الديناميكا المحيطة

الديناميكا المحيطية هي صياغة غير محلية لميكانيكا الأوساط المتصلة ، موجهة نحو التشوهات المصحوبة بانقطاعات، وخاصة الكسور . في الأصل، تم تقديم الديناميكا المحيطية القائمة على الروابط ، ^{[ 1 ]} حيث يتم نمذجة قوى التفاعل الداخلية بين نقطة مادية وجميع النقاط الأخرى التي يمكن أن تتفاعل معها، كمجال قوة مركزي . ^{[ 2 ]} يمكن تخيل هذا النوع من مجال القوة كشبكة من الروابط التي تربط كل نقطة من الجسم بكل نقطة تفاعل أخرى ضمن مسافة معينة تعتمد على خاصية مادية، تسمى أفق الديناميكا المحيطية . لاحقًا، للتغلب على قيود الإطار القائم على الروابط لنسبة بواسون للمادة ^{[ 3 ] [ 4 ]} (${\displaystyle 1/3}$للإجهاد المستوي و${\displaystyle 1/4}$بالنسبة للإجهاد المستوي في التكوينات ثنائية الأبعاد؛${\displaystyle 1/4}$بالنسبة للحالات ثلاثية الأبعاد، تمّت صياغة ديناميكيات المحيط القائمة على الحالة . ^{[ 5 ]} وتتمثل سمتها المميزة في أن القوة المتبادلة بين نقطة وأخرى تتأثر بحالة تشوه جميع الروابط الأخرى بالنسبة لمنطقة التفاعل الخاصة بها. ^{[ 1 ]}

إن السمة المميزة للديناميكا المحيطية، والتي تجعلها مختلفة عن الميكانيكا المحلية الكلاسيكية، هي وجود روابط ذات مدى محدود بين أي نقطتين من الجسم المادي: وهي سمة تقترب من هذه الصيغ مثل نظريات المادة المنفصلة على المستوى المتوسط. ^{[ 1 ]}

مصطلح "الديناميكي المحيطي" (peridynamic ) كصفة، طُرح في عام 2000، وهو مشتق من البادئة "peri- " التي تعني " حول" أو "قريب " أو "مُحيط "، والجذر "dyna" الذي يعني "القوة" أو "القدرة" . أما مصطلح "الديناميكي المحيطي" (peridynamic) كاسم، فهو اختصار لعبارة " النموذج الديناميكي المحيطي لميكانيكا المواد الصلبة". ^{[ 1 ]}

يُعدّ الكسر حالةً رياضيةً شاذةً لا يمكن تطبيق المعادلات الكلاسيكية لميكانيكا الأوساط المتصلة عليها مباشرةً. وقد طُرحت نظرية الديناميكا المحيطية بهدف نمذجة تكوّن الكسور وديناميكيتها في المواد المرنة رياضيًا. ^{[ 1 ]} وهي تقوم على المعادلات التكاملية ، على عكس ميكانيكا الأوساط المتصلة الكلاسيكية التي تعتمد على المعادلات التفاضلية الجزئية . ولأن المشتقات الجزئية غير موجودة على أسطح الشقوق ^{[ 1 ]} وغيرها من الحالات الهندسية الشاذة، فلا يمكن تطبيق المعادلات الكلاسيكية لميكانيكا الأوساط المتصلة مباشرةً عند وجود هذه الخصائص في التشوه . تُطبّق المعادلات التكاملية لنظرية الديناميكا المحيطية أيضًا على الحالات الشاذة، ويمكن تطبيقها مباشرةً، لأنها لا تتطلب مشتقات جزئية. تُساعد إمكانية تطبيق المعادلات نفسها مباشرةً على جميع النقاط في النموذج الرياضي لبنية مُتشوّهة، منهج الديناميكا المحيطية على تجنّب الحاجة إلى التقنيات الخاصة بميكانيكا الكسور مثل طريقة العناصر المحدودة المُوسّعة (xFEM) . ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، في الديناميكا المحيطية، لا حاجة إلى قانون نموّ منفصل للشقوق قائم على عامل شدّة الإجهاد . ^{[ 7 ]}

