ميكانيكا الأوساط المتصلة

يمكن أن تؤثر قوى السطح أو قوى التلامس ، المُعبر عنها بالقوة لكل وحدة مساحة، إما على السطح الخارجي للجسم نتيجةً للتلامس الميكانيكي مع أجسام أخرى، أو على أسطح داخلية افتراضية تُحيط بأجزاء من الجسم، نتيجةً للتفاعل الميكانيكي بين أجزاء الجسم على جانبي السطح ( مبدأ أويلر-كوشي للإجهاد ). عندما يتعرض الجسم لقوى تلامس خارجية، تنتقل قوى التلامس الداخلية من نقطة إلى أخرى داخل الجسم لموازنة تأثيرها، وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة الذي ينص على حفظ الزخم الخطي والزخم الزاوي (بالنسبة للأجسام المتصلة، تُسمى هذه القوانين معادلات أويلر للحركة ). ترتبط قوى التلامس الداخلية بتشوه الجسممن خلال معادلات تكوينية . ويمكن وصف قوى التلامس الداخلية رياضيًا من خلال كيفية ارتباطها بحركة الجسم، بغض النظر عن تركيبه المادي.

يُفترض أن توزيع قوى التلامس الداخلية في جميع أنحاء حجم الجسم متصل. لذلك، توجد كثافة لقوة التلامس أو مجال شد كوشي ^{[ 4 ].}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$يمثل ذلك التوزيع في تكوين معين للجسم في وقت معين${\displaystyle t\,\!}$إنه ليس حقلاً متجهياً لأنه لا يعتمد فقط على الموضع.${\displaystyle \mathbf {x} }$بالنسبة لنقطة مادية معينة، ولكن أيضًا على التوجه المحلي لعنصر السطح كما هو محدد بواسطة متجهه العمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$[ ^{5 ]​}

أي منطقة تفاضلية${\displaystyle dS\,\!}$مع متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$مساحة سطح داخلية معينة${\displaystyle S\,\!}$، الذي يحيط بجزء من الجسم، يتعرض لقوة تلامس${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ينشأ عن التلامس بين جزئي الجسم على كل جانب من${\displaystyle S\,\!}$وهو معطى بواسطة

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

أين${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$هو قوة الشد السطحية ، ^{[ 6 ]} ويسمى أيضًا متجه الإجهاد ، ^{[ 7 ]} أو قوة الشد ، ^{[ 8 ]} أو متجه قوة الشد . ^{[ 9 ]} متجه الإجهاد هو متجه غير متأثر بالإطار المرجعي (انظر مبدأ أويلر-كوشي للإجهاد ).

إجمالي قوة التلامس على السطح الداخلي المحدد${\displaystyle S\,\!}$ثم يُعبَّر عنه كمجموع ( تكامل سطحي ) لقوى التلامس على جميع الأسطح التفاضلية${\displaystyle dS\,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

في ميكانيكا الأوساط المتصلة، يُعتبر الجسم خاليًا من الإجهاد إذا كانت القوى الوحيدة الموجودة فيه هي القوى بين الذرات (القوى الأيونية ، والقوى المعدنية ، وقوى فان دير فالس ) اللازمة لتماسك الجسم والحفاظ على شكله في غياب أي مؤثرات خارجية، بما في ذلك الجاذبية. ^{[ 9 ] [ 10 ]} كما تُستثنى الإجهادات المتولدة أثناء تصنيع الجسم وفقًا لتكوين محدد عند دراسة الإجهادات فيه. لذلك، فإن الإجهادات التي تُؤخذ في الاعتبار في ميكانيكا الأوساط المتصلة هي فقط تلك الناتجة عن تشوه الجسم، أي أن التغيرات النسبية في الإجهاد فقط هي التي تُؤخذ في الاعتبار، وليس القيم المطلقة للإجهاد.

