الهندسة المنفصلة

الهندسة المنفصلة والهندسة التوافقية هما فرعان من فروع الهندسة يدرسان الخواص التوافقية والطرق البنائية للأجسام الهندسية المنفصلة . تتضمن معظم الأسئلة في الهندسة المنفصلة مجموعات محدودة أو منفصلة من الأجسام الهندسية الأساسية ، مثل النقاط والخطوط والمستويات والدوائر والكرات والمضلعات وما إلى ذلك. يركز الموضوع على الخواص التوافقية لهذه الأجسام، مثل كيفية تقاطعها مع بعضها البعض، أو كيفية ترتيبها لتغطية جسم أكبر .

تتداخل الهندسة المنفصلة بشكل كبير مع الهندسة المحدبة والهندسة الحاسوبية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوعات مثل الهندسة المحدودة ، والتحسين التوافقي ، والهندسة الرقمية ، والهندسة التفاضلية المنفصلة ، ​​ونظرية الرسم البياني الهندسي ، والهندسة الطورية ، والطوبولوجيا التوافقية .

لقد تمت دراسة الأشكال المتعددة السطوح والفسيفساء لسنوات عديدة من قبل أشخاص مثل كيبلر وكوشي ، أما الهندسة المنفصلة الحديثة فتعود أصولها إلى أواخر القرن التاسع عشر. كانت الموضوعات المبكرة التي تمت دراستها هي: كثافة حزم الدوائر بواسطة ثو ، والتكوينات الإسقاطية بواسطة راي وستينيتز ، وهندسة الأرقام بواسطة مينكوفسكي، وتلوين الخرائط بواسطة تيت وهيوود وهادويجر .

وضع لازلو فيجيس توث ، وإتش إس إم كوكستر ، وبول إردوس أسس الهندسة المنفصلة . ^{[1] [2] [3]}

متعدد السطوح هو جسم هندسي ذو جوانب مسطحة، ويوجد في أي عدد عام من الأبعاد. المضلع هو متعدد السطوح في بعدين، ومتعدد السطوح في ثلاثة أبعاد، وهكذا في أبعاد أعلى (مثل متعدد السطوح رباعي السطوح في أربعة أبعاد). تعمم بعض النظريات الفكرة لتشمل أشياء مثل متعددات السطوح غير المحدودة ( الأبيروتوبات والفسيفساء )، ومتعددات السطوح المجردة .

وفيما يلي بعض جوانب متعددات السطوح التي تمت دراستها في الهندسة المنفصلة:

• تركيبات متعددة السطوح
• متعددات السطوح الشبكية
• حدود إيرهارت
• نظرية بيك
• تخمين هيرش
• مجموعة معتمة

تعتبر التعبئة والأغطية والبلاط طرقًا لترتيب الأشياء المنتظمة (عادةً الدوائر أو الكرات أو البلاط) بطريقة منتظمة على سطح أو مجمع .

إن تغليف الكرة هو ترتيب من الكرات غير المتداخلة داخل مساحة تحتويها. عادةً ما تكون الكرات المدروسة جميعها بنفس الحجم، وتكون المساحة عادةً مساحة إقليدية ثلاثية الأبعاد . ومع ذلك، يمكن تعميم مشاكل تغليف الكرة للنظر في الكرات غير المتساوية، أو الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n (حيث تصبح المشكلة تغليف الدائرة في بعدين، أو تغليف الكرة الفائقة في أبعاد أعلى) أو إلى المساحات غير الإقليدية مثل الفضاء الزائدي .

التبليط لسطح مستوٍ هو تبليط مستوى باستخدام شكل هندسي واحد أو أكثر ، يُطلق عليه اسم البلاط، بدون تداخلات وبدون فجوات. في الرياضيات ، يمكن تعميم التبليط على أبعاد أعلى.

تتضمن الموضوعات المحددة في هذا المجال ما يلي:

• عبوات دائرية
• عبوات الكرة
• تخمين كيبلر
• شبه البلورات
• بلاطات غير دورية
• الرسم البياني الدوري
• قواعد التقسيم المحدود

الصلابة البنيوية هي نظرية تركيبية للتنبؤ بمرونة المجموعات المكونة من أجسام صلبة متصلة بواسطة روابط مرنة أو مفصلات .

