المسألة الثانية عشرة لهيلبرت

المسألة الثانية عشرة لهيلبرت هي تعميم نظرية كرونكر-ويبر حول الامتدادات الأبيلية للأعداد النسبية ، إلى أي حقل عددي أساسي . وهي إحدى مسائل هيلبرت الرياضية الثلاث والعشرين ، وتتطلب إيجاد نظائر لجذور الوحدة التي تولد عائلة كاملة من الحقول العددية الأخرى، على غرار الحقول الدائرية وحقولها الفرعية. وصف ليوبولد كرونكر مسألة الضرب المركب بأنها "حلم شبابه العزيز"، ولذلك تُعرف المسألة أيضًا باسم " حلم شباب كرونكر " .

تُطبّق النظرية الكلاسيكية للضرب المركب ، والمعروفة الآن باسم "حلم كرونكر اليوغندي" ، هذا المبدأ على أي حقل تربيعي تخيلي ، وذلك باستخدام الدوال النمطية والدوال الإهليلجية المختارة بشبكة دورية محددة مرتبطة بالحقل المعني. وقد وسّع غورو شيمورا هذا المبدأ ليشمل حقول الضرب المركب . وفي الحالة الخاصة للحقول الحقيقية تمامًا، قدّم ساميت داسغوبتا وماهيش كاكدي بناءً للامتداد الأبلي الأقصى للحقول الحقيقية تمامًا باستخدام حدسية برومر-ستارك .

لا تزال الحالة العامة لمسألة هيلبرت الثانية عشرة مفتوحة.

تتمثل المشكلة الأساسية في نظرية الأعداد الجبرية في وصف حقول الأعداد الجبرية . وقد أوضح عمل غالوا أن امتدادات الحقول تخضع لزمر معينة ، وهي زمر غالوا . وأبسط الحالات، والتي تقع على حدود ما هو مفهوم جيدًا، هي عندما تكون الزمرة المعنية تبديلية . جميع الامتدادات التربيعية، الناتجة عن ضم جذور متعددة الحدود التربيعية، هي تبديلية، وقد بدأ غاوس دراستها . وهناك نوع آخر من الامتدادات التبديلية لحقل الأعداد النسبية Q ، وهو ضم الجذور النونية للوحدة، مما ينتج عنه الحقول الدائرية . وقد بيّن غاوس بالفعل أن كل حقل تربيعي موجود في حقل دائري أكبر. وتُظهر مبرهنة كرونكر-ويبر أن أي امتداد تبديلي محدود لـ Q موجود في حقل دائري. يتناول سؤال كرونكر (وهيلبرت) حالة حقل عددي جبري أكثر عمومية K : ما هي الأعداد الجبرية اللازمة لإنشاء جميع الامتدادات الأبيلية لـ K ؟ لم يتم التوصل إلى إجابة كاملة لهذا السؤال إلا عندما يكون K حقلاً تربيعياً تخيلياً أو تعميمه، وهو حقل CM .

إن صياغة هيلبرت الأصلية لمسألته الثانية عشرة مُضللة إلى حد ما: إذ يبدو أنه يُلمّح إلى أن الامتدادات الأبيلية للحقول التربيعية التخيلية تُولّدها قيم خاصة للدوال النمطية الإهليلجية، وهذا غير صحيح. (من الصعب تحديد ما كان يقصده هيلبرت بدقة، وإحدى المشكلات تكمن في أنه ربما كان يستخدم مصطلح "الدالة الإهليلجية" ليشمل كلاً من الدالة الإهليلجية ℘ والدالة النمطية الإهليلجية j ). أولًا، من الضروري أيضًا استخدام جذور الوحدة، مع أن هيلبرت ربما كان يقصد ضمنيًا تضمينها. والأهم من ذلك، أنه بينما تُولّد قيم الدوال النمطية الإهليلجية حقل فئة هيلبرت ، فإنه بالنسبة للامتدادات الأبيلية الأكثر عمومية، يلزم أيضًا استخدام قيم الدوال الإهليلجية. على سبيل المثال، الامتداد الأبيلي${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$لا يتم توليدها بواسطة المعاملات المفردة وجذور الوحدة.

