اختبار مدى توكي

اختبار توكي للمدى ، المعروف أيضًا باسم اختبار توكي ، أو طريقة توكي ، أو اختبار توكي للدلالة الصادقة ، أو اختبار توكي للفرق ذي الدلالة الصادقة ( HSD ) ، ^{[ 1 ]} هو إجراء مقارنة متعددة بخطوة واحدة واختبار إحصائي . يُستخدم لتفسير الدلالة الإحصائية للفرق بين المتوسطات المختارة للمقارنة بناءً على قيمها المتطرفة.

طُوِّرت هذه الطريقة في البداية على يد جون توكي لاستخدامها في تحليل التباين (ANOVA)، وعادةً ما تُدرَّس فقط في سياق تحليل التباين. مع ذلك، فإن توزيع النطاق المُعَدَّل، المستخدم لتحديد مستوى دلالة الفروقات في اختبار توكي، له تطبيقات أوسع بكثير: فهو مفيد للباحثين الذين بحثوا في بياناتهم المجمعة عن فروق ملحوظة بين المجموعات، لكنهم لا يستطيعون تحديد مدى دلالة هذه الفروق باستخدام التوزيعات الإحصائية القياسية المستخدمة في الاختبارات الإحصائية التقليدية الأخرى، والتي يفترض فيها اختيار البيانات عشوائيًا. بما أن البيانات المتميزة، عند مقارنتها، لم تُختر عشوائيًا، بل اختيرت تحديدًا لكونها متطرفة، فإنها تحتاج إلى تفسير مختلف وأكثر دقة، يُوفره التكرار والحجم المحتملان للنطاق المُعَدَّل ؛ وتُعد ممارسة " استخراج البيانات " الحديثة مثالًا على استخدامها.

تم تصميم هذا الاختبار بواسطة جون توكي ، ^{[ 2 ]} وهو يقارن جميع أزواج المتوسطات الممكنة ، ويستند إلى توزيع النطاق المعياري ( q ) (يشبه هذا التوزيع توزيع t من اختبار t . انظر أدناه). ^{[ 3 ]}

يقارن اختبار توكي متوسطات كل معالجة بمتوسطات كل معالجة أخرى؛ أي أنه ينطبق في وقت واحد على مجموعة جميع المقارنات الثنائية.

${\displaystyle \mu _{i}-\mu _{j}\ ,}$

ويحدد أي فرق بين متوسطين أكبر من الخطأ المعياري المتوقع . معامل الثقة للمجموعة ، عندما تكون جميع أحجام العينات متساوية، يساوي بالضبط ${\displaystyle \ 1-\alpha \ }$لأي${\displaystyle \ \alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.}$بالنسبة لأحجام العينات غير المتساوية، يكون معامل الثقة أكبر من${\displaystyle \ 1-\alpha ~.}$بمعنى آخر، تعتبر طريقة توكي متحفظة عندما تكون أحجام العينات غير متساوية .

غالباً ما يتبع هذا الاختبار إجراء العرض الإحصائي للأحرف المضغوطة (CLD) لجعل مخرجات هذا الاختبار أكثر شفافية للجمهور غير المتخصص في الإحصاء.

1. إن الملاحظات التي يتم اختبارها مستقلة داخل المجموعات وفيما بينها.
2. المجموعات الفرعية المرتبطة بكل متوسط ​​في الاختبار موزعة توزيعاً طبيعياً .
3. يوجد تباين متساو داخل المجموعات الفرعية عبر المجموعات الفرعية المرتبطة بكل متوسط ​​في الاختبار ( تجانس التباين ).

يعتمد اختبار توكي على صيغة مشابهة جدًا لصيغة اختبار t . في الواقع، اختبار توكي هو في جوهره اختبار t ، باستثناء أنه يُصحح معدل الخطأ الإجمالي .

صيغة اختبار توكي هي

${\displaystyle q_{\mathsf {s}}={\frac {\ \left|Y_{\mathsf {A}}-Y_{\mathsf {B}}\right|\ }{\ {\mathsf {SE}}\ }}\ ,}$

حيث يمثل Y_{_A} و Y_{_B} المتوسطين المُقارنين، و SE هو الخطأ المعياري لمجموع المتوسطين. القيمة q_{_s} هي إحصائية الاختبار للعينة. (يشير الرمز | x | إلى القيمة المطلقة لـ x ؛ أي مقدار x مع ضبط الإشارة إلى + ، بغض النظر عن الإشارة الأصلية لـ x ).

يمكن بعد ذلك مقارنة إحصائية اختبار q s _بقيمة q لمستوى الدلالة المختار α من جدول توزيع المدى المعياري . إذا كانت قيمة q _s أكبر من القيمة الحرجة q _α المستخرجة من التوزيع، يُقال إن المتوسطين مختلفان اختلافًا معنويًا عند مستوى الدلالة α.${\displaystyle \ \alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.}$^{[ 3 ]}

بما أن الفرضية الصفرية لاختبار توكي تنص على أن جميع المتوسطات التي تتم مقارنتها تنتمي إلى نفس المجتمع (أي μ ₁ = μ ₂ = μ ₃ = ... = μ _k )، فيجب أن تكون المتوسطات موزعة توزيعًا طبيعيًا (وفقًا لنظرية النهاية المركزية ) بنفس الانحراف المعياري للنموذج σ ، والذي يتم تقديره بواسطة الخطأ المعياري المدمج .${\displaystyle \ {\mathsf {SE}}\ ,}$بالنسبة لجميع العينات؛ سيتم مناقشة حسابها في الأقسام التالية. وهذا ما يؤدي إلى افتراض التوزيع الطبيعي لاختبار توكي.

