طول التشتت

يصف طول التشتت في ميكانيكا الكم التشتت منخفض الطاقة . بالنسبة للجهود التي تتلاشى أسرع من${\displaystyle 1/r^{3}}$مثل${\displaystyle r\to \infty }$ويُعرَّف بأنه الحد الأدنى للطاقة التالي :

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

أين${\displaystyle a}$هو طول التشتت،${\displaystyle k}$هو رقم الموجة ، و${\displaystyle \delta (k)}$يمثل إزاحة الطور للموجة الكروية الخارجة. المقطع العرضي المرن ،${\displaystyle \sigma _{e}}$، عند الطاقات المنخفضة، يتم تحديدها فقط بواسطة طول التشتت:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

عندما يتشتت جسيم بطيء عن جسم مشتت قصير المدى (مثل شوائب في مادة صلبة أو جسيم ثقيل)، فإنه لا يستطيع تحديد بنية الجسم لأن طول موجة دي برولي الخاص به طويل جدًا. والفكرة هي أنه في هذه الحالة، لا ينبغي أن يكون من المهم تحديد الجهد الدقيق.${\displaystyle V(r)}$يتشتت الجسيم، ولكن فقط كيف يبدو الجهد عند أطوال كبيرة. الطريقة الرسمية لحل هذه المشكلة هي إجراء توسيع للموجة الجزئية (يشبه إلى حد ما توسيع متعدد الأقطاب في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية )، حيث يتم التوسيع بدلالة مركبات الزخم الزاوي للموجة الخارجة. عند طاقة منخفضة جدًا، لا يرى الجسيم الداخل أي بنية، وبالتالي، في أدنى رتبة، لا نحصل إلا على موجة كروية خارجة، تُسمى الموجة s قياسًا على المدار الذري عند عدد كم الزخم الزاوي l = 0. عند طاقات أعلى، نحتاج أيضًا إلى مراعاة تشتت الموجات p و d ( l = 1، 2) وما إلى ذلك.

إن فكرة وصف خصائص الطاقة المنخفضة من حيث عدد قليل من المعلمات والتناظرات فكرة قوية للغاية، وهي أيضًا وراء مفهوم إعادة التطبيع .

يمكن أيضًا توسيع مفهوم طول التشتت ليشمل الكمونات التي تتلاشى بشكل أبطأ من${\displaystyle 1/r^{3}}$مثل${\displaystyle r\to \infty }$. ومن الأمثلة الشهيرة ذات الصلة بتشتت البروتون-البروتون، طول التشتت المعدل بواسطة كولوم.

كمثال على كيفية حساب الموجة s (أي الزخم الزاوي)${\displaystyle l=0}$) طول التشتت لجهد معين، ننظر إلى بئر الجهد الكروي ذي التنافر اللانهائي بنصف قطر${\displaystyle r_{0}}$في ثلاثة أبعاد. معادلة شرودنغر الشعاعية (${\displaystyle l=0}$) خارج البئر هو نفسه بالنسبة للجسيم الحر :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

حيث يتطلب جهد النواة الصلبة أن تكون الدالة الموجية${\displaystyle u(r)}$يختفي عند${\displaystyle r=r_{0}}$،${\displaystyle u(r_{0})=0}$الحل موجود بسهولة:

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

هنا${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$و${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$يمثل إزاحة طور الموجة s (فرق الطور بين الموجة الواردة والموجة الصادرة)، والتي يتم تحديدها بواسطة شرط الحدود.${\displaystyle u(r_{0})=0}$؛${\displaystyle A}$هو ثابت تطبيع اختياري.

يمكن للمرء أن يثبت ذلك بشكل عام${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$للصغار${\displaystyle k}$(أي التشتت منخفض الطاقة). المعامل${\displaystyle a_{s}}$يُعرَّف بُعد الطول بأنه طول التشتت . لذلك، بالنسبة لجهدنا، لدينا${\displaystyle a=r_{0}}$بمعنى آخر، طول التشتت للكرة الصلبة هو نصف قطرها. (أو يمكن القول إن جهدًا عشوائيًا بطول تشتت موجة s)${\displaystyle a_{s}}$يتمتع بنفس خصائص التشتت منخفضة الطاقة التي تتمتع بها كرة صلبة نصف قطرها${\displaystyle a_{s}}$لربط طول التشتت بالكميات الفيزيائية القابلة للقياس في تجربة التشتت، نحتاج إلى حساب المقطع العرضي.${\displaystyle \sigma }$في نظرية التشتت، تُكتب الدالة الموجية التقاربية على النحو التالي (نفترض وجود مُشتِّت ذي مدى محدود عند نقطة الأصل، ووجود موجة مستوية واردة على طول${\displaystyle z}$-محور):

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

أين${\displaystyle f}$يمثل سعة التشتت . ووفقًا للتفسير الاحتمالي لميكانيكا الكم، يُعطى المقطع العرضي التفاضلي بالعلاقة التالية:${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$(احتمالية التشتت في اتجاه معين لكل وحدة زمنية)${\displaystyle \mathbf {k} }$إذا اقتصرنا على دراسة تشتت الموجة s فقط، فإن المقطع العرضي التفاضلي لا يعتمد على الزاوية.${\displaystyle \theta }$والمقطع العرضي الكلي للتشتت هو فقط${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$الجزء s من دالة الموجة${\displaystyle \psi (r,\theta )}$يتم إسقاطها باستخدام التوسع القياسي للموجة المستوية بدلالة الموجات الكروية ومتعددات حدود ليجندر${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$:

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

عن طريق مطابقة${\displaystyle l=0}$مكون من${\displaystyle \psi (r,\theta )}$إلى حل الموجة s${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$(حيث نقوم بالتطبيع)${\displaystyle A}$بحيث تكون الموجة القادمة${\displaystyle e^{ikz}}$(إذا كان له عامل أولي يساوي واحدًا) يكون لدينا:

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

وهذا يعطي:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

• جهد فيرمي الزائف
• طول تشتت النيوترونات

• لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (2003). ميكانيكا الكم: نظرية غير نسبية . أمستردام: باتروورث-هاينمان. ISBN 0-7506-3539-8.