قوى الجسم هي قوى تنشأ من مصادر خارجية ^{[ 11 ]} وتؤثر على حجم (أو كتلة) الجسم. القول بأن قوى الجسم ناتجة عن مصادر خارجية يعني أن التفاعل بين أجزاء الجسم المختلفة (القوى الداخلية) يتجلى من خلال قوى التلامس فقط. ^{[ 6 ]} تنشأ هذه القوى من وجود الجسم في مجالات القوى، مثل مجال الجاذبية ( قوى الجاذبية ) أو المجال الكهرومغناطيسي ( القوى الكهرومغناطيسية )، أو من قوى القصور الذاتي عندما تكون الأجسام في حالة حركة. وبما أن كتلة الجسم المتصل تُفترض موزعة بشكل متصل، فإن أي قوة تنشأ من الكتلة تُفترض أيضًا موزعة بشكل متصل. وبالتالي، تُحدد قوى الجسم بواسطة حقول متجهة يُفترض أنها متصلة على كامل حجم الجسم، ^{[ 12 ]} أي أنها تؤثر على كل نقطة فيه. تُمثل قوى الجسم بكثافة قوة الجسم.${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$(لكل وحدة كتلة)، وهو حقل متجه غير مبالٍ بالإطار المرجعي.

في حالة قوى الجاذبية، تعتمد شدة القوة على كثافة الكتلة أو تتناسب معها.${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$من المادة، ويتم تحديدها من حيث القوة لكل وحدة كتلة (${\displaystyle b_{i}\,\!}$) أو لكل وحدة حجم (${\displaystyle p_{i}\,\!}$ترتبط هاتان المواصفتان من خلال كثافة المادة بالمعادلة التالية${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$وبالمثل، تعتمد شدة القوى الكهرومغناطيسية على قوة ( الشحنة الكهربائية ) المجال الكهرومغناطيسي.

تُعبّر القوة الكلية المؤثرة على جسم متصل عن نفسها بالصيغة التالية:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

تؤدي قوى الجسم وقوى التلامس المؤثرة عليه إلى عزم دوران ( عزوم ) مقابل بالنسبة لنقطة معينة. وبالتالي، فإن إجمالي عزم الدوران المطبق${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يُعطى الأصل بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

في بعض الحالات، التي لا تُؤخذ عادةً في الاعتبار عند تحليل السلوك الميكانيكي للمواد، يصبح من الضروري تضمين نوعين آخرين من القوى: وهما إجهادات الازدواج ^{[ ملاحظة 1 ] [ ملاحظة 2 ]} (ازدواج السطح، ^{[ 11 ]} وعزوم التلامس) ^{[ 12 ]} وعزوم الجسم . إجهادات الازدواج هي عزوم لكل وحدة مساحة مُطبقة على سطح ما. أما عزوم الجسم، أو ازدواج الجسم، فهي عزوم لكل وحدة حجم أو لكل وحدة كتلة مُطبقة على حجم الجسم. وكلاهما مهم في تحليل الإجهاد لمادة صلبة عازلة مستقطبة تحت تأثير مجال كهربائي، والمواد التي يُؤخذ فيها التركيب الجزيئي في الاعتبار ( مثل العظام)، والمواد الصلبة تحت تأثير مجال مغناطيسي خارجي، ونظرية الانخلاعات في المعادن. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ]}

تُسمى المواد التي تُظهر عزم دوران وإجهادات ثنائية بالإضافة إلى العزوم الناتجة حصريًا عن القوى بالمواد القطبية . ^{[ 8 ] [ 12 ]} أما المواد غير القطبية فهي تلك المواد التي تُظهر عزوم القوى فقط. في الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الأوساط المتصلة، يستند تطوير نظرية الإجهادات إلى المواد غير القطبية.

