الدرجة السرية

في الرياضيات ، تُعدّ فئة سيغري فئة مميزة تُستخدم في دراسة المخاريط ، وهي تعميم لحزم المتجهات . بالنسبة لحزم المتجهات، تُعتبر فئة سيغري الكلية معكوسة لفئة تشيرن الكلية ، وبالتالي تُقدّم معلومات مكافئة؛ وتكمن ميزة فئة سيغري في قدرتها على التعميم إلى مخاريط أكثر عمومية، بينما لا تُعمّم فئة تشيرن ذلك. وقد قدّم بنيامينو سيغري (1953) فئة سيغري في الحالة غير المنفردة. ^{[ 1 ]} وفي المعالجة الحديثة لنظرية التقاطع في الهندسة الجبرية ، كما هو مُفصّل في كتاب فولتون (1998) المرجعي، تلعب فئات سيغري دورًا أساسيًا. ^{[ 2 ]}

لنفترض أن${\displaystyle C}$هل يوجد مخروط فوق${\displaystyle X}$، الذي - التي${\displaystyle q}$هو الإسقاط الناتج عن الإكمال الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$ل${\displaystyle C}$ل${\displaystyle X}$وذلك${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$هل حزمة الخطوط المضادة للتكرار على${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$عرض فئة تشيرن${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))}$كتشاكل داخلي جماعي لمجموعة تشاو لـ${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$، إجمالي فئة سيغري${\displaystyle C}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

ال${\displaystyle i}$الفصل الدراسي الثالث${\displaystyle s_{i}(C)}$هو ببساطة${\displaystyle i}$قطعة مصنفة من الدرجة الثالثة${\displaystyle s(C)}$. لو${\displaystyle C}$هو ذو بُعد نقي${\displaystyle r}$زيادة${\displaystyle X}$ثم يُعطى هذا بواسطة:

${\displaystyle s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

سبب استخدام${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$وهذا يجعل فئة سيغري الكلية مستقرة تحت إضافة الحزمة التافهة${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

إذا كان Z مخططًا فرعيًا مغلقًا لمخطط جبري X ، فإن${\displaystyle s(Z,X)}$يشير إلى فئة سيغري للمخروط الطبيعي إلى${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$.

إليكم بعض الخصائص الأساسية.

• لأي مخروط C (على سبيل المثال، حزمة متجهة)،${\displaystyle s(C\oplus 1)=s(C)}$[ ^{4 ]​}
• بالنسبة لمخروط C وحزمة متجهة E ،

  ${\displaystyle c(E)s(C\oplus E)=s(C).}$^{[ 5 ]}

• إذا كانت E حزمة متجهة، فإن ^{[ 6 ]}

  ${\displaystyle s_{i}(E)=0}$ل${\displaystyle i<0}$.

  ${\displaystyle s_{0}(E)}$هو عامل الهوية.

  ${\displaystyle s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F)\circ s_{i}(E)}$لحزمة متجهة أخرى F.

• إذا كانت L حزمة خطية، فإن${\displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)}$^، باستثناء فئة تشيرن الأولى من L. [ ^{6 ]}
• إذا كانت E حزمة متجهة من الرتبة${\displaystyle e+1}$إذن، بالنسبة لحزمة خطية L ،

  ${\displaystyle s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{pi}{\binom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{pi}.}$^{[ 7 ]}

إحدى الخصائص الرئيسية لفئة سيغري هي الثبات الثنائي النسبي: وهذا ما يرد في ما يلي. ليكن${\displaystyle p:X\to Y}$ليكن تشاكلاً صحيحاً بين المخططات الجبرية بحيث${\displaystyle Y}$غير قابل للاختزال وكل مكون غير قابل للاختزال من${\displaystyle X}$الخرائط على${\displaystyle Y}$ثم، لكل مخطط فرعي مغلق${\displaystyle W\subset Y}$،${\displaystyle V=p^{-1}(W)}$و${\displaystyle p_{V}:V\to W}$تقييد${\displaystyle p}$،

${\displaystyle {p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatorname {deg} (p)\,s(W,Y).}$^{[ 8 ]}

وبالمثل، إذا${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كان تشاكلاً مسطحاً ذا بُعد نسبي ثابت بين مخططات جبرية ذات أبعاد نقية، فإنه لكل مخطط فرعي مغلق${\displaystyle W\subset Y}$،${\displaystyle V=f^{-1}(W)}$و${\displaystyle f_{V}:V\to W}$تقييد${\displaystyle f}$،

${\displaystyle {f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).}$^{[ 9 ]}

يُعدّ الانفجار مثالًا أساسيًا على الثبات الثنائي النسبي. ليكن${\displaystyle \pi$ ليكن {\widetilde {X}}\to X} عملية تفجير على طول مخطط فرعي مغلق Z. بما أن القاسم الاستثنائي${\displaystyle E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$هو قاسم كارتييه فعال، والمخروط الطبيعي (أو الحزمة الطبيعية) له هو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}}$،

$$$

حيث استخدمنا الترميز${\displaystyle D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha }$[ ^{10 ]} وهكذا ^،

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}E^{k}\right)}$

أين${\displaystyle g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \pi }$.

يترك${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$لتكن الحلقة المحلية لمجموعة متنوعة X عند مجموعة متنوعة فرعية مغلقة V ذات بُعد مشترك n (على سبيل المثال، يمكن أن تكون V نقطة مغلقة ). عندئذٍ${\displaystyle \operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})}$هي متعددة حدود من الدرجة n في t لقيم t الكبيرة ؛ أي يمكن كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle {e(A)^{n} \over n!}t^{n}+}$الحدود ذات الدرجة الأدنى والأعداد الصحيحة${\displaystyle e(A)}$يُطلق عليه اسم تعددية A.

فئة سيغري${\displaystyle s(V,X)}$ل${\displaystyle V\subset X}$يشفر هذا التعدد: معامل${\displaystyle [V]}$في${\displaystyle s(V,X)}$يكون${\displaystyle e(A)}$[ ^{13 ]​}

• فولتون، ويليام (1998)، نظرية التقاطع ، دراسة الرياضيات والأبحاث العلمية . 3. فولج، المجلد.  2 (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-62046-4MR 1644323​ 
• Segre، Beniamino (1953)، “Nuovi metodi e resultati nella Geometria sulle varietà algebriche”، آن. حصيرة. تطبيق بورا. (باللغة الإيطالية)، 35 (4): 1-127 ، م.ر 0061420