أخطاء النوع الأول والنوع الثاني

في نظرية الاختبار الإحصائي ، يُعد مفهوم الخطأ الإحصائي جزءًا لا يتجزأ من اختبار الفرضيات . ويتمحور الاختبار حول اختيار فرضية من بين فرضيتين متنافستين تُسميان الفرضية الصفرية ، ويُرمز لهما بـ${\textstyle H_{0}}$والفرضية البديلة ، المشار إليها بـ${\textstyle H_{1}}$هذا المفهوم مشابهٌ للحكم في المحاكمة. الفرضية الصفرية تُمثل موقف المتهم: فكما يُفترض براءته حتى تثبت إدانته، تُفترض صحة الفرضية الصفرية حتى تُقدم البيانات أدلةً قاطعةً تُفنّدها. أما الفرضية البديلة فتُمثل الموقف ضد المتهم. تحديدًا، تتضمن الفرضية الصفرية أيضًا غياب أي فرق أو غياب أي ارتباط. وبالتالي، لا يُمكن أن تكون الفرضية الصفرية أبدًا هي وجود فرق أو ارتباط.

إذا تطابقت نتيجة الاختبار مع الواقع، فقد تم اتخاذ قرار صحيح. أما إذا لم تتطابق نتيجة الاختبار مع الواقع، فقد وقع خطأ. هناك حالتان يكون فيهما القرار خاطئًا: قد تكون الفرضية الصفرية صحيحة، بينما نرفضها.${\textstyle H_{0}}$من ناحية أخرى، الفرضية البديلة${\textstyle H_{1}}$قد يكون ذلك صحيحاً، بينما لا نرفضه.${\textstyle H_{0}}$يتم التمييز بين نوعين من الأخطاء: الخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني. ^{[ 2 ]}

النوع الأول من الأخطاء هو رفض الفرضية الصفرية عن طريق الخطأ نتيجةً لإجراء اختبار. يُسمى هذا النوع من الأخطاء خطأ من النوع الأول (إيجابي كاذب)، ويُطلق عليه أحيانًا خطأ من النوع الأول. في مثال قاعة المحكمة، يُعادل خطأ من النوع الأول إدانة متهم بريء.

النوع الثاني من الأخطاء هو عدم رفض الفرضية الصفرية نتيجةً لإجراء الاختبار. يُسمى هذا النوع من الأخطاء بالخطأ من النوع الثاني (النتيجة السلبية الكاذبة)، ويُشار إليه أيضًا بالخطأ من النوع الثاني. في مثال قاعة المحكمة، يُقابل الخطأ من النوع الثاني تبرئة مجرم.

معدل الخطأ المتقاطع (CER) هو النقطة التي تتساوى عندها أخطاء النوع الأول وأخطاء النوع الثاني. يوفر النظام ذو قيمة CER المنخفضة دقةً أكبر من النظام ذي قيمة CER المرتفعة. مع ثبات جميع العوامل الأخرى، فإن تساوي معدل أخطاء النوع الأول وأخطاء النوع الثاني (أي CER) سيؤدي إلى أدنى معدل خطأ إجمالي. ^{[ 3 ]}

فيما يتعلق بالنتائج الإيجابية الخاطئة والنتائج السلبية الخاطئة، تُشير النتيجة الإيجابية إلى رفض الفرضية الصفرية، بينما تُشير النتيجة السلبية إلى عدم رفضها؛ وكلمة "خاطئة" تعني أن الاستنتاج المُستخلص غير صحيح. وبالتالي، يُعادل الخطأ من النوع الأول نتيجة إيجابية خاطئة، ويُعادل الخطأ من النوع الثاني نتيجة سلبية خاطئة.

