البرمجة البايزية

بافتراض تقسيم${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N}\right\}}$يحتوي على${\displaystyle K}$المجموعات الفرعية،${\displaystyle K}$يتم تعريف المتغيرات ${\displaystyle L_{1},\cdots ,L_{K}}$، كل منها يتوافق مع إحدى هذه المجموعات الفرعية. كل متغير${\displaystyle L_{k}}$يتم الحصول عليها من خلال اقتران المتغيرات${\displaystyle \left\{X_{k_{1}},X_{k_{2}},\cdots \right\}}$ ينتمي إلى${\displaystyle k^{th}}$مجموعة جزئية. يؤدي التطبيق المتكرر لنظرية بايز إلى:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P\left(X_{1}\wedge X_{2}\wedge \cdots \wedge X_{N}\mid \delta \wedge \pi \right)\\={}&P\left(L_{1}\wedge \cdots \wedge L_{K}\mid \delta \wedge \pi \right)\\={}&P\left(L_{1}\mid \delta \wedge \pi \right)\times P\left(L_{2}\mid L_{1}\wedge \delta \wedge \pi \right)\times \cdots \times P\left(L_{K}\mid L_{K-1}\wedge \cdots \wedge L_{1}\wedge \delta \wedge \pi \right)\end{aligned}}}$

تسمح فرضيات الاستقلال الشرطي بمزيد من التبسيطات. فرضية الاستقلال الشرطي للمتغير${\displaystyle L_{k}}$يتم تحديده عن طريق اختيار متغير ما${\displaystyle X_{n}}$ من بين المتغيرات التي تظهر في الاقتران${\displaystyle L_{k-1}\wedge \cdots \wedge L_{2}\wedge L_{1}}$، وضع العلامات${\displaystyle R_{k}}$باعتبارها اقترانًا لهذه المتغيرات المختارة والإعداد:

${\displaystyle P\left(L_{k}\mid L_{k-1}\wedge \cdots \wedge L_{1}\wedge \delta \wedge \pi \right)=P\left(L_{k}\mid R_{k}\wedge \delta \wedge \pi \right)}$

ثم نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P\left(X_{1}\wedge X_{2}\wedge \cdots \wedge X_{N}\mid \delta \wedge \pi \right)\\={}&P\left(L_{1}\mid \delta \wedge \pi \right)\times P\left(L_{2}\mid R_{2}\wedge \delta \wedge \pi \right)\times \cdots \times P\left(L_{K}\mid R_{K}\wedge \delta \wedge \pi \right)\end{aligned}}}$

يُطلق على هذا التبسيط للتوزيع المشترك باعتباره ناتجًا لتوزيعات أبسط اسم التفكيك، ويتم اشتقاقه باستخدام قاعدة السلسلة .

يضمن هذا أن يظهر كل متغير مرة واحدة على الأكثر على يسار شريط التكييف، وهو الشرط الضروري والكافي لكتابة تحليلات صحيحة رياضياً. ^{[ 6 ]}

كل توزيع${\displaystyle P\left(L_{k}\mid R_{k}\wedge \delta \wedge \pi \right)}$ثم يرتبط ظهورها في المنتج إما بصيغة بارامترية (أي دالة).${\displaystyle f_{\mu }\left(L_{k}\right)}$) أو سؤال لبرنامج بايزي آخر${\displaystyle P\left(L_{k}\mid R_{k}\wedge \delta \wedge \pi \right)=P\left(L\mid R\wedge {\widehat {\delta }}\wedge {\widehat {\pi }}\right)}$.

عندما يكون نموذجًا${\displaystyle f_{\mu }\left(L_{k}\right)}$، على العموم،${\displaystyle \mu }$هو متجه من المعاملات التي قد تعتمد على${\displaystyle R_{k}}$أو${\displaystyle \delta }$أو كلاهما. يحدث التعلم عندما يتم حساب بعض هذه المعلمات باستخدام مجموعة البيانات.${\displaystyle \delta }$.