تستخدم طريقة توكي توزيع المدى المُدرَج . لنفترض أننا نأخذ عينة بحجم n من كلٍّ من k من المجتمعات ذات التوزيع الطبيعي نفسه N ( μ , σ² ) ^، ولنفترض أن${\displaystyle \ {\bar {y}}_{\mathsf {min}}\ }$وهو أصغر متوسطات هذه العينات و${\displaystyle \ {\bar {y}}_{\mathsf {max}}\ }$^إذا كان هو أكبر متوسط ​​من بين هذه المتوسطات، ولنفترض أن S2 هو التباين المجمع لهذه العينات، فإن المتغير العشوائي التالي له توزيع مدى مُعَيَّر (Studentized range distribution):

${\displaystyle q\equiv {\frac {\ {\overline {y}}_{\mathsf {max}}-{\overline {y}}_{\mathsf {min}}\ }{\ S{\sqrt {2/n}}\ }}}$

إن تعريف الإحصاءة q المذكور أعلاه هو أساس القيمة ذات الأهمية الحرجة لـ q _α التي نناقشها أدناه، ويستند إلى هذه العوامل الثلاثة:

${\displaystyle \ \alpha ~\quad }$معدل الخطأ من النوع الأول ، أو احتمال رفض فرضية العدم الصحيحة؛

${\displaystyle \ k~\quad }$ عدد المجموعات الفرعية التي تتم مقارنتها؛

${\displaystyle \ {\mathsf {df}}\quad }$عدد درجات الحرية لكل متوسط

( df = N − k ) حيث N هو العدد الإجمالي للمشاهدات.)

تم تدوين توزيع q في جداول، ويظهر في العديد من الكتب الدراسية في الإحصاء. في بعض الجداول، تم تدوين توزيع q بدون...${\displaystyle \ {\sqrt {2\ }}\ }$العامل. لفهم أي جدول هو المقصود، يمكننا حساب النتيجة لـ k = 2 ومقارنتها بنتيجة توزيع t للطالب بنفس درجات الحرية ونفس قيمة α . بالإضافة إلى ذلك، توفر R دالة التوزيع التراكمي ( ) ودالة الكمية ( ) لـ q .ptukeyqtukey

حدود ثقة توكي لجميع المقارنات الزوجية بمعامل ثقة لا يقل عن 1 − α هي

${\displaystyle {\bar {y}}_{i\bullet } - {\bar {y}} _ {j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \$ ;\ k\  ;\ Nk}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {{\frac {2}{n}}\ }}\quad  :\quad i,\ j=1,\ldots ,k\quad i\neq j~.}

لاحظ أن مُقدِّر النقطة والتباين المُقدَّر هما نفس القيم المُستخدمة في المقارنة الثنائية الفردية. والفرق الوحيد بين حدود الثقة للمقارنات المتزامنة وتلك الخاصة بالمقارنة الفردية هو مُضاعف الانحراف المعياري المُقدَّر.

لاحظ أيضًا أنه يجب أن تكون أحجام العينات متساوية عند استخدام أسلوب النطاق الموحد.${\displaystyle \ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ }$يمثل الانحراف المعياري التصميم بأكمله، وليس فقط الانحراف المعياري للمجموعتين المُقارنتين. من الممكن العمل بأحجام عينات غير متساوية. في هذه الحالة، يجب حساب الانحراف المعياري المُقدَّر لكل مقارنة ثنائية، كما صاغه كلايد كرامر عام ١٩٥٦، ولذلك يُشار أحيانًا إلى إجراء أحجام العينات غير المتساوية باسم طريقة توكي-كرامر، وهي كالتالي:

${\displaystyle {\bar {y}}_{i\bullet } - {\bar {y}} _ {j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \$ ;\ k\  ;\ Nk}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {\ {\frac {\ 1\ }{n_{i}}}\ +\ {\frac {\ 1\ }{n_{j}}}\ }}\ }

حيث _يمثل nᵢ _و nⱼ حجمي المجموعتين i و j على التوالي. كما يتم تطبيق درجات الحرية للتصميم ككل.

يعتمد كل من اختبار تحليل التباين (ANOVA) واختبار توكي-كرامر على نفس الافتراضات. ومع ذلك، قد يؤدي هذان الاختباران _{لمجموعات k} ( أي _μ1 = μ2 = ... = μk ) إلى تناقضات منطقية عندما يكون k > 2 ، حتى لو كانت الافتراضات صحيحة.

من الممكن توليد مجموعة من العينات شبه العشوائية ذات القياس السالب تمامًا بحيث يتم رفض الفرضية _μ1 = _μ2 عند مستوى الدلالة${\displaystyle \ 1-\alpha >0.95\ }$بينما لا يتم رفض الفرضية القائلة بأن μ ₁ = μ ₂ = μ _{3 حتى عند}${\displaystyle \ 1-\alpha =0.975~.}$^{[ 4 ]}

• معدل الخطأ على مستوى العائلة
• طريقة نيومان-كيولز

• مونتغمري، دوغلاس سي. (2013). تصميم وتحليل التجارب (  الطبعة الثامنة). وايلي. القسم  3.5.7.

• "طريقة توكي" . الدليل الإلكتروني للأساليب الإحصائية. itl.nist.gov/div898/handbook . SEMATECH. المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا / وزارة التجارة الأمريكية .