في سياق نظرية الديناميكا المحيطية، تُعامل الأجسام الفيزيائية على أنها تتكون من شبكة نقاط متصلة يمكنها تبادل قوى التفاعل المتبادل بعيدة المدى، ضمن مسافة قصوى ومحددة جيدًا.${\displaystyle \delta >0}$نصف قطر الأفق المحيطي الديناميكي : يقترب هذا المنظور من ديناميكيات الجزيئات أكثر من الأجسام العيانية ، ونتيجة لذلك، فهو لا يعتمد على مفهوم موتر الإجهاد (وهو مفهوم محلي) ويتجه نحو فكرة القوة الثنائية التي تؤثر على نقطة مادية.${\displaystyle {\bf {x}}}$التبادلات ضمن أفقها المحيطي الديناميكي. من منظور لاغرانجي ، مناسب للإزاحات الصغيرة، يُعتبر الأفق المحيطي الديناميكي ثابتًا في التكوين المرجعي، ثم يتشوه مع الجسم. ^{[ 3 ]} لنفترض جسمًا ماديًا ممثلًا بـ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$، أين${\displaystyle n}$يمكن أن تكون القيمة 1 أو 2 أو 3. يتميز الجسم بكثافة موجبة.${\displaystyle \rho }$يُشار إلى تكوينها المرجعي في الوقت الأولي بـ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$يمكن أن يكون التكوين المرجعي إما التكوين الخالي من الإجهاد أو تكوينًا محددًا للجسم يتم اختياره كمرجع. في سياق ديناميكيات المحيط، كل نقطة في$أوميغا$يتفاعل مع جميع النقاط${\displaystyle {\bf {x}}'}$ضمن نطاق معين محدد بواسطة${\displaystyle d({\bf {x}},{\bf {x}}')\leq \delta }$، أين${\displaystyle \delta >0}$و${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$يمثل دالة مسافة مناسبة على${\displaystyle \Omega _{0}}$يُشار إلى هذا الحي غالبًا باسم${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$في الأدبيات. ويُعرف عادةً باسم الأفق ^{[ 7 ] [ 8 ]} أو عائلة${\displaystyle {\bf {x}}}$[ ^{3 ] [ 9 ]​}

حركية​​${\displaystyle {\bf {x}}}$يتم وصفها من حيث إزاحتها عن الموضع المرجعي، المشار إليه بـ${\displaystyle {\bf {u}}({\bf {x}},t):\Omega _{0}\times \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$وبالتالي، فإن موقع${\displaystyle {\bf {x}}}$في وقت محدد${\displaystyle t}$يتم تحديده بواسطة${\displaystyle {\bf {y}}({\bf {x}},t):={\bf {x}}+{\bf {u}}({\bf {x}},t)}$علاوة على ذلك، بالنسبة لكل زوج من النقاط المتفاعلة، يتم تتبع التغير في طول الرابطة بالنسبة إلى التكوين الأولي بمرور الوقت من خلال الإجهاد النسبي${\displaystyle s({\bf {x}},{\bf {x}}',t)}$والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle s\left({\bf {x}},{\bf {x}}',t\right)={\frac {\left|{\bf {u}}\left({\bf {x}}^{\prime },t\right)-{\bf {u}}({\bf {x}},t)\right|}{\left|{\bf {x}}^{\prime }-{\bf {x}}\right|}},}$

أين${\displaystyle |\cdot |}$يشير إلى المعيار الإقليدي ^{[ 3 ]} و${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})\cap \Omega _{0}}$.