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• نظرية كوشي
• متعددات السطوح المرنة

تعمم هياكل الوقوع المستويات (مثل المستويات الأفينية والإسقاطية ومستويات موبيوس ) كما يمكن رؤيته من تعريفاتها البديهية. تعمم هياكل الوقوع أيضًا نظائرها ذات الأبعاد الأعلى، وتُسمى الهياكل المحدودة أحيانًا بالهندسة المحدودة .

رسميًا، هيكل الحدوث هو ثلاثي

${\displaystyle C=(P,L,I).\,}$

حيث P هي مجموعة من "النقاط"، وL هي مجموعة من "الخطوط" و هي علاقة السقوط . تسمى عناصر الأعلام. إذا ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle (p,l)\in I,}$

نقول أن النقطة p تقع على الخط . ${\displaystyle l}$

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• التكوينات
• ترتيبات الخطوط
• ترتيبات المستوى الفائق
• المباني

الماترويد الموجه هو بنية رياضية تلخص خصائص الرسوم البيانية الموجهة وترتيبات المتجهات في فضاء متجه على حقل مرتب (خاصة بالنسبة لفضاءات المتجهات المنظمة جزئيًا ). ^[4] بالمقارنة، تلخص الماترويد العادية (أي غير الموجهة) خصائص التبعية المشتركة بين الرسوم البيانية ، والتي ليست موجهة بالضرورة ، وترتيبات المتجهات على الحقول ، والتي ليست مرتبة بالضرورة . ^{[5] [6]}

الرسم البياني الهندسي هو رسم بياني ترتبط فيه الرؤوس أو الحواف بأجسام هندسية . ومن الأمثلة على ذلك الرسوم البيانية الإقليدية، والهيكل أحادي السطوح أو متعدد السطوح ، ورسومات القرص الوحدوي ، ورسومات الرؤية .

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• رسم بياني
• الرسوم البيانية متعددة السطوح
• الرسوم البيانية الهندسية العشوائية
• مخططات فورونوي ومثلثات ديلوناي

المركب البسيط هو فضاء طوبولوجي من نوع معين، تم إنشاؤه عن طريق "لصق" النقاط ، والقطع المستقيمة ، والمثلثات ، ونظيراتها ذات الأبعاد n (انظر الرسم التوضيحي). لا ينبغي الخلط بين المركب البسيط والمفهوم الأكثر تجريدًا للمجموعة البسيطة التي تظهر في نظرية التماثل البسيط الحديثة. النظير التوافقي البحت للمركب البسيط هو المركب البسيط المجرد . انظر أيضًا المركبات الهندسية العشوائية .

استخدم علم الطوبولوجيا التركيبية المفاهيم التركيبية في الطوبولوجيا ، وفي أوائل القرن العشرين تحول هذا إلى مجال الطوبولوجيا الجبرية .

في عام 1978، انعكس الوضع - تم استخدام أساليب من الطوبولوجيا الجبرية لحل مشكلة في التوافقيات - عندما أثبت لازلو لوفاس تخمين كنيسير ، وبالتالي بدء الدراسة الجديدة للتوافقيات الطوبولوجية . استخدم إثبات لوفاس نظرية بورسوك-أولام وتحتفظ هذه النظرية بدور بارز في هذا المجال الجديد. تحتوي هذه النظرية على العديد من الإصدارات والنظائر المكافئة وقد تم استخدامها في دراسة مشاكل القسمة العادلة .

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• معضلة سبيرنر
• الخرائط العادية

المجموعة المنفصلة هي المجموعة G المجهزة بطوبولوجيا منفصلة . مع هذه الطوبولوجيا، تصبح G مجموعة طوبولوجية . المجموعة الفرعية المنفصلة للمجموعة الطوبولوجية G هي المجموعة الفرعية H التي تكون طوبولوجياها النسبية هي الطوبولوجيا المنفصلة. على سبيل المثال، تشكل الأعداد الصحيحة ، Z ، مجموعة فرعية منفصلة للأعداد الحقيقية ، R (مع الطوبولوجيا المترية القياسية )، لكن الأعداد النسبية ، Q ، لا تفعل ذلك.

الشبكة في مجموعة طوبولوجية مدمجة محليًا هي مجموعة فرعية منفصلة لها الخاصية التي مفادها أن فضاء الحاصل له قياس ثابت محدود . في الحالة الخاصة للمجموعات الفرعية لـ R ⁿ ، فإن هذا يعادل المفهوم الهندسي المعتاد للشبكة ، ويتم فهم كل من البنية الجبرية للشبكات وهندسة مجموع جميع الشبكات بشكل جيد نسبيًا. قدمت النتائج العميقة لبوريل وهاريش شاندرا وموستو وتاماغاوا وإم إس راغوناثان ومارجوليس وزيمر التي تم الحصول عليها من الخمسينيات وحتى السبعينيات أمثلة وعمم الكثير من النظرية على إعداد مجموعات لي عديمة القدرة والمجموعات الجبرية شبه البسيطة على حقل محلي . في التسعينيات، بدأ باس ولوبوتسكي دراسة شبكات الأشجار ، والتي تظل مجال بحث نشط .

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• مجموعات التأمل
• مجموعات المثلث

تتعامل الهندسة الرقمية مع مجموعات منفصلة (عادةً مجموعات نقاط منفصلة ) تعتبر نماذج رقمية أو صور لأشياء في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد .

وبعبارة بسيطة، فإن التحويل إلى شكل رقمي يعني استبدال كائن ما بمجموعة منفصلة من نقاطه. والصور التي نراها على شاشة التلفاز، أو شاشة الكمبيوتر، أو في الصحف هي في الواقع صور رقمية .

مجالات تطبيقها الرئيسية هي الرسوميات الحاسوبية وتحليل الصور . ^[7]

الهندسة التفاضلية المنفصلة هي دراسة النظراء المنفصلين للمفاهيم في الهندسة التفاضلية . فبدلاً من المنحنيات والأسطح الملساء، هناك مضلعات وشبكات ومجمعات تبسيطية . وهي تستخدم في دراسة الرسومات الحاسوبية والتركيبات الطوبولوجية .

تتضمن المواضيع في هذا المجال ما يلي:

• عامل لابلاس المنفصل
• حساب التفاضل والتكامل الخارجي المنفصل
• حساب التفاضل والتكامل المنفصل
• نظرية مورس المنفصلة
• التركيبات الطوبولوجية
• تحليل الشكل الطيفي
• تحليل على الكسيريات

• الهندسة المنفصلة والحسابية (مجلة)
• الرياضيات المنفصلة
• بول إردوس

• بيزديك، أندراس (2003). الهندسة المنفصلة: تكريما لعيد ميلاد دبليو كوبربيرج الستين . نيويورك، نيويورك: مارسيل ديكر. رقم ISBN 0-8247-0968-3.
• بيزديك، كارولي (2010). المواضيع الكلاسيكية في الهندسة المنفصلة . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Bezdek, Károly (2013). محاضرات حول ترتيبات الكرة - الجانب الهندسي المنفصل . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-1-4614-8117-1.
• الأماكن القريبة : ديزا، أنطوان؛ يي ينيو (2013). الهندسة المنفصلة والتحسين . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-319-00200-2.
• براس، بيتر؛ موسر، ويليام؛ باخ، جانوس (2005). مشاكل البحث في الهندسة المنفصلة . برلين: سبرينغر. ISBN 0-387-23815-8.
• باخ، جانوس ؛ أغاروال، بانكاج ك. (1995). الهندسة التركيبية . نيويورك: وايلي-إنترسانس. رقم ISBN 0-471-58890-3.
• جودمان، جاكوب إي. وأورورك، جوزيف (2004). دليل الهندسة المنفصلة والحسابية، الطبعة الثانية . بوكا راتون: تشابمان وهول/سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-301-4.{{cite book}}:CS1 maint: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( الرابط )
• جروبر، بيتر م. (2007). الهندسة المحدبة والمتقطعة . برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-540-71132-2.
• ماتوسيك، جيري (2002). محاضرات في الهندسة المنفصلة . برلين: سبرينغر. رقم ISBN 0-387-95374-4.
• فلاديمير بولتيانسكي ، هورست مارتيني، بيترو س. سلطان (1997). رحلات في الهندسة التركيبية . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-61341-2.{{cite book}}:CS1 maint: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( الرابط )