العلاقات المجدولة بين صحة/خطأ الفرضية الصفرية ونتائج الاختبار: ^{[ 4 ]}

جدول أنواع الأخطاء		الفرضية الصفرية (${\textstyle {\boldsymbol {H_{0}}}}$) يكون
		حقيقي	خطأ شنيع
القرار بشأن الفرضية الصفرية (${\textstyle {\boldsymbol {H_{0}}}}$)	عدم الرفض	الاستنتاج الصحيح (النتيجة السلبية الصحيحة) (الاحتمال =${\textstyle 1-\alpha }$)	الخطأ من النوع الثاني (النتيجة السلبية الكاذبة) (الاحتمال =${\textstyle \beta }$)
	يرفض	الخطأ من النوع الأول (النتيجة الإيجابية الخاطئة) (الاحتمال =${\textstyle \alpha }$)	الاستنتاج الصحيح (النتيجة الإيجابية الحقيقية) (الاحتمال =${\textstyle 1-\beta }$)

يمكن التعبير عن الفكرة نفسها من خلال معدل النتائج الصحيحة، وبالتالي استخدامها لتقليل معدلات الخطأ وتحسين جودة اختبار الفرضيات. ولتقليل احتمالية ارتكاب خطأ من النوع الأول، يُعدّ تشديد قيمة ألفا أمرًا بسيطًا وفعالًا. على سبيل المثال، يمكن ضبط قيمة ألفا على 0.01 بدلًا من 0.05. ولتقليل احتمالية ارتكاب خطأ من النوع الثاني، المرتبط ارتباطًا وثيقًا بقوة التحليلات، يمكن زيادة قوة التحليلات إما بزيادة حجم عينة الاختبار أو تخفيف مستوى ألفا، مثل ضبط مستوى ألفا على 0.1 بدلًا من 0.05. وتكون إحصائية الاختبار قوية إذا تم التحكم في معدل الخطأ من النوع الأول.

يمكن أيضًا استخدام قيم عتبة (قطع) مختلفة لجعل الاختبار أكثر دقة أو حساسية، مما يُحسّن جودته. على سبيل المثال، تخيّل اختبارًا طبيًا يقيس فيه الباحث تركيز بروتين معين في عينة الدم. يمكن للباحث تعديل العتبة (الخط العمودي الأسود في الشكل)، ويُشخّص الأشخاص بالمرض إذا تجاوزت أي قيمة هذه العتبة. وفقًا للصورة، يؤدي تغيير العتبة إلى تغييرات في النتائج الإيجابية والسلبية الخاطئة، بما يتوافق مع الحركة على المنحنى.

السرعة القصوى على الطرق السريعة في الولايات المتحدة هي 120 كيلومترًا في الساعة (75  ميلًا في الساعة). تم تركيب جهاز لقياس سرعة المركبات المارة. لنفترض أن الجهاز سيجري ثلاث قياسات لسرعة مركبة عابرة، مسجلاً النتائج كعينة عشوائية X1 _، X2 _، X3 _. ستقوم شرطة المرور بتغريم السائقين أو عدم تغريمهم بناءً على متوسط ​​السرعة.${\displaystyle {\bar {X}}}$أي بمعنى آخر، إحصائية الاختبار

${\displaystyle T={\frac {X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}}={\bar {X}}}$

بالإضافة إلى ذلك، نفترض أن القياسات X1 _و X2 _و X3 _تُنمذج كتوزيع طبيعي N(μ,2). عندئذٍ، يجب أن يتبع T التوزيع الطبيعي N(μ,2/${\displaystyle {\sqrt {3}}}$) ويمثل المعامل μ السرعة الحقيقية للمركبة المارة. في هذه التجربة، يجب أن تكون الفرضية الصفرية H ₀ والفرضية البديلة H ₁

H ₀ : μ=120 مقابل H ₁ : μ>120.

إذا أجرينا الإحصاء عند مستوى α=0.05، فيجب حساب قيمة حرجة c لحل المسألة.

${\displaystyle P\left(Z\geqslant {\frac {c-120}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}\right)=0.05}$

وفقًا لقاعدة تغيير الوحدات للتوزيع الطبيعي، وبالرجوع إلى جدول Z ، يمكننا الحصول على

${\displaystyle {\frac {c-120}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}=1.645\Rightarrow c=121.9}$

هنا تكمن المنطقة الحرجة. بمعنى آخر، إذا تجاوزت السرعة المسجلة للمركبة القيمة الحرجة 121.9، فسيتم تغريم السائق. مع ذلك، لا يزال 5% من السائقين يُغرَّمون خطأً لأن متوسط ​​السرعة المسجل يتجاوز 121.9 بينما السرعة الحقيقية لا تتجاوز 120، وهو ما يُعرف بالخطأ من النوع الأول.

