نظام القواسم الخطي

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 95 صور
الموسوعة الحرة
يقوم نظام خطي من القواسم بتحويل المفهوم الهندسي الكلاسيكي لعائلة من المنحنيات إلى شكل جبري ، كما هو الحال في دوائر أبولو .

في الهندسة الجبرية ، يعتبر النظام الخطي للقواسم تعميمًا جبريًا للمفهوم الهندسي لعائلة من المنحنيات ؛ ويتوافق بُعد النظام الخطي مع عدد معلمات العائلة.

ظهرت هذه المفاهيم أولاً في صورة نظام خطي من المنحنيات الجبرية في المستوى الإسقاطي . ثم اتخذت شكلاً أكثر عمومية، من خلال التعميم التدريجي، بحيث يمكن الحديث عن التكافؤ الخطي للقواسم D على مخطط عام أو حتى فضاء حلقي .(X،ياX){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}[ 1 ]​

تُسمى الأنظمة الخطية ذات الأبعاد 1 أو 2 أو 3 على التوالي بالقلم الرصاص أو الشبكة أو النسيج .

تُسمى الخريطة التي يتم تحديدها بواسطة نظام خطي أحيانًا بخريطة كودايرا .

التعريفات

بالنظر إلى مجموعة متنوعة عامةX{\displaystyle X}قاسماند،هـ∈قسم(X){\displaystyle D,E\in {\text{Div}}(X)}تكون متكافئة خطيًا إذا

هـ=د+(و) {\displaystyle E=D+(f)\ }

لبعض الدوال الكسرية غير الصفريةو{\displaystyle f}علىX{\displaystyle X}أو بعبارة أخرى عنصر غير صفريو{\displaystyle f}حقل الوظيفةك(X){\displaystyle k(X)}. هنا(و){\displaystyle (f)}يرمز إلى قاسم أصفار وأقطاب الدالةو{\displaystyle f}.

لاحظ أنه إذاX{\displaystyle X}عندما تحتوي على نقاط شاذة ، يكون مفهوم "القاسم" غامضًا بطبيعته ( قواسم كارتييه ، قواسم ويل : انظر القاسم (الهندسة الجبرية) ). عادةً ما يُصاغ التعريف في هذه الحالة بعناية أكبر (باستخدام الحزم القابلة للعكس أو حزم الخطوط الهولومورفية )؛ انظر أدناه.

نظام خطي كامل علىX{\displaystyle X}يُعرَّف بأنه مجموعة جميع القواسم الفعالة المكافئة خطيًا لقاسم معين.د∈قسم(X){\displaystyle D\in {\text{Div}}(X)}ويُشار إليه بـ|د|{\displaystyle |D|}. يتركل{\displaystyle {\mathcal {L}}}كن حزمة الخطوط المرتبطة بـد{\displaystyle D}في حالة أنX{\displaystyle X}هي مجموعة إسقاطية غير مفردة،|د|{\displaystyle |D|}هو في تقابل طبيعي مع(Γ(X،ل)∖{0})/ك*،{\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}[ 2 ] عن طريق ربط العنصرهـ=د+(و){\displaystyle E=D+(f)}ل|د|{\displaystyle |D|}إلى مجموعة المضاعفات غير الصفرية لـو{\displaystyle f}(هذا مُعرَّف جيدًا لأن دالتين كسريتين غير صفريتين لهما نفس القاسم إذا وفقط إذا كانتا مضاعفات غير صفرية لبعضهما البعض). نظام خطي كامل|د|{\displaystyle |D|}وبالتالي فهو فضاء إسقاطي.

نظام خطيد{\displaystyle {\mathfrak {d}}}إذن، هو فضاء جزئي إسقاطي لنظام خطي كامل، لذا فهو يتوافق مع فضاء جزئي متجهي W منΓ(X،ل).{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).}بُعد النظام الخطيد{\displaystyle {\mathfrak {d}}}بُعدها هو الفضاء الإسقاطي. ومن ثمخافت⁡د=خافت⁡دبليو-1{\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}.