التفاعل بين أي${\displaystyle {\bf {x}}}$و${\displaystyle {\bf {x'}}}$يُشار إليه باسم الرابطة . وتختلف أطوال هذه الروابط الثنائية بمرور الوقت استجابةً للقوة لكل وحدة حجم مربعة، ويرمز لها بـ ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\bf {f}}\equiv {\bf {f}}({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}'),{\bf {u}}({\bf {x}}),t)}$.

تُعرف هذه القوة عادةً باسم دالة القوة الثنائية أو النواة الديناميكية المحيطية ، وهي تشمل جميع الخصائص المكونة (المعتمدة على المادة). وهي تصف كيفية اعتماد القوى الداخلية على التشوه. ومن الجدير بالذكر أن اعتماد${\displaystyle {\bf {u}}}$على${\displaystyle t}$تم حذف هذا المصطلح هنا لتبسيط الترميز. بالإضافة إلى ذلك، يوجد حدّ خارجي قسري،${\displaystyle \mathbf {b} ({\bf {x}},t)}$يتم إدخال ، مما ينتج عنه معادلة الحركة التالية، والتي تمثل المعادلة الأساسية لديناميكيات المحيط: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\rho {\bf {u}}_{tt}({\bf {x}},t)={\bf {F}}({\bf {x}},t)}\,.}$

حيث الحد التكاملي${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t)}$هو مجموع جميع القوى الداخلية والخارجية المؤثرة على وحدة الحجم${\displaystyle {\bf {x}}}$:

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

الدالة ذات القيم المتجهة${\displaystyle {\bf {f}}}$هي كثافة القوة التي${\displaystyle {\bf {x'}}}$يبذل جهوداً على${\displaystyle {\bf {x}}}$تعتمد كثافة القوة هذه على متجهات الإزاحة النسبية ومتجهات الموضع النسبية بين${\displaystyle {\bf {x'}}}$و${\displaystyle {\bf {x}}}$أبعاد​​${\displaystyle {\bf {f}}}$يكون${\displaystyle [N/m^{6}]}$[ ^{3 ]​}

في هذا النموذج للديناميكا المحيطية، تُحدد النواة بطبيعة القوى الداخلية والقيود الفيزيائية التي تحكم التفاعل بين نقطتين ماديتين فقط. وللاختصار، تُعرَّف الكميات التالية ${\displaystyle {\bf {\bf {\xi }}}:={\bf {x}}'-{\bf {x}}}$و${\displaystyle {\bf {\eta }}:={\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}})}$بحيث ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {x}}'-{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}}))\equiv {\bf {{f}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}}}$

تعابير النواة الديناميكية المحيطية

تُعدّ نواة الديناميكا المحيطية دالة متعددة الاستخدامات تُميّز السلوك البنيوي للمواد ضمن إطار نظرية الديناميكا المحيطية. إحدى الصيغ الشائعة لهذه النواة تُستخدم لوصف فئة من المواد تُعرف باسم المواد الهشة المرنة الدقيقة النموذجية (PMB). في حالة مواد PMB المتجانسة، يُفترض أن القوة الثنائية تتناسب خطيًا مع التمدد المحدود ^{[ 7 ]} الذي تتعرض له المادة، والذي يُعرّف على النحو التالي:

${\displaystyle s:=(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|)/|{\bf {\xi }}|}$،

لهذا السبب.

${\displaystyle \mathbf {f} ({\bf {\eta }},{\bf {\xi }})=f(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,|{\bf {\xi }}|){\bf {{n},}}}$

أين

${\displaystyle {\bf {{n}:=({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }})/|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|}}}$

وحيث الدالة العددية${\displaystyle f}$يتم تعريفها على النحو التالي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle f=cs\mu (s,t)=c\;{\frac {|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|}{|{\bf {\xi }}|}}\mu (s,t),}$مع