تتمثل إحدى السمات المهمة للبرمجة البايزية في هذه القدرة على استخدام الأسئلة الموجهة إلى برامج بايزية أخرى كمكونات لتعريف برنامج بايزي جديد.${\displaystyle P\left(L_{k}\mid R_{k}\wedge \delta \wedge \pi \right)}$يتم الحصول عليها من خلال بعض الاستدلالات التي يقوم بها برنامج بايزي آخر محدد بالمواصفات${\displaystyle {\widehat {\pi }}}$والبيانات${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$يشبه هذا استدعاء روتين فرعي في البرمجة الكلاسيكية ويوفر طريقة سهلة لبناء نماذج هرمية .

المتغيرات اللازمة لكتابة هذا البرنامج هي كما يلي:

1. ${\displaystyle Spam}$متغير ثنائي، خطأ إذا لم يكن البريد الإلكتروني بريدًا عشوائيًا، وصواب خلاف ذلك.
2. ${\displaystyle W_{0},W_{1},\ldots ,W_{N-1}}$:${\displaystyle N}$المتغيرات الثنائية .${\displaystyle W_{n}}$صحيح إذا كان${\displaystyle n^{th}}$الكلمة الموجودة في القاموس موجودة في النص.

هؤلاء${\displaystyle N+1}$تُلخص المتغيرات الثنائية جميع المعلومات المتعلقة بالبريد الإلكتروني.

انطلاقاً من التوزيع المشترك وتطبيقاً لنظرية بايز بشكل متكرر ، نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P({\text{Spam}}\wedge W_{0}\wedge \cdots \wedge W_{N-1})\\={}&P({\text{Spam}})\times P(W_{0}\mid {\text{Spam}})\times P(W_{1}\mid {\text{Spam}}\wedge W_{0})\\&\times \cdots \\&\times P\left(W_{N-1}\mid {\text{Spam}}\wedge W_{0}\wedge \cdots \wedge W_{N-2}\right)\end{aligned}}}$

هذا تعبير رياضي دقيق.

يمكن تبسيط الأمر بشكل كبير بافتراض أن احتمال ظهور كلمة ما، مع معرفة طبيعة النص (بريد مزعج أم لا)، مستقل عن ظهور الكلمات الأخرى. هذا هو افتراض بايز البسيط ، وهو ما يجعل مرشح البريد المزعج هذا نموذجًا لبايز البسيط .

على سبيل المثال، يمكن للمبرمج أن يفترض ما يلي:

${\displaystyle P(W_{1}\mid {\text{Spam}}\land W_{0})=P(W_{1}\mid {\text{Spam}})}$

للحصول في النهاية على:

${\displaystyle P({\text{Spam}}\land W_{0}\land \ldots \land W_{N-1})=P({\text{Spam}})\prod _{n=0}^{N-1}[P(W_{n}\mid {\text{Spam}})]}$

يُعرف هذا النوع من الافتراضات بافتراض بايز الساذج . وهو "ساذج" بمعنى أن استقلال الكلمات ليس صحيحًا تمامًا. على سبيل المثال، يتجاهل هذا الافتراض تمامًا أن ظهور أزواج من الكلمات قد يكون أكثر أهمية من ظهورها منفردة. ومع ذلك، يمكن للمبرمج افتراض هذه الفرضية وتطوير النموذج والاستدلالات المرتبطة به لاختبار مدى موثوقيته وكفاءته.

لكي يتمكن المبرمج من حساب التوزيع المشترك، يجب عليه الآن تحديد ${\displaystyle N+1}$التوزيعات التي تظهر في عملية التفكيك:

1. ${\displaystyle P({\text{Spam}})}$هو احتمال مسبق محدد، على سبيل المثال بواسطة${\displaystyle P([{\text{Spam}}=1])=0.75}$
2. كل واحد من${\displaystyle N}$ النماذج${\displaystyle P(W_{n}\mid {\text{Spam}})}$يمكن تحديد ذلك باستخدام قاعدة لابلاس للتتابع (وهي تقنية تنعيم تعتمد على العد الزائف لمواجهة مشكلة التردد الصفري للكلمات التي لم يسبق رؤيتها من قبل):
   1. ${\displaystyle P(W_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{false}}])={\frac {1+a_{f}^{n}}{2+a_{f}}}}$
   2. ${\displaystyle P(W_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{true}}])={\frac {1+a_{t}^{n}}{2+a_{t}}}}$