يمكن أيضًا إدخال الأنظمة الخطية باستخدام حزمة الخط أو لغة الحزمة القابلة للعكس . وبهذا المعنى، القواسمد{\displaystyle D}( قواسم كارتييه ، على وجه الدقة) تتوافق مع حزم الخطوط، والتكافؤ الخطي لقاسمين يعني أن حزم الخطوط المقابلة متماثلة.

أمثلة

التكافؤ الخطي

ضع في اعتبارك حزمة الخطوطيا(2){\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}علىP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}أقسامهاs∈Γ(P3،يا(2)){\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}عرّف الأسطح التربيعية . بالنسبة للقاسم المرتبط بهادs=Z(s){\displaystyle D_{s}=Z(s)}وهو مكافئ خطيًا لأي قاسم آخر مُعرَّف بواسطة موضع تلاشي بعضت∈Γ(P3،يا(2)){\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}باستخدام الدالة الكسرية(ت/s){\displaystyle \left(t/s\right)}[ 2 ] (الفرضية 7.2). على سبيل المثال، المقسوم عليهد{\displaystyle D}مرتبط باختفاء موضعx2+y2+z2+w2{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}يكافئ خطيًا المقسوم عليههـ{\displaystyle E}مرتبط باختفاء موضعxy{\displaystyle xy}ثم هناك تكافؤ القواسم

د=هـ+(x2+y2+z2+w2xy){\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}

الأنظمة الخطية على المنحنيات

أحد أهم الأنظمة الخطية الكاملة على منحنى جبريج{\displaystyle C}من جنسز{\displaystyle g}يُعطى بواسطة النظام الخطي الكامل المرتبط بالقاسم الكنسيك{\displaystyle K}، المشار إليه|ك|=P(ح0(ج،ωج)){\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}ينبثق هذا التعريف من الاقتراح II.7.7 لهارتشورن [ 2 ]، حيث أن كل قاسم فعال في النظام الخطي يأتي من أصفار جزء ما منωج{\displaystyle \omega _{C}}.

المنحنيات الإهليلجية الزائدة

يُستخدم أحد تطبيقات الأنظمة الخطية في تصنيف المنحنيات الجبرية. المنحنى الإهليلجي الزائدي هو منحنىج{\displaystyle C}حاصل على درجة علمية2{\displaystyle 2}التشكلو:ج→P1{\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}[ 2 ] في هذه الحالةز=2{\displaystyle g=2}جميع المنحنيات هي منحنيات زائدية إهليلجية: ومن ثم تعطي نظرية ريمان-روخ درجةكج{\displaystyle K_{C}}يكون2ز-2=2{\displaystyle 2g-2=2}وح0(كج)=2{\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}وبالتالي هناك درجة2{\displaystyle 2}خريطة إلىP1=P(ح0(ج،ωج)){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}.

g d r

أزدر{\displaystyle g_{d}^{r}}هو نظام خطيد{\displaystyle {\mathfrak {d}}}على منحنىج{\displaystyle C}وهي درجةد{\displaystyle d}والأبعادر{\displaystyle r}على سبيل المثال، تتميز المنحنيات الإهليلجية الزائدة بـز21{\displaystyle g_{2}^{1}}والذي ينتج عن2:1{\displaystyle 2:1}-رسم خريطةج→P1{\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}في الواقع، تتميز المنحنيات الإهليلجية الفائقة بخصائص فريدة.ز21{\displaystyle g_{2}^{1}}[ 2 ] من الاقتراح 5.3. مجموعة أخرى قريبة من الأمثلة هي المنحنيات التي تحتوي علىز13{\displaystyle g_{1}^{3}}والتي تُسمى المنحنيات المثلثية . في الواقع، أي منحنى لهز1د{\displaystyle g_{1}^{d}}لد≥(1/2)ز+1{\displaystyle d\geq (1/2)g+1}[ 3 ]​

أنظمة خطية من الأسطح الفائقة في فضاء إسقاطي

ضع في اعتبارك حزمة الخطوطيا(د){\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}زيادةPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}إذا أخذنا أقسامًا عالميةV=Γ(يا(د)){\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))}ثم يمكننا أن نأخذ عملية إسقاطهاP(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}هذا متماثل معPشمال{\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}أين

شمال=(ن+دن)-1{\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1}

ثم، باستخدام أي تضمينPك→Pشمال{\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}}يمكننا بناء نظام خطي ذو بُعدك{\displaystyle k}.