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

الثابت${\displaystyle c}$يُشار إليه باسم ثابت المعامل الصغير ، والدالة${\displaystyle \mu (s,t)}$يُستخدم للإشارة إلى ما إذا كان، في وقت معين${\displaystyle t'\leq t}$، امتداد الرابطة${\displaystyle s}$مرتبط بالزوج${\displaystyle ({\bf {x,\,x'}})}$تجاوز القيمة الحرجة${\displaystyle s_{0}}$إذا تم تجاوز القيمة الحرجة، يُعتبر الرابط منقطعًا ، وتُخصص قوة ثنائية تساوي صفرًا للجميع.${\displaystyle t\geq t'}$[ ^{1 ]​}

بعد إجراء مقارنة بين قيمة كثافة طاقة الانفعال التي تم الحصول عليها في ظل التمدد المتساوي الخواص باستخدام إطار نظرية الديناميكا المحيطية وإطار نظرية الوسط المتصل الكلاسيكية، فإن القيمة الفيزيائية المتماسكة للمعامل الميكروي${\displaystyle c}$يمكن العثور على ^{[ 7 ]}

${\displaystyle c={\frac {18k}{\pi \delta ^{4}}},}$

أين${\displaystyle k}$معامل المرونة الحجمية للمادة .

باتباع نفس النهج ^{[ 10 ]} ثابت المعامل الصغير${\displaystyle c}$يمكن توسيعه ليشمل${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta )}$، أين${\displaystyle c}$أصبحت الآن دالة معامل دقيق . توفر هذه الدالة وصفًا أكثر تفصيلًا لكيفية توزيع شدة القوى الثنائية على الأفق المحيطي الديناميكي.${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$وبشكل بديهي، تتناقص شدة القوى كلما زادت المسافة بين${\displaystyle {\bf {x}}}$و${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})}$تزداد، ولكن الطريقة المحددة التي يحدث بها هذا الانخفاض يمكن أن تختلف.

يتم التعبير عن دالة المعامل الصغير على النحو التالي ^{[ 11 ]}

${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta ):=c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )\,,}}}$

حيث الثابت${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )}}}$يتم الحصول عليها من خلال مقارنة كثافة الإجهاد المحيطي الديناميكي مع النظريات الميكانيكية الكلاسيكية؛ ^{[ 12 ]}${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$هي دالة معرفة على${\displaystyle \Omega _{0}}$مع الخصائص التالية (مع الأخذ في الاعتبار قيود حفظ الزخم والتماثل) ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}k({\bf {\xi }},\delta )=k(-{\bf {\xi }},\delta )\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow {\bf {0}}}k({\bf {\xi }},\delta )=\max _{{\bf {\xi }}\ \in \mathbb {R} ^{n}}\{k({\bf {\xi }},\delta )\}\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow \delta }k({\bf {\xi }},\delta )=0\,,\\\int _{\mathbb {R} ^{n}}\lim _{\delta \rightarrow 0}k({\bf {\xi }},\delta )d{\bf {x}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta ({\bf {\xi }})d{\bf {x}}=1\,,\end{array}}\right.}$

أين${\displaystyle \Delta ({\bf {\xi }})}$هي دالة ديراك دلتا .

معامل المرونة الأسطواني الدقيق

أبسط تعبير لدالة المعامل الصغير هو ^{[ 11 ]}

${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )=c{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}}}}}}$،

أين${\displaystyle {\bf {{1}_{A}}}}$:${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة المؤشر للمجموعة الفرعية${\displaystyle A\subset X}$، كما هو مُعرَّف

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A\,,\\0,&x\notin A\,,\end{cases}}\;\;;}$

معامل المرونة الصغير المثلثي

يتميز بـ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$أن تكون دالة خطية ^{[ 13 ]}

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-{\frac {|{\bf {\xi }}|}{\delta }}\right){\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

معامل المرونة الميكروي الطبيعي

إذا أراد المرء أن يعكس حقيقة أن معظم الأنظمة الفيزيائية المنفصلة الشائعة تتميز بتوزيع ماكسويل-بولتزمان ، من أجل تضمين هذا السلوك في ديناميكيات المحيط، فإن التعبير التالي لـ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$يمكن الاستفادة من ^{[ 14 ]}

