السطح الشعري

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 46 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الموائع والرياضيات ، يُعرَّف السطح الشعري بأنه سطح يُمثل الحد الفاصل بين سائلين مختلفين . ونتيجةً لكونه سطحًا، فإن السطح الشعري ليس له سُمك، على عكس معظم أسطح التماس الحقيقية بين السوائل .

تُعدّ الأسطح الشعرية ذات أهمية في الرياضيات لأن المسائل التي تُطرح فيها غير خطية للغاية، ولها خصائص مثيرة للاهتمام، مثل اعتمادها غير المتصل على بيانات الحدود عند نقاط معزولة. [ 1 ] وعلى وجه الخصوص، تتميز الأسطح الشعرية الساكنة، في غياب الجاذبية، بانحناء متوسط ​​ثابت ، ولذلك يُعدّ السطح الأدنى حالة خاصة من الأسطح الشعرية الساكنة.

كما أنها ذات أهمية عملية لإدارة السوائل في الفضاء (أو البيئات الأخرى الخالية من قوى الجسم )، حيث يهيمن تأثير الخاصية الشعرية على كل من التدفق والتكوين الثابت.

معادلة توازن الإجهاد

تُسمى المعادلة الأساسية لسطح الشعيرات الدموية معادلة توازن الإجهاد، [ 2 ] والتي يمكن اشتقاقها من خلال دراسة القوى والإجهادات المؤثرة على حجم صغير محصور جزئيًا بسطح شعيري. وذلك بالنسبة لسائل يلتقي بسائل آخر (يُشار إليه بالخطين) عند سطح ما.S{\displaystyle S}، المعادلة هي

(σأناج-σ¯أناج)ن^=-γن^(∇S⋅ن^)+∇Sγ∇Sγ=∇γ-ن^(ن^⋅∇γ){\displaystyle {\begin{align}&(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =-\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )+\nabla _{\!S}\gamma \\&\qquad \nabla _{\!S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )\end{محاذاة}}}

أينن^{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} }هو المتجه العمودي للوحدة الذي يشير نحو السائل "الآخر" (الذي تُرمز كمياته بالأشرطة)،σأناج{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}}هو موتر الإجهاد (لاحظ أن على اليسار هو حاصل ضرب موتر في متجه )،γ{\displaystyle \scriptstyle \gamma }يمثل التوتر السطحي المرتبط بالسطح البيني، و∇S{\displaystyle \scriptstyle \nabla _{S}}هو تدرج السطح . لاحظ أن الكمية-∇S⋅ن^{\displaystyle \scriptstyle -\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }يساوي ضعف متوسط ​​انحناء السطح.

في ميكانيكا الموائع ، تُستخدم هذه المعادلة كشرط حدودي لتدفقات الأسطح البينية، وعادةً ما تُكمّل معادلات نافيير-ستوكس . وهي تصف عدم استمرارية الإجهاد الذي تتوازن بفعل القوى على السطح. وبصفتها شرطًا حدوديًا، فهي غير مألوفة نوعًا ما لأنها تُدخل متغيرًا جديدًا: السطح.S{\displaystyle S}وهذا ما يحدد الواجهة. لذلك ليس من المستغرب أن معادلة توازن الإجهاد تفرض عادةً شروطها الحدية الخاصة.

لتحقيق أفضل استخدام، يتم عادةً تحويل معادلة المتجهات هذه إلى 3 معادلات قياسية عبر الضرب النقطي مع المتجه العمودي الوحدوي ومتجهين مماسين وحدويين مختارين:

((σأناج-σ¯أناج)ن^)⋅ن^=-γ∇S⋅ن^{\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =-\gamma \nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }
((σأناج-σ¯أناج)ن^)⋅ت^1=∇Sγ⋅ت^1{\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} }
((σأناج-σ¯أناج)ن^)⋅ت^2=∇Sγ⋅ت^2{\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} }

لاحظ أن النواتج التي لا تحتوي على نقاط هي نواتج ضرب موترات في متجهات (مما ينتج عنه متجهات مشابهة لضرب مصفوفة في متجه)، أما تلك التي تحتوي على نقاط فهي نواتج ضرب نقطية . تُسمى المعادلة الأولى معادلة الإجهاد العمودي ، أو شرط الإجهاد العمودي الحدودي. أما المعادلتان الأخيرتان فتُسميان معادلات الإجهاد المماسي .