نظام خطي من القطوع المخروطية

النظام الخطي المميز لعائلة من المنحنيات

النظام الخطي المميز لمجموعة من المنحنيات على سطح جبري Y لمنحنى C في المجموعة هو نظام خطي يتكون من المنحنيات في المجموعة القريبة بشكل لانهائي من C. [ 4 ]

بمصطلحات حديثة، هو نظام فرعي من النظام الخطي المرتبط بالحزمة العادية إلىج↪Y{\displaystyle C\hookrightarrow Y}لاحظ أن النظام المميز لا يحتاج بالضرورة إلى أن يكون كاملاً؛ في الواقع، إن مسألة الاكتمال هي شيء تمت دراسته على نطاق واسع من قبل المدرسة الإيطالية دون التوصل إلى نتيجة مرضية؛ في الوقت الحاضر، يمكن استخدام نظرية كودايرا-سبنسر للإجابة على مسألة الاكتمال.

أمثلة أخرى

تُعد نظرية كايلي -باخاراخ خاصية لحزمة من المكعبات، والتي تنص على أن الموضع الأساسي يحقق خاصية "8 يستلزم 9": أي مكعب يحتوي على 8 من النقاط يحتوي بالضرورة على النقطة التاسعة.

الأنظمة الخطية في الهندسة الثنائية النسبية

أصبحت الأنظمة الخطية عمومًا أداةً أساسيةً في الهندسة الثنائية النسبية كما مارستها المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية . وقد ازدادت المتطلبات التقنية تعقيدًا، إلا أن التطورات اللاحقة أوضحت عددًا من المسائل. ويمكن صياغة حساب الأبعاد ذات الصلة - أو ما يُعرف بمسألة ريمان-روخ - بشكل أفضل باستخدام الجبر الهومولوجي . ويتمثل أثر العمل على المتنوعات ذات النقاط الشاذة في إظهار الفرق بين قواسم ويل (في المجموعة الأبيلية الحرة المولدة من المتنوعات الفرعية ذات البعد المشترك الواحد)، وقواسم كارتييه الناتجة عن مقاطع الحزم القابلة للعكس .

كانت المدرسة الإيطالية تميل إلى اختزال الهندسة على سطح جبري إلى أنظمة خطية مقطوعة بأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ وقد ألّف زاريسكي كتابه الشهير "الأسطح الجبرية" في محاولة لجمع هذه الأساليب، بما في ذلك الأنظمة الخطية ذات النقاط الأساسية الثابتة . وقد نشأ جدل، يُعدّ من القضايا الأخيرة في الصراع بين وجهات النظر "القديمة" و"الجديدة" في الهندسة الجبرية، حول النظام الخطي المميز لهنري بوانكاريه ، والذي يُمثّل عائلة جبرية من المنحنيات على سطح جبري.

الموضع الأساسي

يشير الموضع الأساسي لنظام خطي من القواسم على صنف إلى الصنف الفرعي من النقاط "المشتركة" بين جميع القواسم في النظام الخطي. هندسيًا، يتوافق هذا مع التقاطع المشترك للأصناف. قد تمتلك الأنظمة الخطية موضعًا أساسيًا أو لا تمتلكه - على سبيل المثال، حزمة الخطوط الأفينيةx=أ{\displaystyle x=a}ليس لها تقاطع مشترك، ولكن بالنظر إلى اثنين من القطوع المخروطية (غير المنحلة) في المستوى الإسقاطي المركب، فإنها تتقاطع في أربع نقاط (مع مراعاة التعددية) وبالتالي فإن الحزمة التي تحددها تحتوي على هذه النقاط كموقع أساسي.

بتعبير أدق، لنفترض أن|د|{\displaystyle |D|}هو نظام خطي كامل من القواسم على نوع ماX{\displaystyle X}ضع في اعتبارك التقاطع

بلي⁡(|د|):=⋂دفعال∈|د|ملحق⁡دفعال {\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ }

أينملحق{\displaystyle \operatorname {Supp} }يشير إلى نطاق القاسم، ويتم أخذ التقاطع على جميع القواسم الفعالةدفعال{\displaystyle D_{\text{eff}}}في النظام الخطي. هذا هو الموضع الأساسي لـ|د|{\displaystyle |D|}(كمجموعة، على الأقل: قد تكون هناك اعتبارات نظرية مخططية أكثر دقة فيما يتعلق ببنية حزمةبلي{\displaystyle \operatorname {Bl} }ينبغي أن يكون كذلك).

