دالة ستروف

{\displaystyle \mathrm {H} _{n}(x)} — رسم بياني لـ $\mathrm {H} _{n}(x)$ ل $n\in [0,1,2,3,4,5]$

في الرياضيات ، دوال ستروف $H α (x)$ هي حلول $y (x)$ لمعادلة بيسل التفاضلية غير المتجانسة :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}

تم تقديمها بواسطة هيرمان ستروف ( 1882 ) . العدد المركب α هو رتبة دالة ستروف، وغالبًا ما يكون عددًا صحيحًا .

وقد حدد بشكل أكبر نسخته من النوع الثاني $\mathbf {K} _{\alpha }(x)$ مثل $\mathbf {K} _{\alpha }(x)=\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)$ ، أين $Y_{\alpha }(x)$ هي دالة نيومان .

دوال ستروف المعدلة $L α (x)$ تساوي $- ie - iαπ / 2 H α (ix)$ وهي حلول $y (x)$ لمعادلة بيسل التفاضلية غير المتجانسة :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}

وقد حدد بشكل أكبر نسخته من النوع الثاني $\mathbf {M} _{\alpha }(x)$ مثل $\mathbf {M} _{\alpha }(x)=\mathbf {L} _{\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)$ ، أين $I_{\alpha }(x)$ هي دالة بيسل المعدلة من النوع الأول .

التعريفات

بما أن هذه معادلة غير متجانسة ، يمكن بناء حلولها من حل خاص واحد عن طريق جمع حلول المسألة المتجانسة. في هذه الحالة، تكون الحلول المتجانسة هي دوال بيسل ، ويمكن اختيار الحل الخاص كدالة ستروف المقابلة.

توسيع سلسلة الطاقة

تأخذ دوال ستروف، التي يُرمز لها بـ $Hα (z) ،$ شكل متسلسلة القوى

\mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},

حيث $Γ(z)$ هي دالة جاما .

تأخذ دوال ستروف المعدلة، والتي يُرمز لها بـ $Lα$ $(z) ،$ الشكل التالي لسلسلة القوى

\mathbf {L} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1}.

الشكل التكاملي

يمكن التعبير عن تعريف آخر لدالة ستروف، بالنسبة لقيم $α$ التي تحقق $Re(α) > - ⁠ 1 / 2 ⁠$ ، بدلالة التمثيل التكاملي لبواسون:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sin xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {K} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }(1+t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh \tau }\cosh ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {L} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sinh xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {M} _{\alpha }(x)=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\cos \tau }\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau =-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\sin \tau }\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

الأشكال التقاربية

$بالنسبة لقيم x$ الصغيرة ، يتم إعطاء توسيع متسلسلة القوى أعلاه .

$بالنسبة لقيم x$ الكبيرة ، نحصل على:

\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),

حيث $Y α (x)$ هي دالة نيومان .

ملكيات

تحقق دوال ستروف العلاقات التكرارية التالية :

{\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}

العلاقة بالوظائف الأخرى

يمكن التعبير عن دوال ستروف ذات الرتبة الصحيحة بدلالة دوال ويبر $E n$ والعكس صحيح: إذا كان $n$ عددًا صحيحًا غير سالب، فإن

{\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n-3}{2}}\right\rceil }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}

يمكن التعبير عن دوال ستروف من الرتبة $n + 1/2 ،$ حيث $n$ عدد صحيح، بدلالة $الدوال$ الأولية . وبالتحديد، إذا $كان$ $n$ عددًا صحيحًا غير سالب، $فإن$

\mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),

حيث يمثل الجانب الأيمن دالة بيسل كروية .

يمكن التعبير عن دوال ستروف (من أي رتبة) بدلالة الدالة الهندسية الفائقة المعممة $1 F 2$ :

\mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).

التطبيقات

لقد ثبت أن دالتي ستروف وويبر لهما تطبيق في تشكيل الحزم في ^{[ 1 ]} وفي وصف تأثير الواجهة المحصورة على الحركة البراونية للجسيمات الغروية عند أرقام رينولدز المنخفضة. ^{[ 2 ]}

مراجع

↑ ك. بوكانان، س. فلوريس، س. ويلاند، ج. جنسن، د. غرايسون، و ج. هوف، "تشكيل حزمة الإرسال لتطبيقات الرادار باستخدام مصفوفات عشوائية مدببة دائرية"، مؤتمر IEEE للرادار 2017 (RadarConf)، 2017، ص 0112-0117، doi: 10.1109/RADAR.2017.7944181
↑ بي يو فيلدرهوف، "تأثير الجدار على دالة الارتباط الذاتي للسرعة والذيل طويل المدى للحركة البراونية". مجلة الكيمياء الفيزيائية ب 109.45، 2005، ص 21406-21412

آر إم آرتس وأوغسطس جيه إي إم جانسن (2003). "تقريب دالة ستروف H1 المستخدمة في حسابات المعاوقة". مجلة الجمعية الصوتية الأمريكية ، 113 (5): 2635-2637 _.Bibcode : 2003ASAJ..113.2635A . doi : 10.1121/1.1564019 . PMID: 12765381 .
آر إم آرتس وأوغسطس جيه إي إم جانسن (2016). "تقريب فعال لدوال ستروف H _n المستخدمة في حساب كميات إشعاع الصوت" . مجلة الجمعية الصوتية الأمريكية ، 140 (6): 4154-4160 . Bibcode : 2016ASAJ..140.4154A . doi : 10.1121/1.4968792 . PMID: 28040027 .
أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 12" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
إيفانوف، أ.ب. (2001) [1994]، "دالة ستروف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
باريس، آر بي (2010)، "دالة ستروف" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بوافير، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248 .
ستروف، هـ. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren" . Annalen der Physik und Chemie . 17 (13): 1008–1016 . بيب كود : 1882AnP...253.1008S . دوى : 10.1002/andp.18822531319 .

روابط خارجية

وظائف Struve في موقع وظائف Wolfram .

[1] ك. بوكانان، س. فلوريس، س. ويلاند، ج. جنسن، د. غرايسون، و ج. هوف، "تشكيل حزمة الإرسال لتطبيقات الرادار باستخدام مصفوفات عشوائية مدببة دائرية"، مؤتمر IEEE للرادار 2017 (RadarConf)، 2017، ص 0112-0117، doi: 10.1109/RADAR.2017.7944181

[2] بي يو فيلدرهوف، "تأثير الجدار على دالة الارتباط الذاتي للسرعة والذيل طويل المدى للحركة البراونية". مجلة الكيمياء الفيزيائية ب 109.45، 2005، ص 21406-21412

[ 1 ]

[ 2 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