موتر الإجهاد

يرتبط موتر الإجهاد بالسرعة والضغط. ويعتمد شكله الفعلي على نوع المائع المحدد الذي يتم التعامل معه، ففي الحالة الشائعة لتدفق نيوتني غير قابل للانضغاط، يُعطى موتر الإجهاد بالصيغة التالية:

σأناج=-(ص000ص000ص)+μ(2∂u∂x∂u∂y+∂v∂x∂u∂z+∂w∂x∂v∂x+∂u∂y2∂v∂y∂v∂z+∂w∂y∂w∂x+∂u∂z∂w∂y+∂v∂z2∂w∂z)=-صأنا+μ(∇v+(∇v)تي)\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}}

أينص{\displaystyle p}هو الضغط في السائل،v{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }هي السرعة، وμ{\displaystyle \mu }اللزوجة .​

الواجهات الثابتة

في حالة عدم وجود حركة، فإن موترات الإجهاد لا تعطي سوى الضغط الهيدروستاتيكي بحيثσأناج=-صأنا{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}=-pI}بغض النظر عن نوع السائل أو قابليته للانضغاط. مع الأخذ في الاعتبار المعادلات العمودية والمماسية،

ص¯-ص=γ∇⋅ن^{\displaystyle {\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }
0=∇γ⋅ت^{\displaystyle 0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}} }

تُثبت المعادلة الأولى أن قوى الانحناء تتوازن مع قوى الضغط. وتشير المعادلة الثانية إلى أنه لا يمكن وجود سطح فاصل ساكن في وجود تدرج غير صفري في التوتر السطحي.

إذا كانت الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم، فإن معادلات نافيير-ستوكس تتبسط بشكل كبير:

0=-∇ص+ρز{\displaystyle 0=-\nabla p+\rho \mathbf {g} }

إذا تم اختيار الإحداثيات بحيث تكون الجاذبية غير صفرية فقط فيz{\displaystyle z}في هذا الاتجاه، تتحول هذه المعادلة إلى شكل بسيط للغاية:

دصدz=ρز⇒ص=ρزz+ص0{\displaystyle {\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}}

أينص0{\displaystyle p_{0}}هو ثابت تكامل يمثل ضغطًا مرجعيًا عندz=0{\displaystyle z=0}. يؤدي استبدال هذا في معادلة الإجهاد الطبيعي إلى ما يُعرف بمعادلة يونغ-لابلاس :

ρ¯زz+ص¯0-(ρزz+ص0)=γ∇⋅ن^⇒Δρزz+Δص=γ∇⋅ن^{\displaystyle {\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }

أينΔص{\displaystyle \Delta p}يمثل فرق الضغط (الثابت) عبر السطح الفاصل، وΔρ{\displaystyle \Delta \rho }يمثل الفرق في الكثافة . لاحظ أنه بما أن هذه المعادلة تحدد سطحًا،z{\displaystyle z}هوz{\displaystyle z}إحداثيات سطح الشعيرة الدموية. هذه المعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية ، عند تزويدها بشروط الحدود الصحيحة، ستحدد الواجهة الساكنة.

فرق الضغط المذكور أعلاه ثابت، لكن قيمته ستتغير إذاz{\displaystyle z}يتم تغيير الإحداثيات. الحل الخطي للضغط يعني أنه ما لم يكن حد الجاذبية غائبًا ، فمن الممكن دائمًا تعريفz{\displaystyle z}التنسيق بحيثΔص=0{\displaystyle \Delta p=0}معادلة يونغ-لابلاس غير البعدية عادة ما يتم دراستها بالشكل [ 1 ]

κz+λ=∇⋅ن^{\displaystyle \kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }

حيث (إذا كانت الجاذبية سالبة)z{\displaystyle z}اتجاه)κ{\displaystyle \kappa }تكون القيمة موجبة إذا كان السائل الأكثر كثافة "داخل" الواجهة، وسالبة إذا كان "خارج" الواجهة، وصفر إذا لم تكن هناك جاذبية أو إذا لم يكن هناك فرق في الكثافة بين السوائل.