يُشير الخطأ من النوع الثاني إلى الحالة التي تتجاوز فيها السرعة الحقيقية للمركبة 120 كيلومترًا في الساعة، ولكن لا يتم تغريم السائق. على سبيل المثال، إذا كانت السرعة الحقيقية للمركبة μ=125، فيمكن حساب احتمال عدم تغريم السائق على النحو التالي:

${\displaystyle P=(T<121.9|\mu =125)=P\left({\frac {T-125}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}<{\frac {121.9-125}{\frac {2}{\sqrt {3}}}}\right)=\phi (-2.68)=0.0036}$

وهذا يعني أنه إذا كانت السرعة الحقيقية للمركبة 125، فإن احتمال تجنب السائق للغرامة هو 0.36% عند إجراء التحليل الإحصائي عند مستوى دلالة α=0.05، لأن متوسط ​​السرعة المسجلة أقل من 121.9. وإذا كانت السرعة الحقيقية أقرب إلى 121.9 منها إلى 125، فإن احتمال تجنب الغرامة سيكون أعلى.

ينبغي أيضًا مراعاة المفاضلة بين الخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني. بمعنى آخر، في هذه الحالة، إذا لم ترغب شرطة المرور في تغريم سائقين أبرياء ظلمًا، فيمكن ضبط مستوى الخطأ (α) على قيمة أصغر، مثل 0.01. مع ذلك، في هذه الحالة، سيزداد احتمال إفلات السائقين الذين تتجاوز سرعتهم الحقيقية 120 كيلومترًا في الساعة، مثل 125 كيلومترًا في الساعة، من الغرامة.

من الممارسات الشائعة لدى الإحصائيين إجراء اختبارات لتحديد مدى إمكانية دعم " فرضية افتراضية " تتعلق بالظواهر المرصودة في العالم (أو سكانه). وتُحدد نتائج هذه الاختبارات ما إذا كانت مجموعة معينة من النتائج تتفق (أو لا تتفق) بشكل معقول مع الفرضية الافتراضية.

انطلاقًا من الافتراض السائد إحصائيًا بأن الفرضية المُفترضة خاطئة، وأن ما يُسمى بـ"الفرضية الصفرية" هو أن الظواهر المرصودة تحدث صدفةً (وبالتالي، لا يكون للعامل المُفترض أي تأثير)، فإن  الاختبار سيُحدد ما إذا كانت هذه الفرضية صحيحة أم خاطئة. ولهذا السبب، تُسمى الفرضية قيد الاختبار غالبًا بالفرضية الصفرية (على الأرجح، صاغ هذا  المصطلح فيشر (1935، ص 19))، لأنها هي التي سيُثبت الاختبار صحتها أو عدم صحتها. وعندما تُثبت صحة الفرضية الصفرية، يُمكن الاستنتاج أن البيانات تدعم "الفرضية البديلة" (وهي الفرضية المُفترضة الأصلية).

أدى تطبيق الإحصائيين المستمر لاتفاقية نيمان وبيرسون في تمثيل "الفرضية المراد اختبارها" (أو "الفرضية المراد دحضها") بالصيغة H₀ إلى _فهم الكثيرين لمصطلح "الفرضية الصفرية" على أنه "فرضية العدم"  - أي أن النتائج المذكورة قد نشأت بالصدفة. وهذا ليس بالضرورة صحيحًا  ، فالشرط الأساسي، كما ذكر فيشر (1966)، هو أن "تكون الفرضية الصفرية دقيقة، أي خالية من الغموض والالتباس، لأنها يجب أن تُشكّل أساس "مشكلة التوزيع"، التي يُعد اختبار الدلالة الإحصائية حلها". ^{[ 9 ]} ونتيجةً لذلك، في العلوم التجريبية، تُعرّف الفرضية الصفرية عمومًا بأنها تعني أن معالجة معينة ليس لها أي تأثير؛ أما في العلوم الرصدية، فهي تعني أنه لا يوجد فرق بين قيمة متغير مُقاس معين وقيمة تنبؤ تجريبي.

