طريقة فان دير باو

To make a measurement, a current is caused to flow along one edge of the sample (for instance, I₁₂) and the voltage across the opposite edge (in this case, V₃₄) is measured. From these two values, a resistance (for this example, ${\displaystyle R_{12,34}}$) can be found using Ohm's law:

${\displaystyle R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}}$

In his paper, van der Pauw showed that the sheet resistance of samples with arbitrary shapes can be determined from two of these resistances - one measured along a vertical edge, such as ${\displaystyle R_{12,34}}$, and a corresponding one measured along a horizontal edge, such as ${\displaystyle R_{23,41}}$ترتبط مقاومة الطبقة الفعلية بهذه المقاومات من خلال صيغة فان دير باو.

${\displaystyle e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}}+e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1}$

تنص نظرية المعاملة بالمثل [ ^{7 ] على أن}$${\displaystyle R_{AB,CD}=R_{CD,AB}}$$

لذلك، من الممكن الحصول على قيمة أكثر دقة للمقاومات${\displaystyle R_{12,34}}$و${\displaystyle R_{23,41}}$وذلك بإجراء قياسين إضافيين لقيمها المتبادلة${\displaystyle R_{34,12}}$و${\displaystyle R_{41,23}}$وحساب متوسط ​​النتائج.

نحن نحدد$${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}}{2}}}$$و$${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}}{2}}}$$

ثم تصبح صيغة فان دير باو$${\displaystyle e^{-\pi R_{\text{vertical}}/R_{S}}+e^{-\pi R_{\text{horizontal}}/R_{S}}=1}$$

يمكن تحسين دقة قيم المقاومة بشكل أكبر بتكرار قياسات المقاومة بعد عكس قطبية كل من مصدر التيار ومقياس الجهد. ولأن هذا القياس لا يزال يشمل نفس الجزء من العينة، ولكن في الاتجاه المعاكس، فإنه يمكن حساب قيم المقاومة _{الرأسية} (R _head ) والمقاومة الأفقية (R _{_horizontal}) كمتوسطات للقياسات بالقطبية القياسية والمعكوسة. وتكمن فائدة هذه الطريقة في إلغاء أي جهد إزاحة، مثل الجهد الكهروحراري الناتج عن تأثير سيبك .

يؤدي الجمع بين هذه الطرق والقياسات المتبادلة المذكورة أعلاه إلى صيغ المقاومات التالية

${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}+R_{21,43}+R_{43,21}}{4}}}$

و

${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}+R_{32,14}+R_{14,32}}{4}}}$

تأخذ صيغة فان دير باو نفس الشكل كما في القسم السابق.

تتحقق كلتا الطريقتين المذكورتين أعلاه من قابلية تكرار القياسات. إذا لم تتطابق أي من قياسات القطبية المعكوسة بدقة كافية (عادةً في حدود 3%) مع قياس القطبية القياسي المقابل، فمن المحتمل وجود مصدر خطأ ما في الإعداد، والذي يجب التحقق منه قبل المتابعة. وينطبق المبدأ نفسه على القياسات المتبادلة - إذ يجب أن تتطابق بدرجة كافية قبل استخدامها في أي حسابات.

بشكل عام، لا يمكن إعادة ترتيب صيغة فان دير باو لإعطاء مقاومة الصفيحة R_{_S} بدلالة دوال معروفة. الاستثناء الأبرز لهذه القاعدة هو عندما تكون R <sub>_{الرأسية} </sub > = R _{_{الأفقية}} = R_{الرأسية} ؛ في هذه الحالة، تُعطى مقاومة الصفيحة بالصيغة التالية:

${\displaystyle R_{S}={\frac {\pi R}{\ln 2}}}$

الناتج${\displaystyle \pi /\ln 2}$يُعرف هذا الثابت بثابت فان دير باو، وقيمته التقريبية 4.53236. في معظم الحالات الأخرى، تُستخدم طريقة تكرارية لحل صيغة فان دير باو عدديًا لإيجاد R _S. عادةً ما تُعتبر الصيغة غير مستوفية للشروط المسبقة لنظرية باناش للنقطة الثابتة ، لذا فإن الطرق القائمة عليها لا تُجدي نفعًا. بدلًا من ذلك، تتقارب الفترات المتداخلة ببطء ولكن بثبات. مع ذلك، فقد ثبت مؤخرًا أن إعادة صياغة مناسبة لمسألة فان دير باو (على سبيل المثال، بإدخال صيغة فان دير باو ثانية) تجعلها قابلة للحل تمامًا باستخدام طريقة باناش للنقطة الثابتة. ^{[ 8 ]}