أين${\displaystyle a_{f}^{n}}$يرمز إلى عدد مرات ظهور${\displaystyle n^{th}}$كلمة في رسائل البريد الإلكتروني غير المزعجة و${\displaystyle a_{f}}$يمثل هذا العدد الإجمالي للرسائل الإلكترونية غير المزعجة. وبالمثل،${\displaystyle a_{t}^{n}}$يرمز إلى عدد مرات ظهور${\displaystyle n^{th}}$كلمة في رسائل البريد الإلكتروني العشوائية و${\displaystyle a_{t}}$يمثل هذا الرقم إجمالي عدد رسائل البريد الإلكتروني العشوائية.

ال${\displaystyle N}$ النماذج${\displaystyle P(W_{n}\mid {\text{Spam}})}$لم يتم تحديدها بالكامل بعد لأن${\displaystyle 2N+2}$حدود${\displaystyle a_{f}^{n=0,\ldots ,N-1}}$،${\displaystyle a_{t}^{n=0,\ldots ,N-1}}$،${\displaystyle a_{f}}$و${\displaystyle a_{t}}$ليس لها قيم حتى الآن.

يمكن تحديد هذه المعلمات إما عن طريق المعالجة الدفعية لسلسلة من رسائل البريد الإلكتروني المصنفة أو عن طريق التحديث التدريجي للمعلمات باستخدام تصنيفات المستخدم لرسائل البريد الإلكتروني عند وصولها.

يمكن الجمع بين الطريقتين: يمكن للنظام أن يبدأ بقيم قياسية أولية لهذه المعلمات صادرة من قاعدة بيانات عامة، ثم يقوم بعض التعلم التدريجي بتخصيص المصنف لكل مستخدم على حدة.

السؤال المطروح على البرنامج هو: "ما هو احتمال أن يكون نص معين بريدًا عشوائيًا (سبام) مع العلم بالكلمات التي تظهر فيه والتي لا تظهر؟" ويمكن صياغته رسميًا على النحو التالي:

${\displaystyle P({\text{Spam}}\mid w_{0}\wedge \cdots \wedge w_{N-1})}$

والتي يمكن حسابها على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P({\text{Spam}}\mid w_{0}\wedge \cdots \wedge w_{N-1})\\={}&{\frac {\displaystyle P({\text{Spam}})\prod _{n=0}^{N-1}[P(w_{n}\mid {\text{Spam}})]}{\displaystyle \sum _{\text{Spam}}[P({\text{Spam}})\prod _{n=0}^{N-1}[P(w_{n}\mid {\text{Spam}})]]}}\end{aligned}}}$

يبدو أن المقام ثابت توحيد . ليس من الضروري حسابه لتحديد ما إذا كنا نتعامل مع بريد مزعج. على سبيل المثال، تتمثل إحدى الحيل السهلة في حساب النسبة:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {P([{\text{Spam}}={\text{true}}]\mid w_{0}\wedge \cdots \wedge w_{N-1})}{P([{\text{Spam}}={\text{false}}]\mid w_{0}\wedge \cdots \wedge w_{N-1})}}\\={}&{\frac {P([{\text{Spam}}={\text{true}}])}{P([{\text{Spam}}={\text{false}}])}}\times \prod _{n=0}^{N-1}\left[{\frac {P(w_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{true}}])}{P(w_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{false}}])}}\right]\end{aligned}}}$

هذه العملية الحسابية أسرع وأسهل لأنها تتطلب فقط${\displaystyle 2N}$منتجات.