إذا كان احتمال الحصول على نتيجة متطرفة مثل تلك التي تم الحصول عليها، بافتراض أن الفرضية الصفرية صحيحة، أقل من احتمال القطع المحدد مسبقًا (على سبيل المثال، 5٪)، فإن النتيجة يقال إنها ذات دلالة إحصائية ويتم رفض الفرضية الصفرية.

أكد الإحصائي البريطاني السير رونالد أيلمر فيشر (1890-1962) على أن الفرضية الصفرية

لا يتم إثبات الفرضية الصفرية أو تحديدها بشكل قاطع، بل قد يتم دحضها أثناء التجربة. ويمكن القول إن كل تجربة لا تُجرى إلا لإعطاء الحقائق فرصة لدحض الفرضية الصفرية.

لمعالجة المشكلات المتعلقة باختبار الفرضية الصفرية، اقترح أندرو جيلمان وجون كارلين وآخرون إضافة أخطاء من النوع S والنوع M إلى الاعتبارات المتعلقة بالنتائج المهمة. ^{[ 10 ]}

أخطاء النوع S هي أخطاء في الإشارة. يُشير معدل خطأ النوع S إلى احتمال أن يتم تقدير التأثير في الاتجاه الخاطئ للتأثير الحقيقي في حال الحصول على نتيجة ذات دلالة إحصائية. وقد يحدث هذا غالبًا مع إعدادات الاختبار ذات القدرة المنخفضة.

أخطاء النوع M هي أخطاء في الحجم. ويتم معالجتها من خلال "عامل المبالغة"، وهو تقييم للنسبة المتوقعة بين القيم المطلقة للتقدير والقيمة الحقيقية، بشرط الحصول على نتيجة دالة إحصائيًا. وهذا مهم لأن استخدام اختبار الدلالة الإحصائية للفحص يؤدي إلى تحيز في الاختيار، مما قد يؤدي إلى مبالغة كبيرة في تقدير أحجام التأثير.

في ممارسة الطب، تكون الاختلافات بين تطبيقات الفحص والاختبار كبيرة.

إن المطابقة البيومترية، مثل التعرف على بصمات الأصابع أو التعرف على الوجه أو التعرف على قزحية العين ، عرضة لأخطاء النوع الأول والنوع الثاني.

• الفرضية: "لا يحدد المدخل أي شخص في قائمة الأشخاص التي تم البحث عنها".
• الفرضية الصفرية: "يحدد المدخل شخصًا ما في قائمة الأشخاص الذين تم البحث عنهم".
• الخطأ من النوع الأول (معدل الرفض الخاطئ): الحقيقة هي أن الشخص موجود في القائمة التي تم البحث عنها، لكن النظام يستنتج أن هذا الشخص ليس كذلك وفقًا للبيانات.
• الخطأ من النوع الثاني (معدل التطابق الخاطئ): الحقيقة هي أن الشخص ليس موجودًا في قائمة البحث، لكن النظام يستنتج أن الشخص هو الشخص الذي نبحث عنه وفقًا للبيانات.

يُطلق على احتمال حدوث أخطاء من النوع الأول اسم "معدل الرفض الخاطئ" (FRR) أو معدل عدم التطابق الخاطئ (FNMR)، بينما يُطلق على احتمال حدوث أخطاء من النوع الثاني اسم "معدل القبول الخاطئ" (FAR) أو معدل التطابق الخاطئ (FMR).

إذا صُمم النظام بحيث نادرًا ما يطابق المشتبه بهم، فإن احتمال حدوث أخطاء من النوع الثاني يُسمى " معدل الإنذار الكاذب ". من ناحية أخرى، إذا استُخدم النظام للتحقق (وكان القبول هو القاعدة)، فإن معدل الإنذار الكاذب يُعد مقياسًا لأمان النظام، بينما يقيس معدل الرفض الكاذب مستوى إزعاج المستخدم.