بدلاً من ذلك، تتقارب طريقة نيوتن-رافسون بسرعة نسبية. ولتقليل تعقيد الترميز، تم إدخال المتغيرات التالية:

${\displaystyle s=e^{-\pi /{R_{s}}}}$

${\displaystyle R_{v}=R_{vertical}}$

${\displaystyle R_{h}=R_{horizontal}}$

ثم التقريب التالي${\displaystyle R_{s}^{+}}$يتم حسابها بواسطة

${\displaystyle R_{s}^{+}=R_{s}+R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_{h}s^{R_{h}})}}}$

عندما يوضع جسيم مشحون - مثل الإلكترون - في مجال مغناطيسي ، فإنه يتعرض لقوة لورنتز تتناسب مع شدة المجال وسرعة حركته فيه. وتكون هذه القوة في أقصى قوتها عندما يكون اتجاه الحركة عموديًا على اتجاه المجال المغناطيسي؛ في هذه الحالة تكون القوة

${\displaystyle F_{L}=qvB\,\!}$

أين${\displaystyle q}$هل الشحنة على الجسيم بالكولوم ؟${\displaystyle v}$السرعة التي يتحرك بها (سنتيمترات في الثانية )، و${\displaystyle B}$قوة المجال المغناطيسي ( ويبر /سم² ⁾ . تجدر الإشارة إلى أن السنتيمترات تُستخدم غالبًا لقياس الطول في صناعة أشباه الموصلات، ولهذا السبب تُستخدم هنا بدلاً من وحدات النظام الدولي للوحدات (SI) وهي المتر.

عند تطبيق تيار كهربائي على قطعة من مادة شبه موصلة، ينتج عن ذلك تدفق مستمر للإلكترونات عبر المادة (كما هو موضح في الجزأين (أ) و (ب) من الشكل المرفق). سرعة حركة الإلكترونات هي (انظر التيار الكهربائي ):

${\displaystyle v={\frac {I}{nAq}}}$

أين${\displaystyle n}$هي كثافة الإلكترون ،${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي للمادة و${\displaystyle q}$الشحنة الأولية (1.602×10 ⁻¹⁹ كولوم ).

إذا تم تطبيق مجال مغناطيسي خارجي عمودي على اتجاه تدفق التيار، فإن قوة لورنتز الناتجة ستؤدي إلى تراكم الإلكترونات عند أحد حواف العينة (انظر الجزء (ج) من الشكل). بدمج المعادلتين السابقتين، وملاحظة أن${\displaystyle q}$تمثل الشحنة الموجودة على الإلكترون، مما ينتج عنه صيغة لقوة لورنتز التي تتعرض لها الإلكترونات:

${\displaystyle F_{L}={\frac {IB}{nA}}}$

سيؤدي هذا التراكم إلى توليد مجال كهربائي عبر المادة نتيجةً للتوزيع غير المتساوي للشحنة، كما هو موضح في الجزء (د) من الشكل. وهذا بدوره يؤدي إلى فرق جهد عبر المادة، يُعرف بجهد هول.${\displaystyle V_{H}}$ومع ذلك، يستمر التيار في التدفق على طول المادة فقط، مما يشير إلى أن القوة المؤثرة على الإلكترونات نتيجة المجال الكهربائي تعادل قوة لورنتز. ${\displaystyle \epsilon }$يكون${\displaystyle q\epsilon }$وبالتالي، يمكننا القول إن قوة المجال الكهربائي هي

${\displaystyle \epsilon ={\frac {IB}{qnA}}}$

وأخيرًا، فإن مقدار جهد هول هو ببساطة شدة المجال الكهربائي مضروبة في عرض المادة؛ أي

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{H}&=w\epsilon \\&={\frac {wIB}{qnA}}\\&={\frac {IB}{qnt}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle t}$يمثل سمك المادة. بما أن كثافة الصفيحة${\displaystyle n_{s}}$إذا تم تعريفها على أنها كثافة الإلكترونات مضروبة في سمك المادة، فيمكننا تعريف جهد هول بدلالة كثافة الطبقة:

${\displaystyle V_{H}={\frac {IB}{qn_{s}}}}$

يلزم إجراء مجموعتين من القياسات: الأولى باستخدام مجال مغناطيسي في الاتجاه الموجب للمحور z كما هو موضح أعلاه، والثانية باستخدام المجال نفسه في الاتجاه السالب للمحور z . من الآن فصاعدًا، ستُرمز الفولتية المسجلة باستخدام مجال موجب بالرمز السفلي P (على سبيل المثال، V13 _{، P} = V3 _{، P} - V1 _{، P} )، بينما ستُرمز الفولتية المسجلة باستخدام مجال سالب بالرمز السفلي N (مثل V13 _{، N} = V3 _{، N} - V1 _{، N} ). في جميع القياسات، يجب الحفاظ على قيمة التيار المُحقون ثابتة، وكذلك قيمة المجال المغناطيسي في كلا الاتجاهين.

أولاً، في وجود مجال مغناطيسي موجب، يُطبَّق التيار I ₂₄ على العينة، ويُسجَّل الجهد V _{13, P} ؛ لاحظ أن الجهد قد يكون موجباً أو سالباً. ثم تُكرَّر هذه العملية لـ I ₁₃ و V _42, P.

كما في السابق، يمكننا الاستفادة من نظرية التبادل للتحقق من دقة هذه القياسات. إذا عكسنا اتجاه التيارات (أي طبقنا التيار I ₄₂ وقسنا V _{31, P} ، وكررنا ذلك مع I ₃₁ و V _{24, P} )، فإن V _{13, P} يجب أن تكون مساوية لـ V _{31, P} ضمن هامش خطأ صغير مناسب. وبالمثل، يجب أن تتطابق V _{42, P} مع V _{24, P.}

بعد إتمام القياسات، يتم تطبيق مجال مغناطيسي سالب بدلاً من المجال الموجب، ويتم تكرار الإجراء المذكور أعلاه للحصول على قياسات الجهد V _{13، N} ، V _{42، N} ، V _{31، N} و V _24، N.

في البداية، يتم حساب الفرق في الجهد الكهربائي للمجالات المغناطيسية الموجبة والسالبة:

V ₁₃ = V _{13، P} − V _{13، N} V ₂₄ = V _{24، P} − V _{24، N} V ₃₁ = V _{31، P} − V _{31، N} V ₄₂ = V _{42، P} − V _{42، N}

ثم يكون جهد هول الكلي

${\displaystyle V_{H}={\frac {V_{13}+V_{24}+V_{31}+V_{42}}{8}}}$.

تشير قطبية جهد هول هذا إلى نوع المادة التي صنعت منها العينة؛ إذا كانت موجبة، فإن المادة من النوع P، وإذا كانت سالبة، فإن المادة من النوع N.

يمكن بعد ذلك إعادة ترتيب الصيغة الواردة في الخلفية لإظهار أن كثافة الصفيحة

${\displaystyle n_{s}={\frac {IB}{q|V_{H}|}}}$

لاحظ أن شدة المجال المغناطيسي B يجب أن تكون بوحدة ويبر/سم² ^إذا كانت n _s بوحدة سم⁻² ^. على سبيل المثال، إذا كانت الشدة معطاة بوحدة تسلا الشائعة الاستخدام ، فيمكن تحويلها بضربها في ^10⁻⁴ .

يمكن إثبات أن مقاومة مادة أشباه الموصلات هي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}}}$

حيث n و p هما تركيز الإلكترونات والفجوات في المادة على التوالي، و μ _n و μ _p هما قابلية حركة الإلكترونات والفجوات على التوالي.

بشكل عام، تكون المادة مطعمة بدرجة كافية بحيث يكون هناك فرق كبير بين التركيزين، مما يسمح بتبسيط هذه المعادلة إلى

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{qn_{m}\mu _{m}}}}$

حيث n _m و μ _m هما مستوى التشويب وحركية حاملات الشحنة الرئيسية على التوالي.

إذا لاحظنا أن المقاومة السطحية R_{_S} هي المقاومة النوعية مقسومة على سمك العينة، وأن الكثافة السطحية n_{_S} هي مستوى التطعيم مضروبًا في السمك، فيمكننا قسمة المعادلة على السمك للحصول على

${\displaystyle R_{s}={\frac {1}{qn_{s}\mu _{m}}}}$

ويمكن بعد ذلك إعادة ترتيب ذلك لإعطاء حركة حاملات الشحنة الرئيسية بدلالة مقاومة الطبقة وكثافة الطبقة المحسوبة مسبقًا:

${\displaystyle \mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}}$