وبالتالي، يمكن التعبير عن مجموع جميع القوى والعزوم المؤثرة (بالنسبة إلى أصل نظام الإحداثيات) في الجسم بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

في الوصف اللاغرانجي، يتم وصف موضع الجسيمات وخصائصها الفيزيائية بدلالة الإحداثيات المادية أو المرجعية والزمن. في هذه الحالة، يكون التكوين المرجعي هو التكوين عند${\displaystyle t=0}$يراقب مراقب يقف في إطار مرجعي التغيرات في موضع وخصائص الجسم المادي أثناء تحركه في الفضاء مع مرور الوقت. وتكون النتائج المُتحصل عليها مستقلة عن اختيار الوقت الابتدائي والتكوين المرجعي.${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$يُستخدم هذا الوصف عادةً في ميكانيكا المواد الصلبة .

في الوصف اللاغرانجي، يتم التعبير عن حركة جسم متصل بواسطة دالة التحويل${\displaystyle \chi (\cdot )}$(الشكل 2)،

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

وهو عبارة عن خريطة للتكوين الأولي${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$على التكوين الحالي${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$، مما يعطي تطابقًا هندسيًا بينهما، أي يعطي متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$أن جسيم${\displaystyle X}$، مع متجه موضع${\displaystyle \mathbf {X} }$في التكوين غير المشوه أو المرجعي${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$، سيشغل في التكوين الحالي أو المشوه${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$المكونات${\displaystyle x_{i}}$تُسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات المكانية.

الخصائص الفيزيائية والحركية${\displaystyle P_{ij\ldots }}$أي أن الخصائص الديناميكية الحرارية وسرعة التدفق، التي تصف أو تميز سمات الجسم المادي، يتم التعبير عنها كدوال متصلة للموقع والزمن، أي${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$.

المشتق المادي لأي خاصية${\displaystyle P_{ij\ldots }}$المشتق المادي، الذي قد يكون كمية قياسية أو متجهة أو موترًا، هو معدل تغير تلك الخاصية مع الزمن لمجموعة محددة من جسيمات الجسم المتحرك في الوسط المتصل. يُعرف أيضًا بالمشتق الجوهري ، أو المشتق المصاحب ، أو المشتق الحملي . ويمكن اعتباره معدل تغير الخاصية عند قياسها بواسطة مراقب يتحرك مع تلك المجموعة من الجسيمات.

في الوصف اللاغرانجي، المشتق المادي لـ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$هو ببساطة المشتق الجزئي بالنسبة للزمن، ومتجه الموضع${\displaystyle \mathbf {X} }$يُعتبر ثابتًا لأنه لا يتغير مع مرور الوقت. وبالتالي، لدينا

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

الوضع اللحظي${\displaystyle \mathbf {x} }$هي خاصية للجسيم، ومشتقها المادي هو سرعة التدفق اللحظية.${\displaystyle \mathbf {v} }$للجسيم. لذلك، يُعطى مجال سرعة التدفق للوسط المتصل بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

وبالمثل، يُعطى مجال التسارع بواسطة

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

يُعبَّر عن الاستمرارية في الوصف اللاغرانجي من خلال الاستمرارية المكانية والزمانية للتحويل من التكوين المرجعي إلى التكوين الحالي لنقاط المادة. تُوصَف جميع الكميات الفيزيائية التي تُميِّز الوسط المتصل بهذه الطريقة. وبهذا المعنى، فإن الدالة${\displaystyle \chi (\cdot )}$و${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$هي ذات قيمة واحدة ومتصلة، مع مشتقات متصلة بالنسبة للمكان والزمان إلى أي رتبة مطلوبة، وعادة ما تكون إلى الثانية أو الثالثة.

يسمح مبدأ الاستمرارية بعكس${\displaystyle \chi (\cdot )}$لتتبع موقع الجسيم الحالي إلى الخلف${\displaystyle \mathbf {x} }$تم تحديد موقعه في التكوين الأولي أو المرجعي${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$في هذه الحالة، يتم وصف الحركة من حيث الإحداثيات المكانية، وفي هذه الحالة يسمى الوصف المكاني أو الوصف الأويلري، أي أن التكوين الحالي يعتبر التكوين المرجعي .