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=e^{-(|{\bf {\xi }}|/\delta )^{2}}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')};}}}$

معامل الصغر الرباعي

يمكن أيضاً إيجاد التعبير التالي في الأدبيات لـ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$الدالة ^{[ 11 ]}

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-\left({\frac {\xi }{\delta }}\right)^{2}\right)^{2}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

بشكل عام، وبحسب خاصية المادة المحددة المراد نمذجتها، توجد مجموعة واسعة من الصيغ لمعامل المرونة الجزئي، وبشكل عام، لنواة الديناميكا المحيطية. لذا، فإن القائمة أعلاه ليست شاملة. ^{[ 11 ]}

يُدمج التلف في دالة القوة الثنائية من خلال السماح للروابط بالانكسار عندما يتجاوز استطالتها قيمة محددة. بعد انكسار الرابطة، تتوقف عن تحمل أي قوة، وتنفصل نقاط النهاية فعليًا عن بعضها. عند انكسار الرابطة، تُعاد توزيع القوة التي كانت تحملها على روابط أخرى لم تنكسر بعد. هذا الحمل المتزايد يزيد من احتمالية انكسار هذه الروابط الأخرى. عملية انكسار الروابط وإعادة توزيع الحمل، مما يؤدي إلى مزيد من الانكسار، هي كيفية نمو الشقوق في نموذج الديناميكا المحيطية. ^{[ 7 ]}

من الناحية التحليلية، يتم تحديد كسر الرابطة داخل تعبير النواة الديناميكية المحيطية، بواسطة الدالة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

إذا كان الرسم البياني لـ${\displaystyle {\bf {f}}(s,t)}$مقابل تمدد الرابطة${\displaystyle s}$يتم رسم تأثير دالة كسر الرابطة${\displaystyle \mu }$يتضح ذلك في تكوين الكسور. ومع ذلك، لا يمكن نمذجة الكسور المفاجئة فقط في إطار الديناميكا المحيطية، بل توجد تعبيرات أكثر عمومية لـ${\displaystyle \mu }$يمكن استخدامها. ^{[ 7 ]}

تفترض النظرية المذكورة أعلاه أن كل رابطة ديناميكية محيطية تستجيب بشكل مستقل عن جميع الروابط الأخرى. وهذا تبسيط مفرط لمعظم المواد، ويؤدي إلى قيود على أنواع المواد التي يمكن نمذجتها. وعلى وجه الخصوص، يعني هذا الافتراض أن أي جسم صلب متجانس الخواص ومرن خطيًا يقتصر على نسبة بواسون تساوي 1/4. ^{[ 3 ]}

لمعالجة هذا النقص في العمومية، طُرح مفهوم الحالات المحيطية الديناميكية . يسمح هذا الإطار بأن تعتمد كثافة القوة في كل رابطة على تمدد جميع الروابط المتصلة بنهاياتها، بالإضافة إلى تمددها الذاتي. على سبيل المثال، يمكن أن تعتمد القوة في رابطة ما على صافي تغيرات الحجم عند نهاياتها. ويحدد تأثير هذا التغير في الحجم، نسبةً إلى تأثير تمدد الرابطة، نسبة بواسون . باستخدام الحالات المحيطية الديناميكية، يمكن نمذجة أي مادة يمكن نمذجتها ضمن النظرية القياسية لميكانيكا الأوساط المتصلة كمادة محيطية ديناميكية، مع الاحتفاظ بمزايا نظرية المحيطية الديناميكية للكسر. ^{[ 5 ]}

رياضياً، معادلة حد القوة الداخلية والخارجية

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

^{يتم استبدال [ 5 ]} المستخدم في التركيبات القائمة على الروابط${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{B_{\delta }({\bf {x}})}\left\{{\underline {\mathbf {T} }}[\mathbf {x} ,t]\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle -{\underline {\mathbf {T} }}\left[\mathbf {x} ^{\prime },t\right]\left\langle \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right\rangle \right\}dV_{\mathbf {x} ^{\prime }}+\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t),}$

أين${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$هو حقل حالة متجه القوة.

