مجموعة خالية من المجموع

في التوافقية الجمعية ونظرية الأعداد ، يُقال إن مجموعة جزئية A من زمرة أبيلية G خالية من المجاميع إذا كانت مجموعة المجموع A + A منفصلة عن A. بعبارة أخرى، تكون A خالية من المجاميع إذا كانت المعادلة${\displaystyle a+b=c}$ليس لديه حل مع${\displaystyle a,b,c\in A}$.

على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الفردية هي مجموعة جزئية خالية من المجموع من مجموعة الأعداد الصحيحة ، وتشكل المجموعة { N  + 1, ..., 2N } مجموعة جزئية كبيرة خالية من المجموع من المجموعة {1, ..., 2N } . تنص نظرية فيرما الأخيرة على أنه بالنسبة لعدد صحيح معطى n > 2، فإن مجموعة جميع القوى غير الصفرية من الرتبة n للأعداد ^{الصحيحة} هي مجموعة خالية من المجموع.

بعض الأسئلة الأساسية التي طُرحت حول المجموعات الخالية من المجموع هي:

• كم عدد المجموعات الجزئية الخالية من المجاميع من المجموعة {1، ...، N }، لعدد صحيح N ؟ وقد أثبت بن غرين ^{[ 1 ]} أن الإجابة هي${\displaystyle O(2^{N/2})}$كما تنبأت به فرضية كاميرون-إردوش . ^{[ 2 ]}
• كم عدد المجموعات الخالية من المجموع التي تحتويها المجموعة الأبيلية G ؟ ^{[ 3 ]}
• ما هو حجم أكبر مجموعة خالية من المجموع تحتويها زمرة أبيلية G ؟ ^{[ 3 ]}

يقال إن المجموعة الخالية من المجموع هي مجموعة قصوى إذا لم تكن مجموعة جزئية فعلية لمجموعة أخرى خالية من المجموع.

يترك${\displaystyle f:[1,\infty )\to [1,\infty )}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle f(n)}$هو أكبر عدد${\displaystyle k}$بحيث أن أي مجموعة من n عددًا صحيحًا غير صفري تحتوي على مجموعة جزئية خالية من المجموع بحجم k . الدالة شبه جمعية ، وبحسب مبرهنة فيكيت للشبه الجمعية ،${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}}$موجود.

أثبت إردوش أن${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}\geq {\frac {1}{3}}}$وافترضوا أن المساواة صحيحة. ^{[ 4 ]} وقد أثبت إيبرهارد وغرين ومانرز ذلك في عام 2014، حيث قدموا حدًا أعلى يطابق الحد الأدنى لإردوش حتى دالة أو رتبة .${\displaystyle o(n)}$، ${\displaystyle f(n)\leq {\frac {n}{3}}+o(n)}$[ ^{5 ]​}

وسأل إردوش أيضاً عما إذا${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+\omega (n)}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \omega (n)\rightarrow \infty }$في عام 2025، أثبت بيدرت ذلك في ورقة بحثية أولية، مقدماً الحد الأدنى${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+c\log \log n}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}

• نظرية إردوش-سزيميريدي
• متتالية خالية من المجموع

• مشكلة اردوس 792 - erdosproblems.com