تتمتع هذه المعادلة غير الخطية بخصائص مميزة، لا سيما فيما يتعلق بوجود حلول فريدة. فعلى سبيل المثال، يشير عدم وجود حل لمسألة قيمة حدية معينة إلى أن المسألة، من الناحية الفيزيائية، لا يمكن أن تكون ثابتة. وإذا وُجد حل، فإنه عادةً ما يكون موجودًا لقيم محددة جدًا لـλ{\displaystyle \lambda }وهذا يُمثل قفزة الضغط عبر السطح الفاصل. وهذا أمرٌ مثيرٌ للاهتمام لأنه لا توجد معادلة فيزيائية أخرى لتحديد فرق الضغط. ففي الأنبوب الشعري، على سبيل المثال، سيؤدي تطبيق شرط زاوية التلامس إلى حلٍّ فريد لقيمة واحدة فقط من قيم زاوية التلامس.λ{\displaystyle \lambda }غالباً ما لا تكون الحلول فريدة، مما يعني وجود عدة واجهات ثابتة ممكنة؛ ورغم أنها قد تحل جميعها نفس مسألة القيمة الحدية، إلا أن تقليل الطاقة سيُفضّل عادةً إحداها. تُسمى الحلول المختلفة بتكوينات الواجهة.

مراعاة الطاقة

من الخصائص العميقة للأسطح الشعرية طاقة السطح التي يمنحها التوتر السطحي:

هـS=γSأS{\displaystyle E_{S}=\gamma _{S}A_{S}\,}

أينأ{\displaystyle A}تمثل مساحة السطح قيد الدراسة، والطاقة الكلية هي مجموع كل الطاقات. لاحظ أن كل سطح فاصل يمنح طاقة. على سبيل المثال، إذا كان هناك سائلان مختلفان (سائل وغاز مثلاً) داخل وعاء صلب مع غياب الجاذبية وقوى الطاقة الكامنة الأخرى، فإن طاقة النظام هي

هـ=∑γSأS=γلجيألجي+γSجيأSجي+γSلأSل{\displaystyle E=\sum \gamma _{S}A_{S}=\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{SG}A_{SG}+\gamma _{SL}A_{SL}\,}

حيث الرموز السفليةلجي{\displaystyle LG}،Sجي{\displaystyle SG}، وSل{\displaystyle SL}تشير هذه الرموز على التوالي إلى أسطح التماس بين السائل والغاز، والصلب والغاز، والصلب والسائل. تجدر الإشارة إلى أن إدخال تأثير الجاذبية يتطلب مراعاة الحجم المحصور بين السطح الشعري والجدران الصلبة.

رسم توضيحي للقوى الموزعة عند خط التماس، حيث يكون خط التماس عموديًا على الصورة. الجزء الرأسي منγلجي{\displaystyle \gamma _{LG}}ويتوازن ذلك مع تشوه طفيف في الجسم الصلب (غير موضح وغير ذي أهمية في هذا السياق).

عادةً ما تكون قيم التوتر السطحي بين الأسطح البينية بين المادة الصلبة والغاز، وبين المادة الصلبة والسائل، غير معروفة. وهذا لا يُشكل مشكلة، لأن التغيرات في الطاقة هي محل الاهتمام الرئيسي. إذا كانت مساحة المادة الصلبة الكليةأSجي+أSل{\displaystyle A_{SG}+A_{SL}}إذا كان ثابتًا، وكانت زاوية التلامس معروفة، فيمكن إثبات ذلك (مرة أخرى، لسائلين مختلفين في وعاء صلب).

هـ=γSل(أSل+أSجي)+γلجيألجي+γلجيأSجيكوس⁡(θ){\displaystyle E=\gamma _{SL}(A_{SL}+A_{SG})+\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{LG}A_{SG}\cos(\theta )\,}

لهذا السبب.

