رقم فورتي

في نظرية المجموعات الموسيقية ، يُعرف عدد فورتي بأنه زوج الأرقام الذي خصصه ألين فورتي للشكل الأولي لكل مجموعة من فئات النغمات المكونة من ثلاثة عناصر أو أكثر في كتاب "بنية الموسيقى اللانغمية " (1973، ISBN). 0-300-02120-8يشير الرقم الأول إلى عدد فئات النغمات في مجموعة فئات النغمات، بينما يشير الرقم الثاني إلى ترتيب المجموعة في تصنيف فورتي لجميع مجموعات فئات النغمات التي تحتوي على هذا العدد من النغمات. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

في نظام الضبط 12-TET (أو أي نظام ضبط آخر يقسم الأوكتاف إلى 12 نصف نغمة )، يُرمز لكل فئة صوتية بعدد صحيح يتراوح بين 0 و11 (شاملًا)، ويُرمز لمجموعة الفئات الصوتية بمجموعة من هذه الأعداد. الشكل الأساسي لمجموعة الفئات الصوتية هو الشكل الأكثر إيجازًا (أي الأكثر ترتيبًا من اليسار إلى اليمين أو الأصغر حجمًا حسب الترتيب المعجمي ) إما للشكل الطبيعي للمجموعة أو لانعكاسها . الشكل الطبيعي للمجموعة هو الشكل الذي يُنقل ليصبح أكثر إيجازًا. على سبيل المثال، يحتوي وتر كبير في انعكاسه الثاني على الفئات الصوتية 7 و0 و4. سيكون شكله الطبيعي حينها 0 و4 و7. أما انعكاسه (المنقول)، وهو الوتر الصغير ، فيحتوي على الفئات الصوتية 0 و3 و7؛ وهو الشكل الأساسي.

يُعطى كل من الوتر الكبير والوتر الصغير رقم فورتي 3-11، مما يشير إلى أنه الحادي عشر في ترتيب فورتي لمجموعات فئات النغمات الثلاثية. في المقابل، يُعطى الوتر الثلاثي الفييني ، بفئات النغمات 0 و1 و6، رقم فورتي 3-5، مما يشير إلى أنه الخامس في ترتيب فورتي لمجموعات فئات النغمات الثلاثية. الشكل الطبيعي للسلم الموسيقي الدياتوني ، مثل سلم دو الكبير؛ 0، 2، 4، 5، 7، 9، و11؛ هو 11، 0، 2، 4، 5، 7، و9؛ بينما شكله الأساسي هو 0، 1، 3، 5، 6، 8، و10؛ ورقم فورتي الخاص به هو 7-35، مما يشير إلى أنه الخامس والثلاثون من مجموعات فئات النغمات السبعة.

مجموعات النغمات التي تشترك في نفس رقم فورتي لها متجهات فواصل متطابقة . أما تلك التي لها أرقام فورتي مختلفة فلها متجهات فواصل مختلفة باستثناء المجموعات المرتبطة بـ z (على سبيل المثال 6-Z44 و 6-Z19).

توجد طريقتان شائعتان لحساب الصيغة الأولية. الأولى وصفها فورتي، والثانية طُرحت في كتاب جون ران " النظرية الأساسية لللا نغمية" واستُخدمت في كتاب جوزيف ن. شتراوس " مقدمة في نظرية ما بعد النغمية" ، وهي الآن أكثر شيوعًا. على سبيل المثال، الصيغة الأولية لفورتي للعدد 6-31 هي [0 ₁ 1 ₂ 3 ₂ 5 ₃ 8 ₁ 9 ₃ ]، بينما تختار خوارزمية ران الصيغة [0 ₁ 1 ₃ 4 ₁ 5 ₂ 7 ₂ 9 ₃ ]، حيث تُشير الأرقام السفلية بين أرقام فئات النغمات إلى فواصل التجاور. كما هو واضح، تحتوي كلتا الصيغتين على إحدى أكبر فواصل التجاور (3 أنصاف نغمات) في اليمين - أي أن لكلتيهما أصغر مدى ممكن - ولكن ضمن هذا المدى، يختار فورتي الصيغة الأكثر تقاربًا نحو اليسار، بينما يختار ران الصيغة الأكثر تباعدًا بعيدًا عن اليمين.

في لغة التوافقية ، تُقابل أعداد فورتي الأساور الثنائية ذات الطول 12: أي فئات التكافؤ للمتتاليات الثنائية ذات الطول 12 تحت عمليتي التبديل والانعكاس الدوريين . في هذا التناظر، يُقابل الرقم 1 في متتالية ثنائية نغمة موجودة في مجموعة فئات النغمات، بينما يُقابل الرقم 0 نغمة غير موجودة. يُقابل تدوير المتتاليات الثنائية نقل الأوتار، ويُقابل انعكاسها قلبها. الشكل الأكثر إيجازًا لمجموعة فئات النغمات هو المتتالية القصوى معجميًا ضمن فئة التكافؤ المقابلة لها من المتتاليات.

كان إليوت كارتر قد أصدر في وقت سابق (1960-1967) قائمة مرقمة بمجموعات فئات النغمات، أو "الأوتار" كما كان يسميها كارتر، لاستخدامه الخاص. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• قائمة فئات المجموعة

• "كل شيء عن نظرية المجموعات: ما هو عدد فورتي؟" ، JayTomlin.com .
• " SetFinder: Prime Form Calculator "، ComposerTools.com .
• " جدول مجموعات فئات النغمات "، SolomonsMusic.net .
• " آلة حاسبة لمجموعات الكمبيوتر الشخصي "، MtA.Ca.
• " محلل الأوتار (عبر الإنترنت) ".