يركز الوصف الأويلري على التكوين الحالي${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$يركز هذا النهج على ما يحدث عند نقطة ثابتة في الفضاء مع مرور الوقت، بدلاً من التركيز على الجسيمات الفردية أثناء حركتها عبر المكان والزمان. ويُطبَّق هذا النهج بسهولة في دراسة تدفق الموائع ، حيث تكون الخاصية الحركية الأكثر أهمية هي معدل التغير وليس شكل كتلة المائع عند لحظة زمنية مرجعية. ^{[ 14 ]}

رياضياً، يتم التعبير عن حركة الوسط المتصل باستخدام الوصف الأويلري بواسطة دالة التحويل

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

والذي يوفر تتبعًا للجسيم الذي يشغل الآن الموضع${\displaystyle \mathbf {x} }$في التكوين الحالي${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$إلى موضعها الأصلي${\displaystyle \mathbf {X} }$في التكوين الأولي${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$.

الشرط الضروري والكافي لوجود هذه الدالة العكسية هو أن يكون محدد مصفوفة جاكوبي ، والذي يُشار إليه غالبًا ببساطة باسم جاكوبي، مختلفًا عن الصفر. وبالتالي،

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

في الوصف الأويلري، الخصائص الفيزيائية${\displaystyle P_{ij\ldots }}$يتم التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

حيث الشكل الوظيفي لـ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$لا يُعدّ الوصف اللاغرانجي هو نفسه شكل${\displaystyle p_{ij\ldots }}$في الوصف الأويلري.

المشتق المادي لـ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$باستخدام قاعدة السلسلة، يكون

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

يمثل الحد الأول على الجانب الأيمن من هذه المعادلة معدل التغير المحلي للخاصية${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$يحدث في الموضع${\displaystyle \mathbf {x} }$. الحد الثاني من الجانب الأيمن هو معدل التغير الحملي ويعبر عن مساهمة الجسيم في تغيير موضعه في الفضاء (الحركة).

يُعبَّر عن الاستمرارية في الوصف الأويلري من خلال الاستمرارية المكانية والزمانية وقابلية التفاضل المستمر لحقل سرعة التدفق. تُعرَّف جميع الكميات الفيزيائية بهذه الطريقة في كل لحظة زمنية، في التكوين الحالي، كدالة لمتجه الموضع.${\displaystyle \mathbf {x} }$.

المتجه الذي يربط مواقع الجسيم${\displaystyle P}$يُطلق على متجه الإزاحة اسم متجه الإزاحة في كل من الحالة غير المشوهة والحالة المشوهة.${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$، في الوصف اللاغرانجي، أو${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$، في الوصف الأويلري.

حقل الإزاحة هو حقل متجهي يضم جميع متجهات الإزاحة لجميع الجسيمات في الجسم، ويربط بين التكوين المشوه والتكوين غير المشوه. من الملائم تحليل تشوه أو حركة جسم متصل باستخدام حقل الإزاحة. وبشكل عام، يُعبَّر عن حقل الإزاحة بدلالة إحداثيات المادة كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

أو من حيث الإحداثيات المكانية كما

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

أين${\displaystyle \alpha _{Ji}}$هي جيوب تمام الاتجاه بين نظامي الإحداثيات المادية والمكانية ذات متجهات الوحدة.${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$و${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$على التوالي. وبالتالي

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

والعلاقة بين${\displaystyle u_{i}}$و${\displaystyle U_{J}}$ثم يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

مع العلم أن

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

ثم

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

من الشائع تراكب أنظمة الإحداثيات للتكوينات غير المشوهة والمشوهة، مما ينتج عنه${\displaystyle \mathbf {b} =0}$وتصبح جيوب التمام الاتجاهية دلتا كرونكر ، أي