حالة عامة من الرتبة m${\displaystyle {\underline {\mathbf {A} }}\langle \cdot \rangle :B_{\delta }({\bf {x}})\rightarrow {\mathcal {L}}_{m}.}$هو كائن رياضي مشابه للموتر ، باستثناء أنه ^{[ 5 ]}

• بشكل عام غير خطي؛
• بشكل عام غير متصل؛
• ليس ذا أبعاد محدودة.

الحالات المتجهة هي حالات من الرتبة تساوي 2. بالنسبة لما يسمى بالمادة البسيطة ،${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}:={\underline {\mathbf {\hat {T}} }}({\underline {\mathbf {Y} }})}$

أين${\displaystyle {\underline {\mathbf {\hat {T}} }}:{\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {V}}}$هي دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان على${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$، و ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}}$يُطلق عليه اسم حقل حالة متجه التشوه ويتم تعريفه بالعلاقة التالية ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}[\mathbf {x} ,t]\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {y} (\mathbf {x} +{\boldsymbol {\xi }},t)-\mathbf {y} (\mathbf {x} ,t)\quad \forall \mathbf {x} \in \Omega _{0},\xi \in B_{\delta }({\bf {x}}),t\geq 0}$

هكذا${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle }$هي صورة الرابطة${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} }$تحت التشوه

بحيث

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {0} {\text{ if and only if }}{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {0} ,}$

وهذا يعني أن جسيمين مختلفين لا يشغلان نفس النقطة أبدًا مع تقدم التشوه. ^{[ 5 ]}

يمكن إثبات ^{[ 5 ]} أن توازن الزخم الخطي ينتج عن تعريف${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x,\,t}})}$بينما، إذا كانت العلاقة التكوينية من النوع الذي

${\displaystyle \int _{B_{\delta }({\bf {x}})}{\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle \times {\underline {\mathbf {T} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle dV_{\boldsymbol {\xi }}=0\quad \forall {\underline {\mathbf {Y} }}\in {\mathcal {V}}}$

^{[ 5 ]} يحقق مجال حالة متجه القوة توازن الزخم الزاوي.

ينبع الاهتمام المتزايد بديناميكيات المحيط ^{[ 6 ]} من قدرتها على سد الفجوة بين النظريات الذرية للمادة وميكانيكا الأوساط المتصلة المحلية الكلاسيكية. تُطبق هذه الديناميكيات بفعالية على الظواهر الميكروسكوبية، مثل تشكل الشقوق وانتشارها ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} ، وتشتت الموجات ^{[ 18 ] [ 19 ]،} والكسر داخل الحبيبات ^{[ 20 ]} . ويمكن وصف هذه الظواهر من خلال ضبط نصف قطر أفق ديناميكيات المحيط بشكل مناسب، والذي يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمدى التفاعلات غير المحلية بين النقاط داخل المادة ^{[ 21 ] .}

