مصفوفة التبديل المعممة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف مصفوفة التبديل المعممة (أو مصفوفة أحادية الحد ) بأنها مصفوفة لها نفس نمط العناصر غير الصفرية لمصفوفة التبديل ، أي يوجد عنصر واحد غير صفري فقط في كل صف وكل عمود. على عكس مصفوفة التبديل، حيث يجب أن يكون العنصر غير الصفري 1، في مصفوفة التبديل المعممة يمكن أن يكون العنصر غير الصفري أي قيمة غير صفرية. مثال على مصفوفة التبديل المعممة هو

[00300-70010000002].{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}

بناء

تكون المصفوفة القابلة للعكس A مصفوفة تبديل معممة إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابتها كحاصل ضرب مصفوفة قطرية قابلة للعكس D ومصفوفة تبديل ( قابلة للعكس ضمنيًا ) P : أي،

أ=دP.{\displaystyle A=DP.}

هيكل المجموعة

تشكل مجموعة مصفوفات التبديل المعممة من الرتبة n × n، التي تنتمي عناصرها إلى الحقل F ، زمرة جزئية من الزمرة الخطية العامة GL ( n , F )، حيث تشكل زمرة المصفوفات القطرية غير المنفردة Δ( n , F ) زمرة جزئية طبيعية . في الواقع، على جميع الحقول باستثناء GF(2) ، تُعد مصفوفات التبديل المعممة هي الزمرة المعيارية للمصفوفات القطرية، مما يعني أن مصفوفات التبديل المعممة هي أكبر زمرة جزئية من GL( n , F ) تكون فيها المصفوفات القطرية طبيعية.

المجموعة المجردة لمصفوفات التبديل المعممة هي حاصل الضرب الإكليلي لـ F × و S n . وبشكل ملموس، هذا يعني أنها حاصل الضرب شبه المباشر لـ Δ( n , F ) بواسطة المجموعة المتناظرة S n :

S n ⋉ Δ ( n , F ),

حيث تعمل S n عن طريق تبديل الإحداثيات والمصفوفات القطرية Δ( n , F ) متماثلة مع حاصل الضرب n -fold ( F × ) n .

وبدقة، فإن مصفوفات التبديل المعممة هي تمثيل خطي (أمين) لهذا المنتج الإكليلي المجرد: تحقيق للمجموعة المجردة كمجموعة فرعية من المصفوفات.

المجموعات الفرعية

  • المجموعة الفرعية التي تكون فيها جميع المدخلات 1 هي بالضبط مصفوفات التبديل ، وهي متماثلة مع المجموعة المتناظرة.
  • المجموعة الفرعية التي تكون فيها جميع المدخلات ±1 هي مصفوفات التبديل الموقعة ، وهي المجموعة الثمانية السطوح الفائقة .
  • المجموعة الفرعية التي تكون عناصرها جذور الوحدة من الرتبة mμم{\displaystyle \mu _{m}}متماثل مع مجموعة متناظرة معممة .
  • الزمرة الفرعية للمصفوفات القطرية هي زمرة تبديلية ، وطبيعية، وزمرة تبديلية عظمى. زمرة القسمة هي الزمرة المتناظرة، وهذا البناء هو في الواقع زمرة ويل للزمرة الخطية العامة: المصفوفات القطرية هي طارة عظمى في الزمرة الخطية العامة (وهي مركزها الخاص )، ومصفوفات التبديل المعممة هي معيارية هذه الطارة، وزمرة القسمة،شمال(تي)/Z(تي)=شمال(تي)/تي≅Sن{\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}هي مجموعة ويل.

ملكيات

  • إذا كانت المصفوفة غير المنفردة ومعكوسها مصفوفات غير سالبة (أي مصفوفات ذات مدخلات غير سالبة)، فإن المصفوفة هي مصفوفة تبديل معممة.
  • يُعطى محدد مصفوفة التبديل المعممة بالصيغة التالية:المحقق(جي)=المحقق(P)⋅المحقق(د)=علامة⁡(π)⋅د11⋅...⋅دنن،{\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}أينعلامة⁡(π){\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}هي علامة التبديل​π{\displaystyle \pi }مرتبط بـP{\displaystyle P} ود11،...،دنن{\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}هي العناصر القطرية لـد{\displaystyle D}.

التعميمات

يمكن تعميم ذلك أكثر بالسماح للمدخلات بالانتماء إلى حلقة بدلاً من حقل. في هذه الحالة، إذا اشترطنا أن تكون المدخلات غير الصفرية عناصر محايدة في الحلقة، نحصل على زمرة. من جهة أخرى، إذا اشترطنا فقط أن تكون المدخلات غير الصفرية غير صفرية، دون اشتراط أن تكون قابلة للعكس، فإن هذه المجموعة من المصفوفات تُشكل شبه زمرة .

يمكن أيضًا، بشكل تخطيطي، السماح للعناصر غير الصفرية بالانتماء إلى مجموعة G، مع العلم أن ضرب المصفوفات سيقتصر على ضرب زوج واحد فقط من عناصر المجموعة، وليس "جمع" عناصر المجموعة. يُعد هذا إساءة استخدام للرمز ، إذ يجب أن تسمح عناصر المصفوفات التي يتم ضربها بالضرب والجمع، ولكنه مفهومٌ مُوحٍ للمجموعة المجردة (الصحيحة شكليًا).جي≀Sن{\displaystyle G\wr S_{n}}(الناتج الإكليلي للمجموعة G بواسطة المجموعة المتناظرة).

مجموعة التبديل الموقعة

مصفوفة التبديل الموقعة هي مصفوفة تبديل معممة تكون عناصرها غير الصفرية ±1، وهي مصفوفات التبديل المعممة الصحيحة ذات المعكوس الصحيح.

ملكيات

التطبيقات

التمثيلات أحادية الحد

تظهر المصفوفات أحادية الحد في نظرية التمثيل في سياق التمثيلات أحادية الحد . التمثيل أحادي الحد لمجموعة G هو تمثيل خطي ρ  : G → GL( n , F ) لـ G (حيث F هو الحقل المحدد للتمثيل) بحيث تكون الصورة ρ ( G ) مجموعة جزئية من مجموعة المصفوفات أحادية الحد.

مراجع

  • جوينر، ديفيد (2008). مغامرات في نظرية الزمر: مكعب روبيك، وآلة ميرلين، وغيرها من الأدوات الرياضية (الطبعة الثانية المحدثة والمنقحة  ). بالتيمور، ماريلاند: مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl 1221.00013 .