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

وهكذا، لدينا

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

أو من حيث الإحداثيات المكانية كما

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

يترك${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ليكن كمية فيزيائية تتدفق عبر الجسم.${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$تكون مصادر على سطح الجسم وتترك${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$تكون مصادر داخل الجسم.${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$ليكن العمودي الخارجي على السطح${\displaystyle \partial \Omega }$. يترك${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$لتكن سرعة تدفق الجسيمات الفيزيائية التي تحمل الكمية الفيزيائية المتدفقة. ولتكن أيضًا سرعة السطح المحيط.${\displaystyle \partial \Omega }$سينتقل${\displaystyle u_{n}}$(في الاتجاه)${\displaystyle \mathbf {n} }$).

بعد ذلك، يمكن التعبير عن قوانين التوازن في الشكل العام

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

الوظائف${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$،${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$، و${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$يمكن أن تكون القيم قياسية أو متجهة أو موترية، وذلك بحسب الكمية الفيزيائية التي تتعامل معها معادلة التوازن. وفي حال وجود حدود داخلية في الجسم، يجب تحديد انقطاعات القفز في قوانين التوازن.

إذا أخذنا وجهة نظر أويلر ، فيمكن إثبات أن قوانين توازن الكتلة والزخم والطاقة لجسم صلب يمكن كتابتها على النحو التالي (بافتراض أن حد المصدر يساوي صفرًا لمعادلات الكتلة والزخم الزاوي).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

في المعادلات أعلاه${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$هي كثافة الكتلة (التيار)، ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$هي المشتقة الزمنية المادية لـ${\displaystyle \rho }$،${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$هي سرعة الجسيم،${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$هي المشتقة الزمنية المادية لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$،${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$هو موتر إجهاد كوشي ،${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$هي كثافة قوة الجسم،${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$هي الطاقة الداخلية لكل وحدة كتلة،${\displaystyle {\dot {e}}}$هي المشتقة الزمنية المادية لـ${\displaystyle e}$،${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$هو متجه تدفق الحرارة، و${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$يمثل مصدر طاقة لكل وحدة كتلة. يتم تعريف المؤثرات المستخدمة أدناه .

بالنسبة للتكوين المرجعي (من وجهة نظر لاغرانج)، يمكن كتابة قوانين التوازن على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

في ما سبق،${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$هو أول موتر إجهاد بيولا-كيرشوف ، و ${\displaystyle \rho _{0}}$تمثل كثافة الكتلة في التكوين المرجعي. يرتبط موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول بموتر إجهاد كوشي بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

يمكننا بدلاً من ذلك تعريف موتر الإجهاد الاسمي${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$وهو منقول موتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول بحيث

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

ثم تصبح قوانين التوازن

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

يمكن استخدام متباينة كلاوزيوس -دوهيم للتعبير عن القانون الثاني للديناميكا الحرارية للمواد المرنة اللدنة. وتُعد هذه المتباينة بيانًا يتعلق بعدم انعكاسية العمليات الطبيعية، لا سيما عند وجود تبديد للطاقة.

كما هو الحال في قوانين التوازن في القسم السابق، نفترض وجود تدفق لكمية ما، ومصدر لهذه الكمية، وكثافة داخلية لهذه الكمية لكل وحدة كتلة. الكمية محل الاهتمام في هذه الحالة هي الإنتروبيا. لذا، نفترض وجود تدفق للإنتروبيا، ومصدر للإنتروبيا، وكثافة داخلية للكتلة.${\displaystyle \rho }$والإنتروبيا النوعية الداخلية (أي الإنتروبيا لكل وحدة كتلة)${\displaystyle \eta }$في المنطقة محل الاهتمام.

