مُعادلة

في نظرية الفئات ، يُعدّ المُعادل المُشارك (أو المُعادل المُشارك ) تعميمًا لقسمة مجموعة ما بواسطة علاقة تكافؤ على كائنات في فئة اختيارية . وهو البناء الفئوي المُقابل للمُعادل .

المُعادل المشترك هو النهاية المشتركة لمخطط يتكون من كائنين X و Y واثنين من التشاكلات المتوازية f و g  : X → Y.

بصورة أكثر تحديدًا، يمكن تعريف مُساوِح التشكلات المتوازية f و g على أنه كائن Q مع تشكل q  : Y → Q بحيث يكون q ∘ f = q ∘ g . علاوة على ذلك، يجب أن يكون الزوج ( Q , q ) شاملًا بمعنى أنه لأي زوج آخر من هذا النوع ( Q ′ , q ′ )، يوجد تشكل وحيد u  : Q → Q ′ بحيث يكون u ∘ q = q ′ . يمكن تمثيل هذه المعلومات بواسطة المخطط التبادلي التالي :

كما هو الحال مع جميع البنى الشاملة ، فإن المُعادل المشترك، إن وجد، يكون فريدًا حتى تماثل فريد (لهذا السبب، من باب إساءة استخدام اللغة، يتحدث المرء أحيانًا عن "المعادل المشترك" لسهمين متوازيين).

يمكن إثبات أن السهم المتساوي q هو تشاكل شامل في أي فئة.

• في فئة المجموعات ، يكون مُساوِي الدالتين f و g :  X → Y هو خارج قسمة Y على أصغر علاقة تكافؤ ~ بحيث يكون لكل x ∈ X ، لدينا f ( x ) ~ g ( x ) . ^{[ 1 ]} على وجه الخصوص، إذا كانت R علاقة تكافؤ على مجموعة Y ، و r1 _و r2 هما الإسقاطان الطبيعيان ( R ⊂ Y × _Y ) → Y، فإن مُساوِي r1 _و r2 هو مجموعة القسمة Y / R. ( _انظر أيضًا: القسمة على علاقة تكافؤ ).
• المُساوي المُشارك في فئة الزمر مُشابهٌ جدًا. هنا، إذا كان f و g  : X → Y تشاكلين زمر ، فإن مُساويهما المُشارك هو خارج قسمة Y على الإغلاق الطبيعي للمجموعة

  ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\mid x\in X\}}$

• بالنسبة للمجموعات الأبيلية، يكون المُساوي المُشارك بسيطًا للغاية. إنه ببساطة مجموعة العوامل Y / im( f – g ) . (هذه هي النواة المُشاركة للتشاكل f – g ؛ انظر القسم التالي).
• في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، يمكن اعتبار الكائن الدائري S ¹ بمثابة المعادل المشترك لخريطتي التضمين من 0-simplex القياسي إلى 1-simplex القياسي.
• قد تكون الدوال المُساوية كبيرة: يوجد دالتان فقط من الفئة 1 ، لكل منهما عنصر واحد وسهم محايد واحد، إلى الفئة 2، لكل منهما عنصران وسهم غير محايد واحد بينهما. الدالة المُساوية لهاتين الدالتين هي أحادي الأعداد الطبيعية تحت الجمع، باعتبارها فئة ذات عنصر واحد. على وجه الخصوص، يُبين هذا أنه بينما يكون كل سهم مُساوٍ شاملاً ، فإنه ليس بالضرورة شاملاً .

• كل مُعادل مشترك هو شكل فوقي.
• في التوبوس ، كل تحويل شامل هو المعادل المشترك لزوج النواة الخاص به.

في الفئات ذات التشكلات الصفرية ، يمكن تعريف النواة المشتركة للتشكل f على أنها المعادل المشترك لـ f والتشكل الصفري الموازي.

في الفئات ما قبل الجمعية، من المنطقي جمع وطرح التشكلات ( تشكل مجموعات التماثل في الواقع زمرًا تبديلية ). في مثل هذه الفئات، يمكن تعريف المُساوي المشترك لتشكلين f و g على أنه النواة المشتركة لفرقهما.

coeq( f , g ) = coker( g – f ).

المفهوم الأقوى هو مفهوم المُساوِب المُطلق ، وهو مُساوِب محفوظ تحت جميع الدوال. رسميًا، المُساوِب المُطلق لزوج من الأسهم المتوازية f و g  : X → Y في فئة C هو مُساوِب كما هو مُعرّف أعلاه، ولكن مع خاصية إضافية، وهي أنه لأي دالة F  : C → D ، فإن F ( Q ) مع F ( q ) يُساوِب F ( f ) و F ( g ) في الفئة D. المُساوِبات المُجزأة هي أمثلة على المُساوِبات المُطلقة .

• منتج ثانوي
• دفع للخارج

• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  5 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 
  • المعادلات المشتركة – الصفحة 65
  • المعادلات المطلقة - الصفحة 149

• صفحة ويب تفاعلية ، تُنتج أمثلة على المُعادلات المشتركة في فئة المجموعات المنتهية. من تأليف جوسلين باين .