رياضيات المقامرة

عندما تتكرر الأحداث العشوائية مرات عديدة، تتلاشى احتمالات وقوعها، بحيث يكون المتوسط ​​الحسابي لنتائج هذه الأحداث قريبًا جدًا من قيمته الرياضية الاحتمالية. على سبيل المثال، عند رمي قطعة نقدية، يكون ظهور أحد وجهيها عشوائيًا، ولكن مع تكرار ذلك مرات كافية، يصبح عدد مرات ظهور كلا الوجهين متساويًا تقريبًا. يُعرف هذا بقانون الأعداد الكبيرة .

يُعتبر الربح والخسارة في المقامرة حدثًا عشوائيًا بالنسبة للشخص الواحد ولفترة قصيرة، ولكن على المدى الطويل، طالما أن معدل العائد للمقامر سلبي، فإن الخسارة ستحدث عاجلاً أم آجلاً مع تقدم اللعبة. أما بالنسبة للكازينو، وكذلك اللاعبين المحترفين، فما دام معدل الربح في لعبة المقامرة إيجابيًا، فهو ربح مضمون. ^{[ 2 ]}

يكمن مفتاح تحديد الفوز أو الخسارة في معدل العائد، كما تحدده قواعد واستراتيجيات المقامرة. يعكس معدل العائد حقيقة وطبيعة المقامرة. عادةً ما يكون مبدأ تصميم قواعد المقامرة هو جعل نسبة ربح الكازينو أعلى بقليل من 50% عندما يتساوى الربح والخسارة المحتملان. في هذه الحالة، وبشكل عام، ينعكس ذلك في معدل عائد إيجابي للكازينو أكبر بقليل من الصفر. المقامرة ليست حظًا، بل هي منافسة بين الذكاء والاستراتيجية والعائد. يعتمد الفوز النهائي في المقامرة طويلة الأمد على معدل عائد المقامر: إذا كان معدل العائد إيجابيًا، فإن العائد المتوقع أكبر من الصفر، وبالتالي سيربح؛ أما إذا كان معدل العائد سلبيًا، فإن العائد المتوقع أقل من الصفر، وبالتالي سيخسر. أي أنه كلما زاد حجم المقامرة، ازداد تأثير قانون الأعداد الكبيرة .

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه عندما تكون العينة قريبة من الاحتمال الكلي، فإن احتمالها سيكون قريبًا من الاحتمال الكلي. أما "تحيز قانون الأعداد الصغيرة" فيشير إلى اعتبار التوزيع الاحتمالي لحدث ما في عينة صغيرة هو التوزيع الكلي، مما يبالغ في تمثيل العينة الصغيرة للمجتمع الإحصائي ككل. ومن الأمثلة الأخرى ما يُعرف بـ"مغالطة المقامر". فعلى سبيل المثال، عند رمي قطعة نقدية، إذا ظهرت الصورة عشر مرات متتالية، قد يظن المرء أن ظهور الكتابة في المرة التالية أمرٌ مرجحٌ للغاية؛ في الواقع، احتمال ظهور الصورة أو الكتابة هو 0.5 في كل مرة، ولا علاقة له بعدد مرات ظهور الصورة.

إن تجاهل تأثير حجم العينة، والاعتقاد بأن العينات الصغيرة والكبيرة لها نفس القيمة المتوقعة، واستبدال قانون الاحتمالات الصحيح للأعداد الكبيرة بقانون نفسي خاطئ للأعداد الصغيرة، هو سبب الزيادة الكبيرة في عقلية المقامرة لدى الناس. تؤمن الكازينوهات بقانون الأعداد الكبيرة، بينما يطبق المقامرون قانون الأعداد الصغيرة دون وعي. يسمح قانون الأعداد الكبيرة للكازينوهات بجني المال، ويسمح قانون الأعداد الصغيرة للمقامرين بدفع المال للكازينوهات، وهذا هو منطق وجود الكازينوهات. ^{[ 2 ]}

ميزة الكازينو هي الميزة التي يتمتع بها الكازينو على المقامرين في كل نوع من أنواع ألعاب القمار في الكازينو.