يترك${\displaystyle \Omega }$كن مثل هذه المنطقة ودع${\displaystyle \partial \Omega }$ليكن حدها. ثم ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على أن معدل زيادة ${\displaystyle \eta }$في هذه المنطقة يكون أكبر من أو يساوي مجموع ما يتم توفيره لـ${\displaystyle \Omega }$(كتدفق أو من مصادر داخلية) وتغير كثافة الإنتروبيا الداخلية${\displaystyle \rho \eta }$بسبب تدفق المواد من وإلى المنطقة.

يترك${\displaystyle \partial \Omega }$يتحرك بسرعة التدفق${\displaystyle u_{n}}$ودع الجزيئات تدخل${\displaystyle \Omega }$لها سرعات${\displaystyle \mathbf {v} }$. يترك${\displaystyle \mathbf {n} }$ليكن العمودي الخارجي للوحدة على السطح${\displaystyle \partial \Omega }$. يترك${\displaystyle \rho }$لتكن كثافة المادة في المنطقة،${\displaystyle {\bar {q}}}$ليكن تدفق الإنتروبيا على السطح، و${\displaystyle r}$ليكن مصدر الإنتروبيا لكل وحدة كتلة. عندئذٍ، يمكن كتابة متباينة الإنتروبيا على النحو التالي:

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

يمكن ربط تدفق الإنتروبيا القياسي بتدفق المتجهات على السطح من خلال العلاقة التالية:${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$بافتراض ظروف متساوية الحرارة تدريجيًا، لدينا

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {q} }$هو متجه تدفق الحرارة،${\displaystyle s}$هو مصدر طاقة لكل وحدة كتلة، و${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة المطلقة لنقطة مادية عند${\displaystyle \mathbf {x} }$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$.

ثم لدينا متباينة كلاوزيوس-دوهيم في شكل تكاملي:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

يمكننا أن نبين أن متباينة الإنتروبيا يمكن كتابتها في صورة تفاضلية كما يلي:

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

من حيث إجهاد كوشي والطاقة الداخلية، يمكن كتابة متباينة كلاوزيوس-دوهيم على النحو التالي

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

• أتاناسكوفيتش، تيودور م.؛ غوران، أردشير (16 يونيو 2000). نظرية المرونة للعلماء والمهندسين . كتب دوفر في الفيزياء. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-8176-4072-9.
• تشادويك، بيتر (1 يناير 1999). ميكانيكا الأوساط المتصلة: نظرية ومسائل موجزة . دار نشر كورير. رقم ISBN 978-0-486-40180-5.
• دينيس، جيه كيه؛ سوليم، جيه سي (1999). "السلوك غير الخطي لبعض الرغوات المطاطية المتجانسة المجهدة هيدروستاتيكيًا" . أكتا ميكانيكا . 138 ( 3-4 ): 155-162 . doi : 10.1007/BF01291841 . S2CID 120320672 . 

• فونغ، واي سي (1977). مدخل إلى ميكانيكا الأوساط المتصلة (  الطبعة الثانية). برنتيس هول، إنك. ISBN 978-0-13-318311-5.
• ايرجنس ، فريدتجوف (10 يناير 2008). ميكانيكا الاستمرارية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-3-540-74298-2.
• ليو، إي-شيه (28 مايو 2002). ميكانيكا الأوساط المتصلة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-43019-3.
• لوبلينر، جاكوب (2008). نظرية اللدونة (ملف PDF) (  طبعة منقحة). منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46290-5تمت أرشفة هذا الملف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 31 مارس 2010.

• أوستوجا-ستارزيفسكي، م. (2008). "7-10" . العشوائية الميكروية والقياس في ميكانيكا المواد . مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-58488-417-0.

• سبنسر، أ. ج. م. (1980). ميكانيكا الأوساط المتصلة . مجموعة لونغمان المحدودة (لندن). ص  83. ISBN 978-0-582-44282-5.

• روبرتس، أ. ج. (1994). مقدمة أحادية البعد لميكانيكا الأوساط المتصلة . وورلد ساينتيفيك.