يتم تعريف برنامج تصفية البريد العشوائي البايزي بالكامل من خلال:

${\displaystyle \Pr {\begin{cases}Ds{\begin{cases}Sp(\pi ){\begin{cases}Va:{\text{Spam}},W_{0},W_{1}\ldots W_{N-1}\\Dc:{\begin{cases}P({\text{Spam}}\land W_{0}\land \ldots \land W_{n}\land \ldots \land W_{N-1})\\=P({\text{Spam}})\prod _{n=0}^{N-1}P(W_{n}\mid {\text{Spam}})\end{cases}}\\Fo:{\begin{cases}P({\text{Spam}}):{\begin{cases}P([{\text{Spam}}={\text{false}}])=0.25\\P([{\text{Spam}}={\text{true}}])=0.75\end{cases}}\\P(W_{n}\mid {\text{Spam}}):{\begin{cases}P(W_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{false}}])\\={\frac {1+a_{f}^{n}}{2+a_{f}}}\\P(W_{n}\mid [{\text{Spam}}={\text{true}}])\\={\frac {1+a_{t}^{n}}{2+a_{t}}}\end{cases}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}\\{\text{Identification (based on }}\delta )\end{cases}}\\Qu:P({\text{Spam}}\mid w_{0}\land \ldots \land w_{n}\land \ldots \land w_{N-1})\end{cases}}}$

• المتغيرات${\displaystyle S^{0},\ldots ,S^{T}}$هي سلسلة زمنية من متغيرات الحالة التي تعتبر على أفق زمني يتراوح من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle T}$.
• المتغيرات${\displaystyle O^{0},\ldots ,O^{T}}$هي سلسلة زمنية لمتغيرات الملاحظة على نفس الأفق الزمني.

يعتمد التفكيك على:

• على${\displaystyle P(S^{t}\mid S^{t-1})}$، والذي يُطلق عليه نموذج النظام أو نموذج الانتقال أو النموذج الديناميكي، والذي يُضفي الطابع الرسمي على الانتقال من الحالة في وقت${\displaystyle t-1}$إلى الولاية في ذلك الوقت${\displaystyle t}$؛
• على${\displaystyle P(O^{t}\mid S^{t})}$، وهو ما يسمى نموذج الملاحظة، والذي يعبر عما يمكن ملاحظته في وقت معين${\displaystyle t}$عندما يكون النظام في حالة${\displaystyle S^{t}}$؛
• في حالة أولية في وقت${\displaystyle 0}$:${\displaystyle P(S^{0}\wedge O^{0})}$.

لا توجد قيود على الأشكال البارامترية، وتؤدي الخيارات المختلفة إلى نماذج مختلفة معروفة: انظر مرشحات كالمان ونماذج ماركوف المخفية أدناه.

السؤال النموذجي لمثل هذه النماذج هو${\displaystyle P\left(S^{t+k}\mid O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t}\right)}$ما هو التوزيع الاحتمالي للحالة في الزمن t${\displaystyle t+k}$معرفة الملاحظات من لحظة${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle t}$؟

الحالة الأكثر شيوعًا هي الترشيح البايزي حيث${\displaystyle k=0}$، والتي تبحث عن الحالة الحالية، مع العلم بالملاحظات السابقة.

لكن من الممكن أيضاً${\displaystyle (k>0)}$، لاستقراء حالة مستقبلية من الملاحظات السابقة، أو لإجراء عملية تنعيم${\displaystyle (k<0)}$، لاستعادة حالة سابقة من خلال الملاحظات التي أجريت إما قبل تلك اللحظة أو بعدها.

قد تُطرح أسئلة أكثر تعقيدًا كما هو موضح أدناه في قسم HMM.

مرشحات بايزية${\displaystyle (k=0)}$تتمتع بخاصية تكرارية مثيرة للاهتمام للغاية، مما يساهم بشكل كبير في جاذبيتها.${\displaystyle P\left(S^{t}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t}\right)}$يمكن حسابها ببساطة من${\displaystyle P\left(S^{t-1}\mid O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t-1}\right)}$باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}&P\left(S^{t}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t}\right)\\=&P\left(O^{t}|S^{t}\right)\times \sum _{S^{t-1}}\left[P\left(S^{t}|S^{t-1}\right)\times P\left(S^{t-1}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t-1}\right)\right]\end{array}}}$

ومن وجهة نظر أخرى مثيرة للاهتمام لهذه المعادلة، النظر إلى وجود مرحلتين: مرحلة التنبؤ ومرحلة التقدير:

• خلال مرحلة التنبؤ، يتم التنبؤ بالحالة باستخدام النموذج الديناميكي وتقدير الحالة في اللحظة السابقة:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}&P\left(S^{t}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t-1}\right)\\=&\sum _{S^{t-1}}\left[P\left(S^{t}|S^{t-1}\right)\times P\left(S^{t-1}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t-1}\right)\right]\end{array}}}$

• خلال مرحلة التقدير، يتم تأكيد التنبؤ أو دحضه باستخدام آخر ملاحظة:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P\left(S^{t}\mid O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t}\right)\\={}&P\left(O^{t}\mid S^{t}\right)\times P\left(S^{t}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t-1}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle Pr{\begin{cases}Ds{\begin{cases}Sp(\pi ){\begin{cases}Va:\\S^{0},\cdots ,S^{T},O^{0},\cdots ,O^{T}\\Dc:\\{\begin{cases}&P\left(S^{0}\wedge \cdots \wedge S^{T}\wedge O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}|\pi \right)\\=&P\left(S^{0}\wedge O^{0}\right)\times \prod _{t=1}^{T}\left[P\left(S^{t}|S^{t-1}\right)\times P\left(O^{t}|S^{t}\right)\right]\end{cases}}\\Fo:\\{\begin{cases}P\left(S^{0}\wedge O^{0}\right)\\P\left(S^{t}|S^{t-1}\right)\\P\left(O^{t}|S^{t}\right)\end{cases}}\end{cases}}\\Id\end{cases}}\\Qu:\\{\begin{cases}{\begin{array}{l}P\left(S^{t+k}|O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{t}\right)\\\left(k=0\right)\equiv {\text{Filtering}}\\\left(k>0\right)\equiv {\text{Prediction}}\\\left(k<0\right)\equiv {\text{Smoothing}}\end{array}}\end{cases}}\end{cases}}}$

تُعد مرشحات كالمان المعروفة جدًا ^{[ 7 ]} حالة خاصة من مرشحات بايز.

يتم تعريفها بواسطة برنامج بايزي التالي:

${\displaystyle Pr{\begin{cases}Ds{\begin{cases}Sp(\pi ){\begin{cases}Va:\\S^{0},\cdots ,S^{T},O^{0},\cdots ,O^{T}\\Dc:\\{\begin{cases}&P\left(S^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}|\pi \right)\\=&\left[{\begin{array}{c}P\left(S^{0}\wedge O^{0}|\pi \right)\\\prod _{t=1}^{T}\left[P\left(S^{t}|S^{t-1}\wedge \pi \right)\times P\left(O^{t}|S^{t}\wedge \pi \right)\right]\end{array}}\right]\end{cases}}\\Fo:\\{\begin{cases}P\left(S^{t}\mid S^{t-1}\wedge \pi \right)\equiv G\left(S^{t},A\bullet S^{t-1},Q\right)\\P\left(O^{t}\mid S^{t}\wedge \pi \right)\equiv G\left(O^{t},H\bullet S^{t},R\right)\end{cases}}\end{cases}}\\Id\end{cases}}\\Qu:\\P\left(S^{T}\mid O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}\wedge \pi \right)\end{cases}}}$

• المتغيرات متصلة.
• نموذج الانتقال${\displaystyle P(S^{t}\mid S^{t-1}\wedge \pi )}$ونموذج الملاحظة${\displaystyle P(O^{t}\mid S^{t}\wedge \pi )}$كلاهما محدد باستخدام قوانين غاوسية بمتوسطات هي دوال خطية لمتغيرات التكييف.

باستخدام هذه الفرضيات والصيغة التكرارية، من الممكن حل مشكلة الاستدلال تحليليًا للإجابة على الأسئلة المعتادة${\displaystyle P(S^{T}\mid O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}\wedge \pi )}$هذا يؤدي إلى خوارزمية فعالة للغاية، وهو ما يفسر شعبية مرشحات كالمان وعدد تطبيقاتها اليومية.

عندما لا توجد نماذج انتقال وملاحظة خطية واضحة، فإنه لا يزال من الممكن في كثير من الأحيان، باستخدام توسيع تايلور من الدرجة الأولى، التعامل مع هذه النماذج على أنها خطية محليًا. يُطلق على هذا التعميم عادةً اسم مرشح كالمان الموسع .

