حزمة الخطوط المحددة

في الهندسة التفاضلية ، تُعدّ حزمة الخط المحددة بناءً يُخصّص لكل حزمة متجهة فوق الفضاءات شبه المتراصة حزمة خط . ويأتي اسمها من استخدام المحدد على فضاءات تصنيفها . وتنشأ حزم الخط المحددة بشكل طبيعي في هياكل الدوران ^c رباعية الأبعاد، ولذلك فهي ذات أهمية مركزية لنظرية سيبرغ-ويتن .

يترك${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً شبه متراص ، فإنه يوجد تقابل.${\displaystyle [X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$مع حزمة المتجهات العالمية الحقيقية${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$[ ^{1 ] المحدد} الحقيقي${\displaystyle \det \colon \operatorname {O} (n)\rightarrow \operatorname {O} (1)}$هو تماثل زمر، وبالتالي ينتج عنه تطبيق متصل${\displaystyle {\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (1)\cong \mathbb {R} P^{\infty }}$في فضاء التصنيف لـ O(n) . ومن ثم يوجد تركيب لاحق:

${\displaystyle \det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BO} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(X).}$

يترك${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً شبه متراص ، فإنه يوجد تقابل.${\displaystyle [X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {C} }^{n}}$مع حزمة المتجهات العالمية المعقدة${\displaystyle \gamma _{\mathbb {C} }^{n}}$[ ^{1 ] المحدد} المعقد${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {U} (1)}$هو تماثل زمر، وبالتالي ينتج عنه تطبيق متصل${\displaystyle {\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$في فضاء التصنيف لـ U(n) . ومن ثم يوجد تركيب لاحق:

${\displaystyle \det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BU} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{1}(X).}$

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف حزمة خط المحدد على أنها آخر ناتج ضرب خارجي غير تافه. ليكن${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$إذا كانت حزمة متجهة، فإن: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \det(E):=\Lambda ^{\operatorname {rk} (E)}(E).}$

• تحافظ حزمة الخطوط المحددة الحقيقية على فئة ستيفل-ويتني الأولى ، والتي تُعدّ، بالنسبة لحزم الخطوط الحقيقية فوق الفضاءات الطوبولوجية ذات نوع التماثل لمركب CW ، تماثلًا زمريًا . ^{[ 3 ]} بما أن فئة ستيفل-ويتني الأولى في هذه الحالة تتلاشى إذا وفقط إذا كانت حزمة الخطوط الحقيقية قابلة للتوجيه، ^{[ 4 ]} فإن كلا الشرطين يُكافئان حزمة خطوط محددة تافهة. ^{[ 5 ]}
• تحافظ حزمة الخط المحددة المعقدة على فئة تشيرن الأولى ، والتي تُعتبر تماثلًا زمرًا بالنسبة لحزم الخط المعقدة فوق الفضاءات الطوبولوجية ذات نوع التماثل لمركب CW. ^{[ 3 ]}
• تتبادل حزمة السحب الخلفي مع حزمة خط المحدد. بالنسبة للخريطة المتصلة${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$بين المساحات شبه المدمجة${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$بالإضافة إلى حزمة متجهة${\displaystyle E\twoheadrightarrow Y}$، لدى المرء:

  ${\displaystyle \det(f^{*}E)\cong f^{*}\det(E).}$

البرهان: افترض${\displaystyle E\twoheadrightarrow Y}$هي حزمة متجهات حقيقية ولتكن${\displaystyle g\colon Y\rightarrow \operatorname {BO} (n)}$لتكون خريطة تصنيفها مع${\displaystyle E=g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$، ثم:

${\displaystyle \det(f^{*}E)\cong \det(f^{*}g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong \det((g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong ({\mathcal {B}}\det \circ g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}({\mathcal {B}}\det \circ g)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}\det(g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong f^{*}\det(E).}$

بالنسبة لحزم المتجهات المعقدة، يكون البرهان مماثلاً تماماً.

• بالنسبة لحزم المتجهات${\displaystyle E,F\twoheadrightarrow X}$(بنفس الحقول الموجودة في الألياف)، يكون لدينا:

  ${\displaystyle \det(E\otimes F)\cong \det(E)^{\operatorname {rk} (F)}\otimes \det(F)^{\operatorname {rk} (E)}.}$

• بوت، راؤول ؛ تو، لورينغ دبليو. (1982). الأشكال التفاضلية في الطوبولوجيا الجبرية . سبرينغر . doi : 10.1007/978-1-4757-3951-0 . ISBN 978-1-4757-3951-0.
• فريد، دانيال (1987-03-10). "حول حزم الخطوط المحددة" (PDF) .
• نيكولايسكو، ليفيو آي. (2000)، ملاحظات حول نظرية سيبرغ-ويتن (ملف PDF) ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  28، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، doi : 10.1090/gsm/028 ، ISBN 978-0-8218-2145-9MR 1787219​ 
• هاتشر، ألين (2003). "حزم المتجهات ونظرية K" .

• حزمة خط المحدد في مختبر n