أحد تطبيقات مفهوم الموضع الأساسي هو دراسة مدى نقاء فئة قاسم كارتييه (أي النظام الخطي الكامل). لنفترض|د|{\displaystyle |D|}هل هذا فصل دراسي متنوع؟X{\displaystyle X}، وج{\displaystyle C}منحنى غير قابل للاختزال علىX{\displaystyle X}. لوج{\displaystyle C}لا يوجد في الموضع الأساسي لـ|د|{\displaystyle |D|}إذن يوجد قاسم ماد~{\displaystyle {\tilde {D}}}في الفئة التي لا تحتويج{\displaystyle C}وبالتالي يتقاطع معه بشكل صحيح. تخبرنا الحقائق الأساسية من نظرية التقاطع أنه يجب أن يكون لدينا|د|⋅ج≥0{\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}الخلاصة هي أنه للتحقق من كون فئة القواسم من النوع "nef"، يكفي حساب عدد التقاطع مع المنحنيات الموجودة في المسار الأساسي للفئة. لذا، باختصار، كلما كان المسار الأساسي أصغر، زادت احتمالية أن تكون الفئة من النوع "nef".

في الصياغة الحديثة للهندسة الجبرية، نظام خطي كامل|د|{\displaystyle |D|}من (كارتييه) القواسم على مجموعة متنوعةX{\displaystyle X}يُنظر إليه على أنه حزمة خطوطيا(د){\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}علىX{\displaystyle X}من هذا المنظور، الموضع الأساسيبلي⁡(|د|){\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)}هي مجموعة الأصفار المشتركة لجميع أقساميا(د){\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}. والنتيجة البسيطة هي أن الحزمة يتم إنشاؤها عالميًا إذا وفقط إذا كان الموضع الأساسي فارغًا.

لا يزال مفهوم الموضع الأساسي منطقيًا بالنسبة للنظام الخطي غير الكامل أيضًا: فالموضع الأساسي له لا يزال هو تقاطع دعامات جميع القواسم الفعالة في النظام.

مثال

لنأخذ قلم ليفشيتز كمثالص:X→P1{\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}}مقدمة من قسمين عامينو،ز∈Γ(Pن،يا(د)){\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}، لذاX{\displaystyle {\mathfrak {X}}}مقدم من خلال الخطة

X=مشروع(ك[s،ت][x0،...،xن](sو+تز)){\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}

يرتبط بهذا نظام خطي من القواسم، حيث أن كل متعددة حدود،s0و+ت0ز{\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}مقابل مبلغ ثابت[s0:ت0]∈P1{\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}هو قاسم فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}إذن، فإن الموضع الأساسي لهذا النظام من القواسم هو المخطط الذي يُعطى بواسطة موضع التلاشي لـو،ز{\displaystyle f,g}، لذا

بلي(X)=مشروع(ك[s،ت][x0،...،xن](و،ز)){\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}

خريطة محددة بواسطة نظام خطي

يُحدد كل نظام خطي على صنف جبري تشاكلاً من مكمل الموضع الأساسي إلى فضاء إسقاطي ذي بُعد النظام، كما يلي. (بمعنى ما، العكس صحيح أيضاً؛ انظر القسم أدناه).

ليكن L حزمة خطية على تنوع جبري X وV⊂Γ(X،ل){\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}فضاء متجهي جزئي ذو أبعاد محدودة. ولتوضيح الأمر، سننظر أولاً في الحالة التي يكون فيها V خاليًا من نقاط الأساس؛ أي الخريطة الطبيعيةV⊗كياX→ل{\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L}هي دالة شاملة (هنا، k = الحقل الأساسي). أو بصورة مكافئة،طبيعي⁡((V⊗كياX)⊗ياXل-1)→⨁ن=0∞ياX{\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}}هي شاملة. ومن ثم، فإن الكتابةVX=V×X{\displaystyle V_{X}=V\times X}بالنسبة لحزمة المتجهات التافهة، وبإدخال الإسقاط الشامل إلى Proj النسبي ، يوجد غمر مغلق :

أنا:X↪P(VX*⊗ل)≃P(VX*)=P(V*)×X{\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X}

أين≃{\displaystyle \simeq }على اليمين، يظهر ثبات الحزمة الإسقاطية تحت تأثير الالتواء بواسطة حزمة خطية. وباتباع i بإسقاط، ينتج عن ذلك الخريطة التالية: [ 5 ]

و:X→P(V*).{\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).}

عندما لا يكون موضع القاعدة لـ V فارغًا، فإن المناقشة المذكورة أعلاه تستمر معياX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}في المجموع المباشر، يتم استبدالها بحزمة مثالية تحدد الموضع الأساسي، ويتم استبدال X بالتفجيرX~{\displaystyle {\widetilde {X}}}منها على طول الموضع الأساسي (النظري للمخطط) B. وبالتحديد، كما سبق، يوجد تطبيق شامل.طبيعي⁡((V⊗كياX)⊗ياXل-1)→⨁ن=0∞أنان{\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}أينأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}هي الحزمة المثالية لـ B وهذا ما يؤدي إلى

أنا:X~↪P(V*)×X.{\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.}

منذX-ب≃{\displaystyle X-B\simeq }مجموعة فرعية مفتوحة منX~{\displaystyle {\widetilde {X}}}، ينتج عن ذلك الخريطة:

و:X-ب→P(V*).{\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).}

وأخيرًا، عندما يتم اختيار أساس V ، يصبح النقاش أعلاه أكثر واقعية (وهذا هو الأسلوب المستخدم في كتاب هارتشورن، الهندسة الجبرية).

نظام خطي يتم تحديده بواسطة خريطة إلى فضاء إسقاطي

يحدد كل شكل من أشكال التشكل من تنوع جبري إلى فضاء إسقاطي نظامًا خطيًا خاليًا من نقاط الأساس على التنوع؛ ولهذا السبب، غالبًا ما يتم استخدام النظام الخطي الخالي من نقاط الأساس والخريطة إلى الفضاء الإسقاطي بشكل متبادل.

للغمر المغلقو:Y↪X{\displaystyle f:Y\hookrightarrow X} من بين الأصناف الجبرية، يوجد تراجع للنظام الخطيد{\displaystyle {\mathfrak {d}}}علىX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}، كما هو مُعرَّفو-1(د)={و-1(د)|د∈د}{\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}[ 2 ] (صفحة 158).

O(1) على مجموعة متنوعة إسقاطية

نوع إسقاطيX{\displaystyle X}مضمنة فيPر{\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}يحتوي على نظام خطي طبيعي يحدد خريطة إلى الفضاء الإسقاطي منياX(1)=ياX⊗ياPرياPر(1){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}هذا يرسل نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}إلى نقطتها المقابلة[x0:⋯:xر]∈Pر{\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ غروتينديك، الكسندر . ديودوني، جان. إيجا الرابع ، 21.3.
  2. 1 2 3 4 5 6 هارتشورن، ر. "الهندسة الجبرية"، القضية II.7.2، صفحة 151، القضية II.7.7، صفحة 157، صفحة 158، التمرين IV.1.7، صفحة 298، القضية IV.5.3، صفحة 342
  3. ↑ كلايمان، ستيفن ل.؛ لاكسوف، دان (1974). "برهان آخر على وجود قواسم خاصة" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 132 : 163-176 . doi : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962 . 
  4. ^ أرباريلو، إنريكو ؛ كورنالبا، ماوريتسيو؛ غريفيث، فيليب (2011). هندسة المنحنيات الجبرية . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. المجلد. II، بمساهمة من جوزيف دانيال هاريس. هايدلبرغ: سبرينغر. ص. 3. دوى : 10.1007/978-1-4757-5323-3 . رقم ISBN   978-1-4419-2825-2MR 2807457 .​ 
  5. ↑ فولتون، ويليام (1998). "القسم 4.4. الأنظمة الخطية". نظرية التقاطع . سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8_5 .