في الإجراءات القانونية الجنائية، يُولى اهتمام بالغ لضمان أن يكون أي خطأ يقع خطأً من النوع الثاني (إطلاق سراح متهم جنائي مذنب لولا ذلك) وليس خطأً من النوع الأول (معاقبة شخص بريء على جريمة لم يرتكبها). هذا التركيز هو السبب وراء أعباء الإثبات العالية (الإدانة بما لا يدع مجالاً للشك)، والتدقيق الدقيق في توصيفات النيابة العامة للأدلة أو الشهادات التي تدين المتهم، والتشكيك في الأدلة التي قد تكون أكثر ضرراً من كونها إثباتاً، أو استبعادها (اختبار الموازنة المنصوص عليه في القاعدة 403).

تتناول دراساتٌ أكاديميةٌ واسعةٌ، تعود إلى قرونٍ مضت، العواقب الوخيمة لأخطاء العدالة في الإجراءات الجنائية، ليس فقط على المتهم، بل على نظرة المجتمع إلى نزاهة النظام القضائي برمته، وعلى ثقة أصحاب المصلحة في المجتمع بأن مزاعم النشاط الإجرامي ستُسمع بجديةٍ ونزاهة. وقد ابتكر الفقيه الإنجليزي ويليام بلاكستون نسبة بلاكستون 10:1 لوصف مفهوم أن النظام العادل قد يسمح لعشرة متهمين مذنبين بالإفلات من العقاب بدلاً من سجن أكثر من بريء.

في السنوات الأخيرة، تبنّت الدراسات القانونية والفقه السائد تصنيف الأخطاء من النوع الأول والنوع الثاني، وذلك لتوفير مصطلحات أكثر دقة لمناقشة الأخطاء القضائية والإدانات الخاطئة. وقد استخدمت المحكمة العليا الأمريكية تصنيف النوع الأول مقابل النوع الثاني في مناقشتها للأخطاء في قضية باليو ضد جورجيا ^{[ 12 ]،} ويستخدم القضاة وأساتذة القانون بشكل متزايد هذا التصنيف الثنائي بدلاً من المصطلحات الأكثر شيوعًا مثل "أُدين خطأً" أو "بُرئ خطأً"، والتي كانت شائعة الاستخدام في الدراسات السابقة.

غالباً ما تركز الدراسات الحديثة والاهتمام القضائي على حجم هيئات المحلفين وإجماعها كضمانات ضد الخطأ من النوع الأول (إدانة المتهم البريء بشكل خاطئ).

انتقدت المحكمة العليا الأمريكية هيئات المحلفين الصغيرة التي تضم أقل من اثني عشر محلفًا، نظرًا لزيادة احتمالية ارتكابها أخطاء من النوع الأول؛ ^{[ 13 ]} وفي الوقت نفسه، انتقد بعض القضاة أيضًا تشكيل هيئات محلفين تضم أكثر من اثني عشر محلفًا، معتبرين ذلك إشكاليًا (كتب القاضي أندرسون من محكمة الاستئناف في ولاية ويسكونسن رأيًا مخالفًا بارزًا حول هذا الموضوع عام 1993: "في غياب نص تشريعي للسياسة العامة يسمح للمتهم بالموافقة على محاكمته أمام هيئة محلفين تضم أكثر من اثني عشر محلفًا، يُعد السماح لأكثر من اثني عشر محلفًا بالتداول خطأً واضحًا." ^{[ 14 ]} ). وفيما يتعلق بالإجماع، قضت المحكمة العليا الأمريكية في 20 أبريل/نيسان 2020 بأن التعديل السادس للدستور الأمريكي يشترط إجماع هيئة المحلفين لإدانة المتهم بجريمة خطيرة، مشيرةً إلى المخاوف المتعلقة بالخطأ من النوع الأول كأحد الأسباب الرئيسية لاشتراط الإجماع في القضايا الجنائية الخطيرة. ^{[ 15 ]}