Δهـγلجي=Δألجي+ΔأSجيكوس⁡(θ)=Δألجي-ΔأSلكوس⁡(θ){\displaystyle {\frac {\Delta E}{\gamma _{LG}}}=\Delta A_{LG}+\Delta A_{SG}\cos(\theta )=\Delta A_{LG}-\Delta A_{SL}\cos(\theta )\,}

أينθ{\displaystyle \theta }تمثل زاوية التلامس ، ويشير الحرف دلتا الكبير إلى التغير من وضعية إلى أخرى. وللحصول على هذه النتيجة، من الضروري جمع القوى (الموزعة) عند خط التلامس (حيث يلتقي الصلب والغاز والسائل) في اتجاه مماس للسطح الصلب وعمودي على خط التلامس.

0=∑Fجoنتأجت لأنانهـ=γلجيكوس⁡(θ)+γSل-γSجي{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum F_{\mathrm {Contact\ line} }\\&=\gamma _{LG}\cos(\theta )+\gamma _{SL}-\gamma _{SG}\end{aligned}}}

حيث يكون المجموع صفرًا بسبب الحالة الساكنة . عندما لا تكون حلول معادلة يونغ-لابلاس فريدة، يكون الحل الأمثل فيزيائيًا هو الحل ذو الطاقة الدنيا، مع أن التجارب (خاصةً في ظروف الجاذبية المنخفضة) تُظهر أن الأسطح شبه المستقرة قد تكون ثابتة بشكلٍ مدهش، وأن أكثر التكوينات استقرارًا يمكن أن تصبح شبه مستقرة من خلال الصدمات الميكانيكية دون صعوبة كبيرة. من ناحية أخرى، قد يصل السطح شبه المستقر أحيانًا إلى طاقة أقل تلقائيًا دون أي مدخلات (على الأقل ظاهريًا) إذا توفر له الوقت الكافي.

الشروط الحدية

تصف الشروط الحدية لتوازن الإجهاد السطح الشعري عند خط التماس : الخط الذي يلتقي فيه الجسم الصلب بالسطح الشعري؛ كما يمكن أن تكون قيود الحجم بمثابة شروط حدية (على سبيل المثال، القطرة المعلقة ليس لها خط تماس ولكن من الواضح أنها يجب أن تقبل حلاً فريدًا).

بالنسبة للأسطح الثابتة، فإن أكثر شروط حدود خط التماس شيوعًا هو تطبيق زاوية التماس ، والتي تحدد الزاوية التي يلتقي بها أحد السوائل بالجدار الصلب. شرط زاوية التماس على السطحS{\displaystyle S}تُكتب عادةً على النحو التالي:

ن^⋅v^=كوس⁡(θ){\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos(\theta )\,}

أينθ{\displaystyle \theta }هي زاوية التلامس. يُفرض هذا الشرط على الحد (أو الحدود).∂S{\displaystyle \scriptstyle \partial S}من السطح.v^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {v}}}هي الوحدة العمودية الخارجية على السطح الصلب، ون^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}وحدة عمودية علىS{\displaystyle S}اختيارن^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}يعتمد ذلك على نوع السائل الذي تم تحديد زاوية التلامس من أجله.

بالنسبة للأسطح البينية الديناميكية، يكون شرط الحدود الموضح أعلاه فعالاً إذا كانت سرعة خط التماس منخفضة. أما إذا كانت السرعة عالية، فإن زاوية التماس ستتغير ("زاوية التماس الديناميكية")، وحتى عام 2007، لم تكن ميكانيكا خط التماس المتحرك (أو حتى صلاحية زاوية التماس كمعامل) معروفة، وهي مجال بحث نشط. [ 3 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 روبرت فين (1999). "واجهات الأسطح الشعرية" (ملف PDF) . الجمعية الرياضية الأمريكية .
  2. ↑ لاندو، ليف د .؛ ليفشيتز، يفغيني م. (1987). ميكانيكا الموائع . المجلد 6 ( الطبعة الثانية). باتروورث-هاينمان . ISBN   978-0-08-033933-7.
  3. ↑ إي بي دوسان الخامس ؛ إنريكي راميه؛ ستيفن غاروف (سبتمبر 1991). "حول تحديد الشروط الحدية المناسبة عند خط التماس المتحرك: دراسة تجريبية" . مجلة ميكانيكا الموائع . 230. CJO: 97-116 . Bibcode : 1991JFM...230...97D . doi : 10.1017/S0022112091000721 .