مجموعة قابلة للتصحيح

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة القابلة للتصحيح بأنها مجموعة ملساء من منظور نظري قياسي معين . وهي امتداد لفكرة المنحنى القابل للتصحيح إلى أبعاد أعلى؛ وبصورة عامة، تُعدّ المجموعة القابلة للتصحيح صياغة دقيقة لمجموعة ملساء جزئيًا. وبذلك، تتمتع بالعديد من الخصائص المرغوبة للمشعبات الملساء ، بما في ذلك الفضاءات المماسية المعرفة في كل مكان تقريبًا . وتُشكّل المجموعات القابلة للتصحيح محورًا أساسيًا للدراسة في نظرية القياس الهندسي .

تعريف

مجموعة فرعية من بوريلهـ{\displaystyle E}من الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يقال إنهم{\displaystyle m}مجموعة قابلة للتصحيح إذاهـ{\displaystyle E}هو من أبعاد هاوسدورفم{\displaystyle m}وهناك مجموعة قابلة للعد{وأنا}{\displaystyle \{f_{i}\}}من الخرائط القابلة للتفاضل باستمرار

وأنا:Rم→Rن{\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}

بحيث يكونم{\displaystyle m}- مقياس هاوسدورفحم{\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}ل

هـ∖⋃أنا=0∞وأنا(Rم){\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}

يساوي صفرًا. تشير علامة الخط المائل العكسي هنا إلى فرق المجموعات . أو بعبارة أخرى، الـوأنا{\displaystyle f_{i}}يمكن اعتبارها متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز دون تغيير التعريف. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] لدى مؤلفين آخرين تعريفات مختلفة، على سبيل المثال، لا يشترطونهـ{\displaystyle E}يكونم{\displaystyle m}-أبعاد، ولكن بدلاً من ذلك يتطلب ذلكهـ{\displaystyle E}هو اتحاد قابل للعد لمجموعات تمثل صورة لخريطة ليبشيتز من مجموعة جزئية محدودة منRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}[ 4 ]​

مجموعةهـ{\displaystyle E}يقال إنه نقيم{\displaystyle m}-غير قابل للتصحيح إذا كان لكل (مستمر، قابل للتفاضل) و:Rم→Rن{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}، لدى المرء

حم(هـ∩و(Rم))=0.{\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}

المثال القياسي لمجموعة غير قابلة للتصحيح بشكل كامل في بعدين هو حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة سميث-فولتيرا-كانتور مضروبة في نفسها.

المجموعات القابلة للتصحيح في الفضاءات المترية

يقدم فيدرر (1969 ، ص 251-252) المصطلحات التالية للمجموعات القابلة للتصحيح من النوع m E في فضاء متري عام X. 

  1. E هوم{\displaystyle m}قابل للتصحيح عند وجود خريطة ليبشيتزو:ك→هـ{\displaystyle f:K\to E}لبعض المجموعات الجزئية المحدودةك{\displaystyle K}لRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}علىهـ{\displaystyle E}.
  2. E قابلة للعدم{\displaystyle m}قابلة للتصحيح عندما يساوي E اتحاد عائلة قابلة للعد منم{\displaystyle m}مجموعات قابلة للتصحيح.
  3. E قابلة للعد(ϕ،م){\displaystyle (\phi ,m)}قابل للتصحيح عندماϕ{\displaystyle \phi }هو مقياس على X وهناك قابل للعدم{\displaystyle m}مجموعة قابلة للتصحيح F بحيثϕ(هـ∖F)=0{\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}.
  4. E هو(ϕ،م){\displaystyle (\phi ,m)}قابل للتصحيح عندما يكون E قابلاً للعد(ϕ،م){\displaystyle (\phi ,m)}قابل للتصحيح وϕ(هـ)<∞{\displaystyle \phi (E)<\infty }
  5. E هو بحت(ϕ،م){\displaystyle (\phi ,m)}غير قابل للتصحيح عندماϕ{\displaystyle \phi }هو مقياس على X و E لا يتضمن أيم{\displaystyle m}مجموعة قابلة للتصحيح F معϕ(F)>0{\displaystyle \phi (F)>0}.

التعريف 3 معϕ=حم{\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}}وX=Rن{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}يقترب هذا التعريف من التعريف المذكور أعلاه للمجموعات الفرعية من الفضاءات الإقليدية.

ملحوظات

  1. ↑ سيمون 1984 ، ص 58 ، يسمي هذا التعريف " قابل للتصحيح من النوع m بشكل قابل للعد ". 
  2. ↑ "مجموعة قابلة للتصحيح" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
  3. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة القابلة للتصحيح" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 17 أبريل 2020 .
  4. ↑ فيدرر (1969 ، ص. 3.2.14) 

مراجع