عدم المساواة عند سامويلسون

في الإحصاء ، _تنص متباينة سامويلسون ، التي سميت على اسم الاقتصادي بول سامويلسون ، ^{[ 1 ]} وتسمى أيضًا متباينة لاغير - سامويلسون ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} نسبة إلى عالم الرياضيات إدموند لاغير ، على أن كل عنصر من أي مجموعة x1 ، ...، _xn ، يقع ضمن √n − 1 انحرافات معيارية غير مصححة للعينة من متوسط ​​العينة.    

إذا سمحنا

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

ليكن متوسط ​​العينة و

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

إذا كان هو الانحراف المعياري للعينة، فإن

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{لـ }}j=1,\dots ,n.}$^{[ 4 ]}

تتحقق المساواة على اليسار (أو اليمين) لـ${\displaystyle x_{j}}$إذا وفقط إذا كان كل n − 1  ${\displaystyle x_{i}}$بخلاف${\displaystyle x_{j}}$متساويان في القيمة وأكبر (أصغر) من${\displaystyle x_{j}.}$^{[ 2 ]}

إذا قمت بدلاً من ذلك بتعريف${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ثم عدم المساواة${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}}$لا يزال هذا الأمر ساريًا ويمكن تشديده قليلاً إلى${\displaystyle {\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.}$

تحدد متباينة تشيبيشيف جزءًا معينًا من البيانات ضمن حدود معينة، بينما تحدد متباينة سامويلسون جميع نقاط البيانات ضمن حدود معينة.

لا تتأثر الحدود التي تحددها متباينة تشيبيشيف بعدد نقاط البيانات، بينما تتسع حدود متباينة سامويلسون مع ازدياد حجم العينة. لذا، بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة بما يكفي، تكون متباينة تشيبيشيف أكثر فائدة.

تُستخدم متباينة سامويلسون في العديد من التطبيقات في الإحصاء والرياضيات . وهي مفيدة في توحيد البواقي، مما يُبرر ضرورة إجراء هذه العملية خارجياً لفهم انتشار البواقي بشكل أفضل في تحليل الانحدار .

في نظرية المصفوفات ، تُستخدم متباينة سامويلسون لتحديد القيم الذاتية لبعض المصفوفات والموترات.

علاوة على ذلك، تنطبق تعميمات هذه المتباينة على البيانات المعقدة والمتغيرات العشوائية في فضاء احتمالي . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

لم يكن سامويلسون أول من وصف هذه العلاقة: ربما كان لاغير هو الأول في عام 1880 أثناء بحثه في جذور (أصفار) كثيرات الحدود . ^{[ 2 ] [ 7 ]}

لنفترض وجود متعددة حدود جميع جذورها حقيقية:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

دون فقدان للعمومية، ليكن${\displaystyle a_{0}=1}$ودع

${\displaystyle t_{1}=\sum x_{i}}$و${\displaystyle t_{2}=\sum x_{i}^{2}}$

ثم

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}}$

و

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ حيث }}i<j}$

من حيث المعاملات

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

أثبت لاغير أن جذور هذه المعادلة متعددة الحدود محدودة بـ

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}}$

أين

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}}$

أظهر الفحص أن${\displaystyle -{\tfrac {a_{1}}{n}}}$يمثل متوسط ​​الجذور، و b يمثل الانحراف المعياري للجذور.

أغفل لاغير هذه العلاقة بين متوسطات وانحرافات الجذور، إذ كان أكثر اهتمامًا بحدودها. تسمح هذه العلاقة بتقدير سريع لحدود الجذور، وقد تكون مفيدة في تحديد مواقعها.

عندما تكون المعاملات${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$إذا كان كلاهما يساوي صفرًا، فلا يمكن الحصول على أي معلومات حول موقع الجذور، لأنه ليس كل الجذور حقيقية (كما يتضح من قاعدة ديكارت للإشارات ) إلا إذا كان الحد الثابت يساوي صفرًا أيضًا.