لنأخذ رمي العملة كمثال، فاحتمالات ظهور الصورة والكتابة متساوية، 50% لكل منهما. إذا راهن لاعب بـ 10 دولارات على ظهور الصورة وفاز، يدفع له الكازينو 10 دولارات. أما إذا خسر، فسيخسر الكازينو كامل المبلغ، وفي هذه الحالة تكون ميزة الكازينو صفرًا (من المؤكد أن الكازينو ليس غبيًا لدرجة أن يفتح هذه اللعبة). ولكن إذا فاز، يدفع له الكازينو 9 دولارات فقط، وإذا خسر، فسيخسر الكازينو كامل المبلغ. متوسط ​​العائد هو (9 دولارات - 10 دولارات) / 2 = -0.50 دولار . ميزة الكازينو في هذه الحالة هي 0.50 دولار / 10 دولارات = 5% .

في أي لعبة في الكازينو، يتمتع الكازينو بميزة معينة على المقامرين، وبهذه الطريقة فقط يضمن استمراريته على المدى الطويل. وتختلف هذه الميزة اختلافًا كبيرًا من لعبة لأخرى، فبعض الألعاب تتميز بميزة منخفضة، بينما تتميز أخرى بميزة عالية. ويتجنب المقامرون بكثرة الألعاب ذات الميزة العالية للكازينو. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تُوفر ألعاب الكازينو ميزة طويلة الأمد للكازينو، أو "البيت"، بينما تُتيح للاعب فرصة ربح كبير على المدى القصير. تتضمن بعض ألعاب الكازينو عنصرًا من المهارة، حيث يتخذ اللاعب قرارات؛ وتُسمى هذه الألعاب "عشوائية ذات عنصر تكتيكي". مع أنه من الممكن تقليل ميزة البيت من خلال اللعب الماهر، إلا أن اللاعب نادرًا ما يمتلك المهارة الكافية للتخلص من عيبه المتأصل على المدى الطويل (ميزة البيت أو عمولة البيت) في ألعاب الكازينو. ويُعتقد عمومًا أن هذه المهارة تتطلب سنوات من التدريب، وذاكرة استثنائية، ومهارات حسابية، و/أو دقة ملاحظة بصرية أو حتى سمعية، كما هو الحال في توقيت عجلة الروليت . لمزيد من الأمثلة، انظر: المقامرة ذات الميزة .

ينشأ عيب اللاعب من عدم دفع الكازينو للرهانات الرابحة وفقًا لـ"الاحتمالات الحقيقية" للعبة، وهي العوائد المتوقعة بناءً على احتمالات الفوز أو الخسارة. على سبيل المثال، إذا كانت اللعبة تعتمد على الرهان على الرقم الناتج عن رمي نرد واحد، فإن الاحتمالات الحقيقية ستكون خمسة أضعاف مبلغ الرهان، نظرًا لوجود احتمال 1/6 لظهور أي رقم. مع ذلك، قد يدفع الكازينو أربعة أضعاف مبلغ الرهان فقط في حالة الفوز.

تُعرَّف نسبة ربح الكازينو (أو ما يُعرف بـ"الفيغوريش") بأنها ربح الكازينو مُعبَّرًا عنه كنسبة مئوية من رهان اللاعب الأصلي. في ألعاب مثل البلاك جاك أو الإسبانية 21، قد يصل الرهان النهائي إلى عدة أضعاف الرهان الأصلي، إذا قام اللاعب بمضاعفة الرهان أو تقسيمه.

مثال: في لعبة الروليت الأمريكية، يوجد صفران و36 رقمًا غير صفري (18 أحمر و18 أسود). إذا راهن لاعب بدولار واحد على اللون الأحمر، فإن احتمال ربحه دولارًا واحدًا هو 18/38، واحتمال خسارته دولارًا واحدًا (أو ربحه - دولارًا واحدًا) هو 20/38.

