حقل دالة من نوع جبري

في الهندسة الجبرية ، يتكون حقل الدوال لمتنوعة جبرية V من كائنات تُفسَّر على أنها دوال كسرية على V. في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، تكون هذه الكائنات نسبًا لكثيرات الحدود ؛ وفي الهندسة المركبة، تكون هذه الكائنات دوالًا ميرومورفية ونظائرها ذات الأبعاد الأعلى؛ وفي الهندسة الجبرية الحديثة، تكون هذه الكائنات عناصر من حقل الكسور في حلقة خارج القسمة .

في الهندسة المعقدة، تُعدّ المتنوعات التحليلية المعقدة موضوعات الدراسة ، والتي لدينا عليها مفهوم محلي للتحليل المعقد ، والذي من خلاله يُمكننا تعريف الدوال الميرومورفية. حقل الدوال لمتنوعة ما هو مجموعة جميع الدوال الميرومورفية على تلك المتنوعة. (ومثل جميع الدوال الميرومورفية، تأخذ هذه الدوال قيمها في${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.) إلى جانب عمليات الجمع والضرب للدوال، فإن هذا يمثل حقلاً بالمعنى الجبري.

بالنسبة لمجال ريمان ، وهو التنوع${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$على الأعداد المركبة، تكون الدوال الميرومورفية العالمية هي بالضبط الدوال الكسرية (أي نسب الدوال متعددة الحدود المركبة).

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، نعمم وجهة النظر الثانية. بالنسبة لكرة ريمان المذكورة أعلاه، لا يُعرَّف مفهوم كثير الحدود تعريفًا شاملًا، بل يُعرَّف ببساطة بالنسبة لمخطط إحداثيات أفيني ، أي ذلك المخطط الذي يتكون من المستوى المركب (جميع أجزاء الكرة باستثناء القطب الشمالي). على صنف عام V ، نقول إن الدالة الكسرية على مجموعة فرعية أفينية مفتوحة U تُعرَّف على أنها نسبة كثيرتي حدود في حلقة الإحداثيات الأفينية لـ U ، وأن الدالة الكسرية على V بأكملها تتكون من بيانات محلية تتفق على تقاطعات الأفينيات المفتوحة. يمكننا تعريف حقل الدوال لـ V بأنه حقل كسور حلقة الإحداثيات الأفينية لأي مجموعة فرعية أفينية مفتوحة، لأن جميع هذه المجموعات الفرعية كثيفة.

في السياق الأكثر عمومية، وهو سياق نظرية المخططات الحديثة ، تُعتبر وجهة النظر الأخيرة المذكورة أعلاه نقطة انطلاق. أي، إذا${\displaystyle X}$إذا كان مخططًا متكاملًا ، فإنه لكل مجموعة فرعية أفينية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$حلقة من الأقسام${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$على${\displaystyle U}$هي مجال تكاملي ، وبالتالي، لها حقل من الكسور. علاوة على ذلك، يمكن التحقق من أن جميع هذه الكسور متطابقة، وجميعها تساوي ساق النقطة العامة لـ${\displaystyle X}$وبالتالي فإن مجال الوظيفة لـ${\displaystyle X}$هو مجرد ساق نقطته العامة. ^{[ 1 ]}

إذا كانت V منوّعًا معرفًا على حقل K ، فإن حقل الدوال K ( V ) هو امتداد حقلي مولد نهائيًا للحقل الأساسي K ؛ ودرجة تجاوزه تساوي بُعد المنوّع. تنشأ جميع امتدادات K المولدة نهائيًا كحقول على K بهذه الطريقة من منوّع جبري ما. تُعرف هذه الامتدادات الحقلية أيضًا باسم حقول الدوال الجبرية على K.

تتم دراسة خصائص التنوع V التي تعتمد فقط على حقل الدالة في الهندسة الثنائية النسبية .

حقل الدالة لنقطة على K هو K.

حقل الدوال للخط الأفيني فوق K متماثل مع حقل الدوال الكسرية K ( t ) في متغير واحد. وهو أيضاً حقل الدوال للخط الإسقاطي .

لنفترض منحنى المستوى الجبري الأفيني المعرف بالمعادلة${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$حقل دالتها هو الحقل K ( x , y )، المُوَلَّد بواسطة العنصرين x و y اللذين يكونان متساميين على K ويحققان العلاقة الجبرية${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$.

• حقل الدوال الجبرية
• قسيمة كارتييه

• ديفيد م. غولدشميت (2002). الدوال الجبرية والمنحنيات الإسقاطية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  215. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-95432-5.