تُعد نماذج ماركوف المخفية (HMMs) تخصصًا شائعًا جدًا آخر لمرشحات بايز.

يتم تعريفها بواسطة برنامج بايزي التالي:

${\displaystyle \Pr {\begin{cases}Ds{\begin{cases}Sp(\pi ){\begin{cases}Va:\\S^{0},\ldots ,S^{T},O^{0},\ldots ,O^{T}\\Dc:\\{\begin{cases}&P\left(S^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}\mid \pi \right)\\=&\left[{\begin{array}{c}P\left(S^{0}\wedge O^{0}\mid \pi \right)\\\prod _{t=1}^{T}\left[P\left(S^{t}\mid S^{t-1}\wedge \pi \right)\times P\left(O^{t}\mid S^{t}\wedge \pi \right)\right]\end{array}}\right]\end{cases}}\\Fo:\\{\begin{cases}P\left(S^{0}\wedge O^{0}\mid \pi \right)\equiv {\text{Matrix}}\\P\left(S^{t}\mid S^{t-1}\wedge \pi \right)\equiv {\text{Matrix}}\\P\left(O^{t}\mid S^{t}\wedge \pi \right)\equiv {\text{Matrix}}\end{cases}}\end{cases}}\\Id\end{cases}}\\Qu:\\\max _{S^{1}\wedge \cdots \wedge S^{T-1}}\left[P\left(S^{1}\wedge \cdots \wedge S^{T-1}\mid S^{T}\wedge O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}\wedge \pi \right)\right]\end{cases}}}$

• تُعامل المتغيرات على أنها منفصلة.
• نموذج الانتقال${\displaystyle P\left(S^{t}\mid S^{t-1}\wedge \pi \right)}$ونموذج الملاحظة${\displaystyle P\left(O^{t}\mid S^{t}\wedge \pi \right)}$نكون

كلاهما محدد باستخدام مصفوفات الاحتمالات.

• السؤال الأكثر شيوعاً حول نماذج ماركوف المخفية هو:

${\displaystyle \max _{S^{1}\wedge \cdots \wedge S^{T-1}}\left[P\left(S^{1}\wedge \cdots \wedge S^{T-1}\mid S^{T}\wedge O^{0}\wedge \cdots \wedge O^{T}\wedge \pi \right)\right]}$

ما هي سلسلة الحالات الأكثر احتمالاً التي تؤدي إلى الحالة الحالية، مع العلم بالملاحظات السابقة؟

يمكن الإجابة على هذا السؤال تحديداً باستخدام خوارزمية محددة وفعالة للغاية تسمى خوارزمية فيتربي .

تم تطوير خوارزمية Baum–Welch لنماذج ماركوف المخفية (HMMs ) .

في مجال الروبوتات، طُبقت البرمجة البايزية على الروبوتات ذاتية التشغيل ، ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} وأنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب الروبوتية ، ^{[ 14 ]} وأنظمة مساعدة السائق المتقدمة ، ^{[ 15 ]} والتحكم في الأذرع الروبوتية ، والروبوتات المتنقلة ، ^{[ 16 ] [ 17 ]} والتفاعل بين الإنسان والروبوت، ^{[ 18 ]} والتفاعل بين الإنسان والمركبة (نماذج السائقين ذاتية التشغيل البايزية) ^{، [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} وبرمجة وتدريب شخصيات ألعاب الفيديو ^{، [ 24 ]} وألعاب الاستراتيجية في الوقت الحقيقي (الذكاء الاصطناعي). ^{[ 25 ]}

في علوم الحياة، استُخدمت البرمجة البايزية في مجال الرؤية لإعادة بناء الشكل من الحركة، ^{[ 26 ]} ولنمذجة التفاعل البصري الدهليزي ^{، [ 27 ]} ولدراسة حركات العين السريعة (الرمشات )؛ ^{[ 28 ]} وفي إدراك الكلام والتحكم فيه لدراسة اكتساب الكلام المبكر ^{، [ 29 ]} ونشوء الأنظمة النطقية الصوتية؛ ^{[ 30 ]} ولنمذجة إدراك الكتابة اليدوية والتحكم فيها. ^{[ 31 ]}