القيمة المتوقعة للاعب، EV = (18/38 × 1) + (20/38 × -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5.26%. بالتالي، فإن نسبة ربح الكازينو هي 5.26%. بعد 10 جولات، إذا راهن اللاعب بدولار واحد في كل جولة، فسيكون متوسط ​​ربح الكازينو 10 × 1 دولار × 5.26% = 0.53 دولار. بالطبع، لا يمكن للكازينو أن يربح 53 سنتًا بالضبط؛ هذا الرقم هو متوسط ​​ربح الكازينو من كل لاعب إذا كان لديه ملايين اللاعبين الذين يراهن كل منهم بدولار واحد في كل جولة من أصل 10 جولات.

تختلف نسبة ربح الكازينو في ألعاب الكازينو اختلافاً كبيراً باختلاف اللعبة. قد تصل نسبة ربح الكازينو في لعبة الكينو إلى 25%، وفي ماكينات القمار إلى 15%، بينما تتراوح نسبة ربح الكازينو في معظم ألعاب البونتون الأسترالية بين 0.3% و0.4%.

كان حساب نسبة ربح الكازينو في لعبة الروليت عمليةً بسيطة؛ أما في الألعاب الأخرى، فالأمر ليس كذلك عادةً. يتطلب إنجاز هذه المهمة تحليلًا توافقيًا و/أو محاكاة حاسوبية.

في الألعاب التي تتطلب مهارة، مثل البلاك جاك أو الإسبانية 21 ، تُعرَّف نسبة ربح الكازينو بأنها نسبة ربح الكازينو من اللعب الأمثل (دون استخدام تقنيات متقدمة مثل عدّ البطاقات أو تتبع خلطها )، وذلك في أول جولة من توزيع البطاقات. تُعرف مجموعة اللعب الأمثل لجميع التوزيعات الممكنة باسم "الاستراتيجية الأساسية"، وهي تعتمد بشكل كبير على القواعد المحددة، وحتى على عدد مجموعات البطاقات المستخدمة. يجب ألا تتجاوز نسبة ربح الكازينو في ألعاب البلاك جاك والإسبانية 21 الجيدة 0.5%.

غالبًا ما تحتوي ألعاب السلوتس على الإنترنت على نسبة عائد مُعلنة للاعب (RTP) تُحدد هامش الربح النظري للمقامرة. يختار بعض مطوري البرامج نشر نسبة العائد للاعب في ألعاب السلوتس الخاصة بهم، بينما لا يفعل ذلك آخرون. على الرغم من نسبة العائد النظرية، فإن أي نتيجة تقريبًا ممكنة على المدى القصير. ^{[ 2 ]}

يُقاس عامل الحظ في ألعاب الكازينو باستخدام الانحراف المعياري (SD). يمكن حساب الانحراف المعياري للعبة بسيطة مثل الروليت بسهولة نظرًا لتوزيع ذي الحدين للنجاحات (بافتراض أن الفوز يُساوي وحدة واحدة، والخسارة تُساوي صفرًا). في توزيع ذي الحدين، يكون الانحراف المعياري مساويًا لـ${\displaystyle {\sqrt {npq}}}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد الجولات التي تم لعبها،${\displaystyle p}$هي احتمالية الفوز، و${\displaystyle q}$يمثل احتمال الخسارة. علاوة على ذلك، إذا راهنّا بمبلغ ثابت قدره 10 وحدات لكل جولة بدلاً من وحدة واحدة، فإن نطاق النتائج المحتملة يزداد عشرة أضعاف. لذلك، فإن الانحراف المعياري لرهان الروليت ذي الاحتمالات المتساوية يساوي${\displaystyle 2b{\sqrt {npq}}}$، أين${\displaystyle b}$هو الرهان الثابت لكل جولة،${\displaystyle n}$هو عدد الجولات،${\displaystyle p=18/38}$، و${\displaystyle q=20/38}$.

بعد عدد كافٍ من الجولات، يتقارب التوزيع النظري للربح الإجمالي مع التوزيع الطبيعي ، مما يتيح إمكانية جيدة للتنبؤ بالربح أو الخسارة المحتملة. على سبيل المثال، بعد 100 جولة بقيمة دولار واحد للجولة، سيكون الانحراف المعياري للربح (وكذلك للخسارة) هو${\displaystyle 2\cdot \$1\cdot {\sqrt {100\cdot 18/38\cdot 20/38}}\approx \$9.99}$بعد 100 جولة، ستكون الخسارة المتوقعة هي${\displaystyle 100\cdot \$1\cdot 2/38\approx \$5.26}$.

يبلغ مدى 3 سيجما ستة أضعاف الانحراف المعياري: ثلاثة فوق المتوسط، وثلاثة تحته. لذلك، بعد 100 جولة برهان دولار واحد لكل جولة، من المرجح جدًا أن تكون النتيجة في مكان ما بين${\displaystyle -\$5.26-3\cdot \$9.99}$و${\displaystyle -\$5.26+3\cdot \$9.99}$أي ما بين -34 دولارًا و24 دولارًا. لا يزال هناك احتمال بنسبة 1 إلى 400 تقريبًا ألا تكون النتيجة ضمن هذا النطاق، أي إما أن يتجاوز الربح 24 دولارًا، أو أن تتجاوز الخسارة 34 دولارًا.

يُعدّ الانحراف المعياري لرهان الروليت ذي الاحتمالات المتساوية من بين الأدنى في جميع ألعاب الكازينو. معظم الألعاب، وخاصة ماكينات القمار، تتميز بانحرافات معيارية عالية للغاية. وكلما زاد حجم العوائد المحتملة، زاد الانحراف المعياري.

لسوء الحظ، فإن الاعتبارات المذكورة أعلاه غير صحيحة بالنسبة لعدد قليل من الجولات، لأن التوزيع بعيد كل البعد عن التوزيع الطبيعي. علاوة على ذلك، فإن نتائج الألعاب الأكثر تقلباً عادةً ما تتقارب مع التوزيع الطبيعي ببطء شديد، وبالتالي يتطلب ذلك عددًا هائلاً من الجولات.

مع ازدياد عدد الجولات، ستتجاوز الخسارة المتوقعة الانحراف المعياري مرات عديدة. من المعادلة، نلاحظ أن الانحراف المعياري يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي لعدد الجولات، بينما تتناسب الخسارة المتوقعة طرديًا مع عدد الجولات. ومع ازدياد عدد الجولات، تزداد الخسارة المتوقعة بوتيرة أسرع بكثير. لهذا السبب، يكاد يكون من المستحيل على المقامر أن يربح على المدى الطويل (إن لم يكن لديه ميزة). إن النسبة العالية بين الانحراف المعياري قصير المدى والخسارة المتوقعة هي التي تخدع المقامرين وتوهمهم بإمكانية الربح.

يُعرَّف مؤشر التقلب (VI) بأنه الانحراف المعياري لجولة واحدة، برهان وحدة واحدة. وبالتالي، فإن مؤشر التقلب لرهان الروليت الأمريكي ذي الاحتمالات المتساوية هو${\displaystyle 2{\sqrt {18/38\cdot 20/38}}\approx 0.9986}$.

التباين${\displaystyle v}$يُعرَّف بأنه مربع التباين. لذا، فإن تباين رهان الروليت الأمريكي ذي الاحتمالات المتساوية يبلغ حوالي 0.9972، وهو منخفض بالنسبة لألعاب الكازينو. أما تباين لعبة البلاك جاك فيبلغ حوالي 1.2، وهو منخفض أيضاً مقارنةً بتباينات ماكينات القمار الإلكترونية .

بالإضافة إلى ذلك، يُستخدم مصطلح مؤشر التقلبات بناءً على فترات ثقة معينة. عادةً ما يُعتمد على فترة ثقة بنسبة 90%. يبلغ مؤشر التقلبات لفترة الثقة 90% حوالي 1.645 ضعف مؤشر التقلبات "المعتاد" المرتبط بفترة ثقة بنسبة 68.27%.

من المهم للكازينو معرفة كل من نسبة ربح الكازينو ومؤشر التقلب لجميع ألعابه. تُشير نسبة ربح الكازينو إلى مقدار الربح المتوقع كنسبة مئوية من حجم التداول، بينما يُشير مؤشر التقلب إلى حجم الاحتياطيات النقدية اللازمة. يُطلق على علماء الرياضيات ومبرمجي الحاسوب الذين يقومون بهذا النوع من العمل اسم محللي ألعاب الفيديو. لا تمتلك الكازينوهات خبرة داخلية في هذا المجال، لذا فهي تستعين بخبراء في مجال تحليل الألعاب لتلبية احتياجاتها. ^{[ 5 ]}

يمكن حساب احتمالية الفوز في لعبة البنغو (مع تجاهل الفائزين المتزامنين، وجعل الفوزين متنافيين) على النحو التالي: $${\displaystyle P({\mathit {Win}})=1-P({\mathit {Loss}})}$$ بما أن الفوز والخسارة أمران متنافيان، فإن احتمال الخسارة يساوي احتمال فوز لاعب آخر (بافتراض أن كل لاعب لديه بطاقة بنغو واحدة فقط).${\displaystyle n}$اللاعبون المشاركون: ${\displaystyle P({\mathit {Loss}})=P(P_{2}{\mbox{ or }}P_{3}{\mbox{ or }}...P_{n-1}{\mbox{ or }}P_{n})}$ مع${\displaystyle n}$تم اختيار اللاعبين ولاعبنا${\displaystyle P_{1}}$ويُذكر هذا أيضاً (بالنسبة للأحداث المتنافية) على النحو التالي: ${\displaystyle P({\mathit {Loss}})=P(P_{2})+P(P_{3})+...+P(P_{n})}$.

إذا كانت احتمالية الفوز متساوية لكل لاعب (كما هو متوقع في لعبة حظ عادلة)، فإن${\displaystyle P(P_{1})=P(P_{2})=...=P(P_{n})}$ وبالتالي${\displaystyle P({\mathit {Loss}})=(n-1)P(P_{1})}$وبالتالي${\displaystyle P({\mathit {Win}})=P(P_{1})=1-(n-1)P(P_{1})}$يؤدي التبسيط إلى $${\displaystyle P(P_{1})=1/n}$$

في حالة شراء أكثر من بطاقة واحدة، يمكن اعتبار كل بطاقة بمثابة اللاعبين المذكورين أعلاه، حيث يكون لديهم فرصة متساوية للفوز. ${\displaystyle P(C_{1})=1/n_{C}}$ أين${\displaystyle n_{C}}$عدد البطاقات في اللعبة و${\displaystyle C_{1}}$هذه هي البطاقة التي تهمنا.

لاعب (${\displaystyle P_{1}}$) يحمل${\displaystyle m}$وبالتالي، ستكون هذه البطاقة هي الفائزة إذا فازت أي من هذه البطاقات (مع تجاهل حالات الفوز المتزامن): $${\displaystyle P(P_{1})=P(C_{1})+P(C_{2})+...+P(C_{m})=m/n_{C}}$$ إحدى الطرق البسيطة التي يمكن للاعب من خلالها زيادة فرص فوزه هي شراء المزيد من البطاقات في اللعبة (زيادة${\displaystyle m}$).

قد تحدث انتصارات متزامنة في أنواع معينة من الألعاب (مثل لعبة البنغو عبر الإنترنت ، حيث يتم تحديد الفائز تلقائيًا، بدلاً من الصراخ "بنغو" على سبيل المثال)، ويتم تقسيم الأرباح بين جميع الفائزين المتزامنين. احتمال بطاقتنا،${\displaystyle C_{1}}$يُعبّر عن الفوز عندما يكون هناك فائز واحد أو أكثر في نفس الوقت بما يلي: $${\displaystyle P(C_{1})=P(w){\frac {w}{n_{C}}}}$$ أين${\displaystyle P(w)}$هل احتمال وجود${\displaystyle w}$الفائز المتزامن (وهو دالة لنوع اللعبة وعدد اللاعبين) و${\displaystyle {\frac {w}{n_{C}}}}$كونها الاحتمال (العادل) أن${\displaystyle C_{1}}$تُعدّ إحدى البطاقات الرابحة. وبالتالي، فإن القيمة الإجمالية المتوقعة للجائزة (حيث يُمثّل الرقم 1 مجموع الجائزة الرابحة بالكامل) هي:

$${\displaystyle E={\frac {1}{1}}{\frac {1}{n_{C}}}P(1)+{\frac {1}{2}}{\frac {2}{n_{C}}}P(2)+...+{\frac {1}{n_{C}}}{\frac {n_{C}}{n_{C}}}P(n_{C})}$$$${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}(P(1)+P(2)+...+P(n_{C}))}$$

بما أن احتمال ظهور بطاقة رابحة في لعبة البنغو العادية، التي تستمر حتى يفوز أحد اللاعبين، إما${\displaystyle P(1)}$أو${\displaystyle P(2)}$أو ... أو${\displaystyle P(n_{C})}$وبما أن هذين الأمرين متنافيان ، يمكن القول إن

$${\displaystyle P(1)+P(2)+...+P(n_{C})=1}$$ وبالتالي فإن $${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}}$$ وبالتالي، فإن النتيجة المتوقعة للعبة لا تتغير بوجود فائزين متزامنين، طالما يتم تقسيم الجائزة بالتساوي بين جميع الفائزين المتزامنين. وقد تم تأكيد ذلك عددياً. ^{[ 6 ]}

للتحقق مما إذا كان من الأفضل لعب عدة أوراق في لعبة واحدة أو لعب عدة ألعاب، يتم حساب احتمالية الفوز لكل سيناريو، حيث${\displaystyle m}$تم شراء البطاقات. $${\displaystyle P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplecards}}={\frac {m}{m+n-1}}}$$ حيث n هو عدد اللاعبين (بافتراض أن كل لاعب خصم يلعب ورقة واحدة فقط). ويُعبّر عن احتمال خسارة أي جولة، حيث تُلعب ورقة واحدة فقط، كما يلي: $${\displaystyle P({\mathit {loss}})_{\mathit {game}}=1-P({\mathit {win}})=1-{\frac {1}{n}}}$$ احتمالية الخسارة${\displaystyle m}$يتم التعبير عن الألعاب على النحو التالي: $${\displaystyle P({\mathit {loss}})_{\mathit {multiplegames}}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$$ احتمالية الفوز بمباراة واحدة على الأقل من أصل${\displaystyle m}$الألعاب هي نفسها احتمال عدم خسارة كل شيء${\displaystyle m}$ألعاب: $${\displaystyle P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplegames}}=1-(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$$

متى${\displaystyle m=1}$هذه القيم متساوية: $${\displaystyle P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplecards}}=P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplegames}}}$$ لكن تبين ^{[ 6 ]} أن${\displaystyle P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplegames}}>P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplecards}}}$ل${\displaystyle m>1}$ميزة${\displaystyle P({\mathit {win}})_{\mathit {multiplegames}}}$ينمو كلاهما مع${\displaystyle m}$ينمو و${\displaystyle n}$يقلّ. لذلك، من الأفضل دائمًا لعب عدة جولات بدلًا من عدة أوراق في جولة واحدة، على الرغم من أن هذه الميزة تتضاءل كلما زاد عدد اللاعبين في اللعبة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}