المتباينة الخطية

المتباينات الخطية ثنائية الأبعاد هي تعبيرات بمتغيرين على الشكل التالي:

${\displaystyle ax+by<c{\text{ و }}ax+by\geq c,}$

حيث قد تكون المتباينات قطعية أو غير قطعية. يمكن تمثيل مجموعة حلول هذه المتباينة بيانيًا بنصف مستوى (جميع النقاط على جانب واحد من خط ثابت) في المستوى الإقليدي . ^{[ 2 ]} لا يُدرج الخط الذي يحدد نصفي المستوى ( ax + by = c ) ضمن مجموعة الحلول عندما تكون المتباينة قطعية. تتمثل إحدى الطرق البسيطة لتحديد أي نصف مستوى يقع ضمن مجموعة الحلول في حساب قيمة ax + by عند نقطة ( x0 _, y0 ₎ لا تقع على الخط، ثم ملاحظة ما إذا كانت المتباينة محققة أم لا .

على سبيل المثال، ^{[ 3 ]} لرسم مجموعة حلول المتباينة س + ٣ ص < ٩، نرسم أولًا الخط الذي يمثل معادلته س + ٣ ص = ٩ كخط منقط، للإشارة إلى أن هذا الخط غير مُدرج في مجموعة الحلول لأن المتباينة قطعية. ثم نختار نقطة مناسبة لا تقع على الخط، مثل (٠،٠). بما أن ٠ + ٣(٠) = ٠ < ٩، فإن هذه النقطة تقع ضمن مجموعة الحلول، وبالتالي فإن نصف المستوى الذي يحتوي على هذه النقطة (نصف المستوى "أسفل" الخط) هو مجموعة حلول هذه المتباينة الخطية.

في R ^n، تُعرَّف المتباينات الخطية بأنها التعبيرات التي يمكن كتابتها على الصورة

${\displaystyle f({\bar {x}})<b}$أو${\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}$

حيث f هي صيغة خطية (تسمى أيضًا دالة خطية )،${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$و b عدد حقيقي ثابت .

وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

أو

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

هنا${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$تُسمى هذه المتغيرات بالمجهولات، و${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$وتسمى هذه المعاملات.

أو يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle g(x)<0\,}$أو${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

حيث g دالة خطية . ^{[ 4 ]}

إنه

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

أو

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

لاحظ أنه يمكن إعادة كتابة أي متباينة تحتوي على علامة "أكبر من" أو "أكبر من أو يساوي" باستخدام علامة "أصغر من" أو "أصغر من أو يساوي"، لذلك لا حاجة لتعريف المتباينات الخطية باستخدام تلك العلامات.

نظام المتباينات الخطية هو مجموعة من المتباينات الخطية في نفس المتغيرات:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

هنا${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$هي المجهولات،${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$هي معاملات النظام، و${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$هي الحدود الثابتة.

يمكن كتابة ذلك بإيجاز على شكل متباينة المصفوفة

${\displaystyle Ax\leq b,}$

حيث A هي مصفوفة m × n من الثوابت، و x هو متجه عمودي n × 1 من المتغيرات، و b هو متجه عمودي m × 1 من الثوابت ويتم فهم علاقة عدم المساواة صفًا تلو الآخر.

في الأنظمة المذكورة أعلاه، يمكن استخدام كل من المتباينات الصارمة وغير الصارمة.

• ليس لكل أنظمة المتباينات الخطية حلول.

يمكن حذف المتغيرات من أنظمة المتباينات الخطية باستخدام طريقة حذف فورييه-موتزكين . ^{[ 5 ]}