إضافةً إلى مجالات البحث المذكورة آنفًا، وجدت منهجية الديناميكا المحيطية غير المحلية لمعالجة الانقطاعات تطبيقاتٍ في مجالاتٍ أخرى متنوعة. ففي الجيوميكانيكا ، استُخدمت لدراسة تشققات التربة الناتجة عن الماء، ^{[ 22 ] [ 23 ]} وانهيار المواد الجيولوجية ، ^{[ 24 ]} وتفتت الصخور، ^{[ 25 ] [ 26 ]} وغيرها. وفي علم الأحياء ، استُخدمت الديناميكا المحيطية لنمذجة التفاعلات بعيدة المدى في الأنسجة الحية ، ^{[ 27 ]} وتمزقات الخلايا، وتصدع الأغشية الحيوية ، ^{[ 28 ]} وغيرها. ^{[ 6 ]} علاوةً على ذلك، وُسِّعت نطاق الديناميكا المحيطية لتشمل نظرية الانتشار الحراري ، ^{[ 29 ] [ 30 ]} مما مكّن من نمذجة التوصيل الحراري في المواد التي تحتوي على انقطاعات وعيوب وعدم تجانس وتشققات. كما طُبقت هذه الطريقة لدراسة ظواهر الحمل والانتشار في السوائل متعددة الأطوار ^{[ 31 ]} ، ولإنشاء نماذج لمسائل الحمل والانتشار العابرة ^{[ 32 ]} . وبفضل تنوعها، استُخدمت ديناميكيات المحيط في تحليلات متعددة الفيزياء ، بما في ذلك تحليل البنية المجهرية ^{[ 33 ]} ، والإجهاد والتوصيل الحراري في المواد المركبة ^{[ 34 ] [ 35 ]} ، والتآكل الجلفاني في المعادن ^{[ 36 ]} ، والتشققات الناتجة عن الكهرباء في المواد العازلة، وغيرها ^{[ 6 ] .}

• ميكانيكا الأوساط المتصلة
• ميكانيكا الكسور
• الأوتومات الخلوي المتحرك
• الديناميكا الجزيئية
• مشغل غير محلي
• التفرد
• شوفان لي

• بوبارو، فلورين؛ فوستر، جون ت.؛ جوبيل، فيليب هـ.؛ سيلينج، ستيوارت أ.، محرران. (2016). دليل نمذجة الديناميكا المحيطية . التقدم في الرياضيات التطبيقية. بوكا راتون، لندن، نيويورك: مطبعة سي آر سي، مجموعة تايلور وفرانسيس، كتاب تشابمان وهول. ISBN 978-1-4822-3044-4.
• أوتيركوس، إركان؛ أوتيركوس، سيلدا؛ مادينسي، أردوغان (24-04-2021). نمذجة الديناميكا المحيطية، والتقنيات العددية، والتطبيقات . إلسيفير. ISBN 978-0-12-820441-2.
• رابتشوك، تيمون؛ رين، هويلونغ؛ تشوانغ، شياوينغ (15 فبراير 2023). الأساليب الحسابية القائمة على الديناميكا المحيطية والمؤثرات غير المحلية: النظرية والتطبيقات . سبرينغر نيتشر. ISBN 978-3-031-20906-2.
• ديليا، مارتا؛ لي، شينغجي؛ سيليسون، بابلو؛ تيان، شياوتشوان؛ يو، يو (مارس 2022). "مراجعة لطرق الاقتران بين الموضعي وغير الموضعي في الانتشار غير الموضعي والميكانيكا غير الموضعية" . مجلة الديناميكا المحيطية والنمذجة غير الموضعية . 4 (1): 1-50 . arXiv : 1912.06668 . doi : 10.1007/ s42102-020-00038-7 . ISSN 2522-896X . OSTI 1833985. S2CID 257114051 .   
• بوبارو، فلورين؛ تشين، زيغوانغ؛ جعفرزاده، سيافاش (2023-12-01). أضرار التآكل والكسر الناتج عن التآكل: النمذجة والحسابات الديناميكية المحيطية . إلسيفير. ISBN 978-0-12-823174-6.

• مستودع PeriLab مفتوح المصدر لديناميكيات المحيطات، مكتوب بلغة جوليا.
• Peridigm، وهو برنامج مفتوح المصدر لمحاكاة ديناميكيات المحيطات الحاسوبية
• مستودع PeriDoX مفتوح المصدر لـ peridynamics ووثائقه
• مختبر سانديا - ديناميكيات المحيط
• موقع إلكتروني حول ديناميكيات المحيط
• تطبيق تقريب العناصر المحدودة والفروق المحدودة للنماذج غير المحلية