بنية الدوران c

في هندسة الدوران ، يُعدّ تركيب الدوران ^c (أو تركيب الدوران المركب ) تعميمًا لتركيب الدوران . في الرياضيات، تُستخدم هذه التركيبات لوصف حزم الدوران الدوراني والدورانات الدورانية ، والتي تُستخدم في الفيزياء لوصف الدوران الدوراني ، وهو الزخم الزاوي الذاتي للجسيمات الذي سُمّيت به. ولأن تركيبات الدوران c ^موجودة أيضًا في ظل ظروف مُضعفة قد لا تسمح بوجود تركيبات الدوران، فإنها تُوفّر بديلًا مناسبًا لمثل هذه الحالات. تُسمى المشعبات القابلة للتوجيه ذات تركيب الدوران ^c بمشعبات الدوران ^c . ^{[ 1 ]} يرمز C إلى الأعداد المركبة ، والتي يُشار إليها بـ${\displaystyle \mathbb {C} }$وتظهر في تعريف مجموعة الدوران الأساسية ^c .

في أربعة أبعاد، يُعرّف تركيب اللف المغزلي ^c حزمتين مستويتين معقدتين، يمكن استخدامهما لوصف الكيرالية السالبة والموجبة للسبينورات ، على سبيل المثال في معادلة ديراك لنظرية الحقل الكمومي النسبية . ومن التطبيقات المركزية الأخرى نظرية سيبرغ-ويتن ، التي تستخدمها لدراسة متعددات الشعب الرباعية .

يترك${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$مشعب قابل للتوجيه ذو أبعاد n . حزمة مماسية له${\displaystyle TM}$يتم وصفها بواسطة خريطة تصنيفية${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$في فضاء التصنيف${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$من المجموعة المتعامدة الخاصة${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$يمكن أن يؤثر ذلك على الخريطة${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$ناتج عن الإسقاط المتعارف عليه${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$فيما يتعلق بتصنيف الفضاءات . في هذه الحالة، تتحول خريطة التصنيف إلى خريطة متصلة${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$في فضاء التصنيف${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$من مجموعة الدوران ^c${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)}$تُسمى فئة التماثل الخاصة بها بنية الدوران ^c . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يفترض${\displaystyle M}$له بنية دوران ^c . ليكن إذن${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)}$لنرمز إلى مجموعة هياكل الدوران ^c على${\displaystyle M}$المجموعة الموحدة الأولى${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$هو العامل الثاني لمجموعة الدوران ^c واستخدام فضاء التصنيف الخاص بها${\displaystyle \operatorname {BU} (1)\cong \operatorname {BSO} (2)}$، وهو الفضاء الإسقاطي المركب اللانهائي${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ونموذج لفضاء إيلنبرغ-ماكلين${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$، يوجد تقابل : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\cong [M,\operatorname {BU} (1)]\cong [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\cong [M,K(\mathbb {Z} ,2)]\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$

ينتج التشاكل السابق عن متتالية بوبي للتليف${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty}\hookrightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {BSO} (n)}$(عند التقديم)${\displaystyle [M,-]}$). ^{[ 5 ]}

بسبب الإسقاط المتعارف عليه${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {U} (1)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {U} (1)}$كل بنية ذات دوران ^c تحفز مبدأً رئيسيًا${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$- حزمة أو ما يعادلها حزمة خطية معقدة .