إحدى الطرق الجذابة لصياغة نظرية كرونكر-ويبر هي القول بأن الامتداد الأبلي الأقصى لـ Q يُمكن الحصول عليه بضم القيم الخاصة exp(2πi/ n ) للدالة الأسية . وبالمثل ، تُظهر نظرية الضرب المركب أن الامتداد الأبلي الأقصى لـ Q ( τ )، حيث τ عدد لا نسبي تربيعي تخيلي، يُمكن الحصول عليه بضم القيم الخاصة ℘( τ , z ) و j ( τ ) للدوال النمطية j والدوال الإهليلجية ℘، وجذور الوحدة، حيث τ ينتمي إلى الحقل التربيعي التخيلي و z يُمثل نقطة التواء على المنحنى الإهليلجي المُناظر. أحد تفسيرات مسألة هيلبرت الثانية عشرة هو إيجاد نظير مناسب للدوال الأسية أو الإهليلجية أو النمطية، بحيث تُولد قيمها الخاصة الامتداد الأبلي الأقصى K  ab لحقل عددي عام K. بهذا الشكل، تبقى المسألة دون حل. وقد تم التوصل إلى وصف للحقل K ab في نظرية الحقول الفئوية ، التي طورها هيلبرت نفسه وإميل آرتين وآخرون في النصف الأول من القرن العشرين. [ ملاحظة 1 ] ومع ذلك، فإن بناء K ab في نظرية الحقول الفئوية يتضمن أولاً بناء امتدادات غير تبديلية أكبر باستخدام نظرية كومر ، ثم اختزالها إلى الامتدادات التبديلية، لذا فهو لا يحل فعلياً مشكلة هيلبرت التي تتطلب بناءً أكثر مباشرة للامتدادات التبديلية.

لقد ساهمت التطورات التي حدثت منذ حوالي عام 1960 بلا شك في ذلك. قبل ذلك، استخدم هيك ( 1912 ) في أطروحته أشكال هيلبرت النمطية لدراسة الامتدادات الأبيلية للحقول التربيعية الحقيقية . وقد فتح عمل شيمورا وتانياما مجالًا جديدًا لدراسة الضرب المركب للأصناف الأبيلية . وهذا ما يُفضي إلى ظهور امتدادات أبيلية لحقول الضرب المركب بشكل عام. والسؤال المطروح هو: ما هي الامتدادات التي يمكن إيجادها؟ يتعلق الأمر بوحدات تيت لهذه الأصناف، مثل تمثيلات غالوا . وبما أن هذه هي الحالة الأكثر سهولة في الفهم... ${\displaystyle l}$علم التماثل -adic ، وقد تمت دراسة هذه التمثيلات بعمق.

جادل روبرت لانغلاندز في عام 1973 بأن النسخة الحديثة من حلم الشباب يجب أن تتناول دوال زيتا لهاس-ويل لمتنوعات شيمورا . وبينما تصور برنامجًا طموحًا من شأنه أن يرتقي بالموضوع إلى آفاق أوسع، لا تزال هناك شكوك جدية بعد أكثر من ثلاثين عامًا حول أهميته بالنسبة للسؤال الذي طرحه هيلبرت.

كان هناك تطور منفصل تمثل في حدسية ستارك (في حالة الرتبة الأولى الأبيلية)، والتي تناولت على النقيض من ذلك مسألة إيجاد وحدات معينة تولد امتدادات أبيلية لحقول الأعداد وتصف المعاملات الرئيسية لدوال آرتين L. في عام 2021، أعلن داسغوبتا وكاكدي عن حل p -adic لإيجاد الامتداد الأبيلي الأقصى للحقول الحقيقية تمامًا من خلال إثبات حدسية غروس-ستارك التكاملية لوحدات برومر-ستارك. ^{[ 1 ] [ 2 ]}