الهندسة الرقمية

تتعامل الهندسة الرقمية مع المجموعات المنفصلة (عادةً مجموعات النقاط المنفصلة ) التي تُعتبر نماذج أو صورًا رقمية لأجسام في الفضاء الإقليدي ثنائي أو ثلاثي الأبعاد . ببساطة، الرقمنة هي استبدال جسم ما بمجموعة منفصلة من نقاطه. الصور التي نراها على شاشة التلفاز، أو شاشة العرض النقطية للحاسوب، أو في الصحف، هي في الواقع صور رقمية .

مجالات تطبيقها الرئيسية هي رسومات الحاسوب وتحليل الصور .

تشمل الجوانب الرئيسية للدراسة ما يلي:

• بناء تمثيلات رقمية للأشياء، مع التركيز على الدقة والكفاءة (إما عن طريق التركيب، انظر على سبيل المثال خوارزمية خط بريسنهام أو الأقراص الرقمية، أو عن طريق الرقمنة والمعالجة اللاحقة للصور الرقمية).
• دراسة خصائص المجموعات الرقمية؛ انظر، على سبيل المثال، نظرية بيك ، التحدب الرقمي، الاستقامة الرقمية ، أو التسطح الرقمي.
• تحويل التمثيلات الرقمية للأشياء، على سبيل المثال (أ) إلى أشكال مبسطة مثل (1) الهياكل العظمية، عن طريق الإزالة المتكررة للنقاط البسيطة بحيث لا تتغير الطوبولوجيا الرقمية للصورة، أو (2) المحور المتوسط، عن طريق حساب القيم القصوى المحلية في تحويل المسافة لتمثيل الكائن الرقمي المعطى، أو (ب) إلى أشكال معدلة باستخدام علم التشكل الرياضي .
• إعادة بناء الأجسام "الحقيقية" أو خصائصها (المساحة، الطول، الانحناء، الحجم، مساحة السطح، وما إلى ذلك) من الصور الرقمية.
• دراسة المنحنيات الرقمية والأسطح الرقمية والمتشعبات الرقمية .
• تصميم خوارزميات تتبع للأجسام الرقمية.
• وظائف في الفضاء الرقمي.
• رسم المنحنيات، وهي طريقة لرسم منحنى بكسلًا بكسلًا.

تتداخل الهندسة الرقمية بشكل كبير مع الهندسة المنفصلة ويمكن اعتبارها جزءًا منها.

يشير الفضاء الرقمي ثنائي الأبعاد عادةً إلى فضاء شبكي ثنائي الأبعاد يحتوي فقط على نقاط صحيحة في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد. الصورة ثنائية الأبعاد هي دالة على فضاء رقمي ثنائي الأبعاد (انظر معالجة الصور ).

في كتاب روزنفيلد وكاك، تُعرَّف الاتصالية الرقمية بأنها العلاقة بين العناصر في الفضاء الرقمي. على سبيل المثال، الاتصالية الرباعية والاتصالية الثمانية في بُعدين. انظر أيضًا اتصالية البكسل . يُحدد الفضاء الرقمي واتصاليته (الرقمية) بنيةً رقميةً .

في الفضاء الرقمي، تم اقتراح الدالة المستمرة رقميًا (أ. روزنفيلد، 1986) والدالة المتغيرة تدريجيًا (ل. تشين، 1989) بشكل مستقل.

الدالة المتصلة رقميًا هي دالة تكون فيها قيمة (عدد صحيح) نقطة رقمية مساوية أو مختلفة بمقدار 1 على الأكثر عن جيرانها. بعبارة أخرى، إذا كانت x و y نقطتين متجاورتين في فضاء رقمي، فإن | f ( x ) - f ( y )| ≤ 1.    

الوظيفة المتغيرة تدريجياً هي وظيفة من الفضاء الرقمي ${\displaystyle \Sigma }$ل${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$أين${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$و${\displaystyle A_{i}}$هي أعداد حقيقية. تتمتع هذه الدالة بالخاصية التالية: إذا كانت x و y نقطتين متجاورتين في${\displaystyle \Sigma }$، يفترض${\displaystyle f(x)=A_{i}}$، ثم${\displaystyle f(y)=A_{i}}$، ${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$، أو${\displaystyle A_{i-1}}$لذا يمكننا أن نرى أن الدالة المتغيرة تدريجياً تُعرَّف بأنها أكثر عمومية من الدالة المتصلة رقمياً.