• كل بنية دورانية تُنتج بنية دورانية نموذجية ^c . ^{[ 6 ] [ 7 ]} لا ينطبق الاستلزام العكسي لأن المستوى الإسقاطي المركب${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$العروض.
• كل بنية ذات دوران ^c تُنتج بنية ذات دوران ^h نموذجية . أما العكس فلا ينطبق على متعدد شعب وو.${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$العروض.
• مشعب قابل للتوجيه${\displaystyle M}$لها بنية دوران ^c إذا وفقط إذا كانت فئة ستيفل-ويتني التكاملية الثالثة${\displaystyle W_{3}(M)\in H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$يختفي هذا الفصل.${\displaystyle W_{3}(M)}$هي صورة الفئة الثانية العادية من ستيفل-ويتني${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})}$في ظل تشاكل بوكشتاين${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})\rightarrow H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}
• كل مشعب أملس قابل للتوجيه ذو أربعة أبعاد أو أقل له بنية دوران ^c . ^{[ 7 ]}
• كل مشعب شبه معقد له بنية دوران ^c . ^{[ 10 ] [ 7 ]}
• للحصول على ^مشعب دوران مضغوط${\displaystyle M}$، والتي لها فئة التواء${\displaystyle c\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$مع${\displaystyle w_{2}(M)=c\operatorname {mod} 2}$يوجد فضاء له مقياس ريماني ذو انحناء قياسي موجب إجمالي، وبالتالي فإن جنسه Â يتلاشى، ومن ثم${\displaystyle {\widehat {A}}(M)=0}$[ ^{11 ]​}

تنطبق الخصائص التالية بشكل عام على المصعد الموجود على مجموعة لي${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$، مع الحالة الخاصة${\displaystyle k=2}$أعطِ:

• لو${\displaystyle M\times N}$إذا كان متعدد الشعب ذو دوران ^c ،${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي متعددات ذات دوران ^c . ^{[ 12 ]}
• لو${\displaystyle M}$إذا كان مشعبًا دورانيًا،${\displaystyle M\times N}$هو متعدد الشعب ذو دوران ^c إذا وفقط إذا${\displaystyle N}$هو متعدد الشعب ذو الدوران ^c . ^{[ 12 ]}
• لو${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت مشعبات الدوران ^c ذات نفس البعد، فإن مجموعها المتصل${\displaystyle M\#N}$هو متعدد الشعب ذو الدوران ^c . ^{[ 13 ]}
• الشروط التالية متكافئة: ^{[ 14 ]}
  • ${\displaystyle M}$هو مشعب دوران ^c .
  • هناك حزمة طائرة حقيقية${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$، لهذا السبب${\displaystyle ™\oplus E}$له بنية دوران أو ما يعادلها${\displaystyle w_{2}(TM\oplus E)=0}$.
  • ${\displaystyle M}$يمكن غمرها في مشعب دوراني ذي بعدين إضافيين.
  • ${\displaystyle M}$يمكن تضمينها في مشعب دوراني ذي بعدين إضافيين.

حلقة التماثل للفضاء التصنيفي اللانهائي${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }:=\lim _{n\rightarrow \infty}\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$بمعاملات في${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$يمكن التعبير عنها باستخدام مربعات ستينرود وفئات وو : ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} },\mathbb {Z} _{2})\cong H^{*}(\operatorname {BSO} ,\mathbb {Z} _{2})/(\operatorname {Sq} ^{1}\nu _{2^{r}},r\geq 1).}$

• بنية الدوران ^h

• لوسون، إتش. بلين ؛ ميكلسون، ماري لويز (21 فبراير 1990). هندسة الدوران . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 9780691085425.
• بليك ميلور (1995-09-18). "مشعبات الدوران ^c " (ملف PDF) .
• "التركيبات المعقدة المستقرة والتركيبات ذات الدوران ^c " (PDF) .
• ليفيو إي. نيكولايسكو. ملاحظات حول نظرية سيبرغ-ويتن (PDF) .
• مايكل ألبانيز وألكسندر ميليفويفيتش (2021). "اللف المغزلي ^h وتعميمات أخرى لللف المغزلي". مجلة الهندسة والفيزياء . 164 : 104-174 . arXiv : 2008.04934 . doi : 10.1016/j.geomphys.2022.104709 .
• هـ. بلين لوسون (2023-01-23). ​​"مشعبات الدوران". arXiv : 2301.09683v1 [ math.DG ].
• جياهاو هو (2023-12-08). "ثوابت حزم المتجهات الحقيقية". arXiv : 2310.05061 [ math.AT ].

• بنية الدوران على سطح النيوكليوتيدات