إذن|X-μ||Y-μ|∼F⁡(2،2).{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2).}
  • لوX∼F(ن،م){\displaystyle X\sim F(n,m)}ثمسجل⁡X2∼فيشرز⁡(ن،م){\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}( توزيع فيشر z ).
  • يتبسط توزيع F غير المركزي إلى توزيع F إذاλ=0{\displaystyle \lambda =0}⁠ .
  • يتبسط توزيع F غير المركزي المزدوج إلى توزيع F إذاλ1=λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}⁠
  • لوسؤالX⁡(ص){\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}هو الكمية المئويةص{\displaystyle p}لـ​X∼F(د1،د2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}وسؤالY⁡(1-ص){\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}هو الكمية1-ص{\displaystyle 1-p}لـ​Y∼F(د2،د1){\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}ثم​سؤالX⁡(ص)=1سؤالY⁡(1-ص).{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
  • يُعد توزيع F مثالاً على توزيعات النسبة .
  • يُعد توزيع W بمثابة معلمة فريدة لتوزيع F.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لازو، أ. ف.؛ راثي، ب. (1978). "حول إنتروبيا التوزيعات الاحتمالية المستمرة". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 24 (1). IEEE: 120-122 . doi : 10.1109/tit.1978.1055832 .
  2. 1 2 جونسون، نورمان لويد؛ صموئيل كوتز؛ ن. بالاكريشنان (1995). التوزيعات أحادية المتغير المستمرة، المجلد 2 (القسم 27) (الطبعة الثانية ). وايلي. ISBN  0-471-58494-0.
  3. 1 2 3 أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 26" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 946. ISBN    978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  4. ↑ المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (2006). دليل الإحصاء الهندسي - توزيع F
  5. ↑ مود، ألكسندر؛ فرانكلين أ. غرايبيل؛ دوان سي. بوس (1974). مقدمة في نظرية الإحصاء ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 246-249 . ISBN   0-07-042864-6.
  6. ^ تابوجا، ماركو. "توزيع F" .
  7. ↑ فيليبس، PCB (1982) "الدالة المميزة الحقيقية لتوزيع F"، Biometrika ، 69: 261-264 JSTOR 2335882 
  8. ↑ بوكس، جي إي بي؛ تياو، جي سي (1973). الاستدلال البايزي في التحليل الإحصائي . أديسون-ويسلي. ص 110. ISBN  0-201-00622-7.