أشار أ. روزنفيلد (1986) إلى نظرية امتداد متعلقة بالدوال المذكورة أعلاه، وأكملها ل. تشين (1989). تنص هذه النظرية على ما يلي: ليكن${\displaystyle D\subset \Sigma }$و${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$الشرط الضروري والكافي لوجود الامتداد المتغير تدريجياً${\displaystyle F}$ل${\displaystyle f}$هو  : لكل زوج من النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle D}$، يفترض${\displaystyle f(x)=A_{i}}$و${\displaystyle f(y)=A_{j}}$لدينا${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$، أين${\displaystyle d(x,y)}$المسافة (الرقمية) بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

• الهندسة الحسابية
• الطوبولوجيا الرقمية
• الهندسة المنفصلة
• الهندسة التوافقية
• التصوير المقطعي
• سحابة النقاط

• أ. روزنفيلد، الدوال "المستمرة" على الصور الرقمية، رسائل التعرف على الأنماط، المجلد 4، العدد 3، ص  177-184، 1986.
• L. Chen, The necessary and enough condition and the efficient algorithms for progressive varying fill, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.

• روزنفيلد، عزريل (1969). معالجة الصور بواسطة الحاسوب . دار النشر الأكاديمية.
• روزنفيلد، أزرييل (1976). تحليل الصور الرقمية . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-07579-8.
• روزنفيلد، أزرييل ؛ كاك، أفيناش سي. (1982). معالجة الصور الرقمية . بوسطن: أكاديميك برس. ISBN 0-12-597301-2.
• روزنفيلد، عزريل (1979). لغات الصور . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-597340-3.
• شاسيري، J.؛ أ. مونتانفيرت. (1991). هندسة منفصلة وتحليل الصور . هيرميس. رقم ISBN 2-86601-271-2.
• كونغ، تي واي؛ روزنفيلد، أ.، محرران. (1996). الخوارزميات الطوبولوجية لمعالجة الصور الرقمية . إلسيفير. ISBN 0-444-89754-2.
• فوس، ك. (1993). الصور والأجسام والدوال المنفصلة في Zn . سبرينغر. ISBN 0-387-55943-4.
• هيرمان، جي تي (1998). هندسة الفضاءات الرقمية . بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3897-0.
• مارشان-ماييه، س.؛ واي إم شارايحة (2000). معالجة الصور الرقمية الثنائية . دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-470505-7.
• سويل، ب. (2003). تحليل الصور المورفولوجي: المبادئ والتطبيقات . سبرينغر. ISBN 3-540-42988-3.
• تشين، ل. (2004). الأسطح والمتشعبات المنفصلة: نظرية الهندسة والطوبولوجيا الرقمية المنفصلة . إس بي كومبيوتينج. ISBN 0-9755122-1-8.
• روزنفيلد، أزرييل ؛ كليت، راينهارد (2004). الهندسة الرقمية: الأساليب الهندسية لتحليل الصور الرقمية (سلسلة مورغان كوفمان في رسومات الحاسوب) . سان دييغو: مورغان كوفمان. ISBN 1-55860-861-3.
• تشين، ل. (2014). الهندسة الرقمية والمنفصلة: النظرية والخوارزميات . سبرينغر. ISBN 978-3-319-12099-7.
• كوفاليفسكي، فلاديمير أ . (2008). هندسة الفضاءات المحدودة محليًا: طوبولوجيا متوافقة حاسوبيًا وخوارزميات للتصوير الحاسوبي . برلين. ISBN 978-3-9812252-0-4.

• اللجنة الفنية للهندسة المنفصلة التابعة للرابطة الدولية للتعرف على الأنماط
• موقع إلكتروني حول الهندسة الرقمية والطوبولوجيا
• دورة في الهندسة الرقمية والتشكل الرياضي (ت. كيسلمان)
• DGtal: مكتبة مفتوحة المصدر لأدوات وخوارزميات الهندسة الرقمية