تُكتشف الإنذارات الكاذبة بشكل روتيني يوميًا في عمليات التفتيش الأمني ​​بالمطارات ، والتي تعتمد في جوهرها على أنظمة الفحص البصري . تهدف أجهزة الإنذار الأمنية المثبتة إلى منع إدخال الأسلحة إلى الطائرات؛ ومع ذلك، غالبًا ما تُضبط على حساسية عالية جدًا لدرجة أنها تُطلق الإنذار عدة مرات في اليوم لأشياء صغيرة، مثل المفاتيح، وأبازيم الأحزمة، والعملات المعدنية، والهواتف المحمولة، ودبابيس الأحذية.

• الفرضية: "الشيء سلاح".
• الفرضية الصفرية: "هذا الشيء ليس سلاحًا".
• خطأ من النوع الأول (إيجابي كاذب): الحقيقة هي أن العنصر ليس سلاحًا ولكن النظام لا يزال يطلق إنذارًا.
• خطأ من النوع الثاني (سلبي كاذب): الحقيقة هي أن العنصر سلاح، لكن النظام يلتزم الصمت في هذا الوقت.

وبالتالي فإن نسبة النتائج الإيجابية الخاطئة (تحديد مسافر بريء على أنه إرهابي) إلى النتائج الإيجابية الحقيقية (الكشف عن إرهابي محتمل) عالية جدًا؛ ولأن كل إنذار تقريبًا هو نتيجة إيجابية خاطئة، فإن القيمة التنبؤية الإيجابية لاختبارات الفحص هذه منخفضة للغاية.

تُحدد التكلفة النسبية للنتائج الخاطئة مدى احتمالية سماح مُصممي الاختبارات بحدوث هذه الأحداث. فبما أن تكلفة النتيجة السلبية الخاطئة في هذا السيناريو باهظة للغاية (إذ قد يؤدي عدم اكتشاف قنبلة تُحمل على متن طائرة إلى مئات الضحايا)، بينما تكلفة النتيجة الإيجابية الخاطئة منخفضة نسبيًا (فحص إضافي بسيط نسبيًا)، فإن الاختبار الأنسب هو الذي يتميز بانخفاض الخصوصية الإحصائية وارتفاع الحساسية الإحصائية (أي الذي يسمح بنسبة عالية من النتائج الإيجابية الخاطئة مقابل الحد الأدنى من النتائج السلبية الخاطئة).

إن مفاهيم النتائج الإيجابية الخاطئة والنتائج السلبية الخاطئة شائعة على نطاق واسع في مجال أجهزة الكمبيوتر وتطبيقاتها، بما في ذلك أمن الكمبيوتر ، وتصفية البريد العشوائي ، والبرامج الضارة ، والتعرف الضوئي على الأحرف ، وغيرها الكثير.

على سبيل المثال، في حالة تصفية البريد العشوائي:

• الفرضية: "الرسالة عبارة عن بريد مزعج".
• الفرضية الصفرية: "الرسالة ليست بريدًا عشوائيًا".
• الخطأ من النوع الأول (النتيجة الإيجابية الخاطئة): تقوم تقنيات تصفية البريد العشوائي أو حظر البريد العشوائي بتصنيف رسالة بريد إلكتروني مشروعة بشكل خاطئ على أنها بريد عشوائي، ونتيجة لذلك، تتداخل مع عملية تسليمها.
• خطأ من النوع الثاني (سلبي كاذب): لا يتم اكتشاف البريد الإلكتروني العشوائي على أنه بريد عشوائي، ولكنه يصنف على أنه ليس بريدًا عشوائيًا.

مع أن معظم أساليب مكافحة البريد العشوائي قادرة على حجب أو تصفية نسبة كبيرة من الرسائل الإلكترونية غير المرغوب فيها، إلا أن تحقيق ذلك دون إحداث نتائج إيجابية خاطئة كبيرة يُعدّ مهمة بالغة الصعوبة. ويُشير انخفاض عدد النتائج السلبية الخاطئة إلى كفاءة تصفية البريد العشوائي.