• سميث، دونالد ر. (1993). "2" . مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة - على غرار تروسديل ونول . ميكانيكا المواد الصلبة وتطبيقاتها. المجلد  22. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-90-481-4314-6.
• وو هان تشين (20 ديسمبر 2004). ميكانيكا الاستمرارية واللدونة . تايلور وفرانسيس. رقم ISBN 978-1-58488-363-0.

• باترا، آر سي (2006). عناصر ميكانيكا الأوساط المتصلة . ريستون، فيرجينيا: AIAA.

• بيرترام، ألبريشت (2012). مرونة ولدونة التشوهات الكبيرة - مقدمة (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-24615-9 . ISBN 978-3-642-24615-9. S2CID 116496103 . 

• تشاندرا مولي، بي إن (2014). ميكانيكا الأوساط المتصلة . دار نشر يس دي المحدودة. رقم ISBN 9789380381398أُرشف من المصدر الأصلي في 4 أغسطس 2018. تم الاطلاع عليه في 24 مارس 2014 .

• إيرينجن، أ. جمال (1980). ميكانيكا الاستمرارية (الطبعة الثانية  ). شركة كريجر بوب ISBN 978-0-88275-663-9.

• تشين، يوبينغ؛ جيمس د. لي؛ عظيم إسكندريان (2009). طرق غير شبكية في ميكانيكا المواد الصلبة (الطبعة الأولى  ). سبرينغر نيويورك. ISBN 978-1-4419-2148-2.

• ديل، إليس هارولد (2006). ميكانيكا الأوساط المتصلة: المرونة، اللدونة، اللزوجة المرنة . ألمانيا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-8493-9779-0.

• ديميتريينكو، يوري (2011). ميكانيكا الأوساط المتصلة غير الخطية والتشوهات غير المرنة الكبيرة . ألمانيا: سبرينغر. ISBN 978-94-007-0033-8.

• هوتر، كولومبان؛ كلاوس جونك (2004). أساليب الاستمرارية في النمذجة الفيزيائية . ألمانيا: سبرينغر. ISBN 978-3-540-20619-4.

• جورتين، م. إ. (1981). مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة . نيويورك: دار النشر الأكاديمية.

• لاي، دبليو. مايكل؛ ديفيد روبين؛ إرهارد كريمبل (1996). مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة (الطبعة الثالثة  ). إلسيفير، إنك. ISBN 978-0-7506-2894-5تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 6 فبراير 2009.

• لوباردا، فلادو أ. (2001). نظرية اللدونة المرنة . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. رقم ISBN 978-0-8493-1138-3.

• مالفيرن، لورانس إي. (1969). مقدمة في ميكانيكا الوسط المتصل . نيو جيرسي: برنتيس هول، إنك.

• ماس، جورج إي. (1970). ميكانيكا الأوساط المتصلة . ماكجرو هيل بروفيشنال. ISBN 978-0-07-040663-6.

• ماس، جي. توماس؛ جورج إي. ماس (1999). ميكانيكا الأوساط المتصلة للمهندسين (  الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-8493-1855-9.

• ماوجين، جي إيه (1999). الديناميكا الحرارية للسلوكيات غير الخطية غير العكوسة: مقدمة . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك.
• نعمت ناصر، سيا (2006). اللدونة: دراسة في التشوه المحدود للمواد غير المرنة غير المتجانسة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-83979-2.

• أوستوجا-ستارزيفسكي، مارتن (2008). العشوائية الميكروية والقياس في ميكانيكا المواد . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي برس. ISBN 978-1-58488-417-0.

• ريس، ديفيد (2006). أساسيات اللدونة الهندسية - مقدمة مع تطبيقات هندسية وتصنيعية . باتروورث-هاينمان. ISBN 978-0-7506-8025-7.

• رايت، تي دبليو (2002). فيزياء ورياضيات نطاقات القص الأديباتية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج.