صيغة كويدي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 57 صور
الموسوعة الحرة
الجسيمات الثلاثة التي تُحسب كتلها باستخدام صيغة كويدي. تُعبر الكتلة بوحدة إلكترون فولت/ ثانية² .

صيغة كويدي هي معادلة تجريبية غير مفسرة اقترحها يوشيو كويدي ( [ ko.i.de ] ، كوي-إي-داي ) في عام 1981. وهي تربط كتل اللبتونات المشحونة، والإلكترون ، والميون، والتاو ، بالطريقة التالية:

سؤال=مهـ+مμ+مτ(مهـ+مμ+مτ)2=23،{\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}},}

هذه القيمة الدقيقة لـ23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}لا يزال ضمن الحدود التجريبية حتى عام 2014. [ 1 ] : 64-66

استُنتجت صيغة كويدي في البداية بناءً على نموذج البريون الذي تنبأ أيضًا بقيم الكواركات وزوايا CKM . ومع ذلك، فقد تم استبعاد هذه التنبؤات الأخرى تجريبيًا.

قام مؤلفون لاحقون بتوسيع نطاق العلاقات المماثلة لتشمل النيوترينوات والكواركات وعائلات أخرى من الجسيمات .

ملخص

صيغة كويدي هي كالتالي:

سؤال=مهـ+مμ+مτ(مهـ+مμ+مτ)2=23،{\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}},}

تُقاس كتل الإلكترون والميون والتاو على التوالي بالصيغة m e =0.510 998 950 00 (15) MeV/ c 2  , m μ =105.658 3755 (23)  MeV/ c 2 ، و m τ =1776.93 (09) ميغا إلكترون فولت  / ثانية² ؛ الأرقام بين قوسين هي عدم اليقين في الأرقام الأخيرة. [ 2 ] وهذا يعطي Q =0.666 664 46 (508) . [ أ ] هذا يعني أن تنبؤ الصيغة دقيق حاليًا ضمن الحدود التجريبية.

يكمن اللغز في القيمة الفيزيائية. فالنتيجة ليست غريبة فحسب، إذ تُعطي ثلاثة أعداد تبدو عشوائية كسرًا بسيطًا، بل أيضًا لأن قيمة Q في حالة الإلكترون والميون والتاو تقع تمامًا في منتصف المسافة بين أقصى قيم جميع الاحتمالات الممكنة: 1/3 ( إذا كانت الكتل الثلاث متساوية) و 1 (إذا كانت إحدى الكتل أكبر بكثير من الكتلتين الأخريين). و Q كمية لا بُعدية ، لذا تبقى العلاقة صحيحة بغض النظر عن الوحدة المستخدمة للتعبير عن مقادير الكتل.

فسر روبرت فوت أيضًا صيغة كويدي على أنها علاقة هندسية، حيث تكون القيمة13سؤال{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3Q}}}هو مربع جيب تمام الزاوية بين المتجه[مهـ،مμ،مτ]{\displaystyle [{\sqrt {m_{\text{e}}}},{\sqrt {m_{\mu }}},{\sqrt {m_{\tau }}}]}والمتجه [ 1، 1، 1 ] (انظر الضرب النقطي ). [ 3 ] هذه الزاوية تساوي تقريبًا 45  درجة:θ=45000∘±0.001∘.{\displaystyle \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }.}[ 3 ]

عند افتراض صحة الصيغة تمامًا ( Q = 2/3 ) ، يمكن استخدامها للتنبؤ بكتلة تاو من كتل الإلكترون والميون (المعروفة بدقة أكبر) ؛ وهذا التنبؤ هو mτ =1 776 .969  MeV/ c 2 . [ 4 ]

بينما نشأت الصيغة الأصلية في سياق نماذج البريون ، فقد تم التوصل إلى طرق أخرى لاشتقاقها (سواء من قبل سومينو أو كويدي - انظر المراجع أدناه). ومع ذلك، لا يزال الفهم غير مكتمل بشكل عام. وقد تم العثور على تطابقات مماثلة لثلاثيات الكواركات اعتمادًا على الكتل المتغيرة. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] مع الكواركات المتناوبة، وربط معادلات كويدي للثلاثيات المتتالية، من الممكن الوصول إلى نتيجة173.263 947 (6)  GeV/ c 2 لكتلة الكوارك العلوي . [ 8 ]

الخصائص الرياضية

النطاق المسموح به

بالنظر إلى أي ثلاثة أعداد حقيقية موجبة، لدينا

13<سؤال=x1+x2+x3(x1+x2+x3)2<1،{\displaystyle {\frac {1}{3}}<Q={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{\left({\sqrt {x_{1}}}+{\sqrt {x_{2}}}+{\sqrt {x_{3}}}\right)^{2}}}<1,}

يُستنتج الحد الأعلى من كون الجذور التربيعية موجبة بالضرورة، بينما يُستنتج الحد الأدنى من متباينة كوشي-بونياكوفسكي-شفارتز . تقع قيمة كويدي، 2/3 ، في منتصف النطاق المسموح به رياضيًا. لكن تجدر الإشارة إلى أنه بإزالة شرط الجذور الموجبة، يُمكن إضافة مجموعة إضافية في قطاع الكواركات (المجموعة التي تضم الكواركات الغريبة والساحرة والقاعية).

تناظر التبديل

تُظهر علاقة كويدي تناظرًا تبادليًا بين كتل الليبتونات المشحونة الثلاث.مهـ{\displaystyle m_{\text{e}}}،مμ{\displaystyle m_{\mu }}، ومτ{\displaystyle m_{\tau }}[ 9 ] هذا يعني أن قيمةسؤال{\displaystyle Q}تبقى العلاقة دون تغيير عند أي تبديل لهذه الكتل. وبما أن العلاقة تعتمد على مجموع الكتل ومجموع جذورها التربيعية، فإن أي تبديل لـمهـ{\displaystyle m_{\text{e}}}،مμ{\displaystyle m_{\mu }}، ومτ{\displaystyle m_{\tau }}أوراقسؤال{\displaystyle Q}ثابت: سؤال=مهـ+مμ+مτ(مهـ+مμ+مτ)2=مσ(هـ)+مσ(μ)+مσ(τ)(مσ(هـ)+مσ(μ)+مσ(τ))2{\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {m_{\sigma ({\text{e}})}+m_{\sigma (\mu )}+m_{\sigma (\tau )}}{\left({\sqrt {m_{\sigma ({\text{e}})}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\mu )}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\tau )}}}\right)^{2}}}} لأي تبديلσ{\displaystyle \sigma }ل{هـ،μ،τ}{\displaystyle \{{\text{e}},\mu ,\tau \}}.

ثبات المقياس

علاقة كويدي ثابتة المقياس ؛ أي، بضرب كل كتلة بثابت مشتركλ{\displaystyle \lambda }لا يؤثر على قيمةسؤال{\displaystyle Q}. يتركمأنا′=λمأنا{\displaystyle m'_{i}=\lambda m_{i}}لأنا=هـ،μ،τ{\displaystyle i={\text{e}},\mu ,\tau }. ثم: سؤال′=مهـ′+مμ′+مτ′(مهـ′+مμ′+مτ′)2=λمهـ+λمμ+λمτ(λمهـ+λمμ+λمτ)2=مهـ+مμ+مτ(مهـ+مμ+مτ)2=سؤال{\displaystyle {\begin{aligned}Q'&={\frac {m'_{\text{e}}+m'_{\mu }+m'_{\tau }}{\left({\sqrt {m'_{\text{e}}}}+{\sqrt {m'_{\mu }}}+{\sqrt {m'_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {\lambda m_{\text{e}}+\lambda m_{\mu }+\lambda m_{\tau }}{\left({\sqrt {\lambda m_{\text{e}}}}+{\sqrt {\lambda m_{\mu }}}+{\sqrt {\lambda m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}=Q\end{aligned}}}

لذلك،سؤال{\displaystyle Q}يبقى دون تغيير عند تغيير حجم الكتل بمعامل مشترك.

الأصول

يفترض الاشتقاق الأصلي [ 10 ]مهـأنا∝(z0+zأنا)2{\displaystyle m_{e_{i}}\propto (z_{0}+z_{i})^{2}}مع الشروط

z1+z2+z3=0{\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}
13(z12+z22+z32)=z02{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}}

ومنها تُستنتج الصيغة. إضافةً إلى ذلك، فقد افترض أن كتل النيوترينوات والكواركات السفلية تتناسب معzأنا2{\displaystyle z_{i}^{2}}بينما افترض أن كتل الكواركات العلوية هي∝(z0+2zأنا)2 .{\displaystyle \propto (z_{0}+2z_{i})^{2}~.}

يبرر النموذج المنشور [ 11 ] الشرط الأول كجزء من مخطط كسر التناظر، والشرط الثاني باعتباره "شحنة نكهة" للبريونات في التفاعل الذي يسبب كسر التناظر هذا.

لاحظ أنه في شكل مصفوفة معم=أ أ†{\displaystyle M=A\ A^{\dagger }}وأ=Z0+Z{\displaystyle A=Z_{0}+Z}المعادلات ببساطةtr⁡Z=0{\displaystyle \operatorname {tr} Z=0}وtr⁡Z02=tr⁡Z2.{\displaystyle \operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}.}

تركيبة الطور

تُختزل الصيغة إلى مُعاملين فقط؛ ومن الشائع استخدام مُعامل المقياس ومُعامل الطور بحيث يُمكن التعبير عن أي ثلاث كتل تتوافق مع صيغة كويدي على النحو التالي:

من=μ[1+2كوس⁡(دلتا+2π3⋅ن)] ، {\displaystyle {\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[1+{\sqrt {2}}\cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\right]~,~}بالنسبة لـ n = 1، 2، 3

لمناقشة هذه المرحلة، انظر زينكزيكوفسكي [ 12 ]

صيغ مماثلة

توجد صيغ مماثلة تربط الكتل الأخرى. تعتمد كتل الكواركات على مقياس الطاقة المستخدم لقياسها، مما يجعل التحليل أكثر تعقيدًا. [ 13 ]

بأخذ أثقل ثلاثة كواركات، سحر (1.275 ± 0.03 جيجا إلكترون فولت  / ثانية² )، أسفل (4.180 ± 0.04  جيجا إلكترون فولت/ ثانية² ) وأعلى (173.0 ± 0.40  GeV/ c 2 ), بغض النظر عن عدم اليقين، يصل المرء إلى القيمة التي ذكرها F.  G. Cao (2012): [ 14 ]

سؤالثقيل=مج+مب+مت(مج+مب+مت)2≈0.669≈23.{\displaystyle Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{\text{c}}+m_{\text{b}}+m_{\text{t}}}{\left({\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}+{\sqrt {m_{\text{t}}}}\right)^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.}

وقد لاحظ روديوهان وتشانغ ذلك في النسخة الأولية من مقالتهما لعام 2011، [ 15 ] ولكن تم حذف الملاحظة في النسخة المنشورة، [ 5 ] لذا فإن أول ذكر منشور كان في عام 2012 من قبل كاو. [ 14 ]

العلاقة

سؤالوسط=مs+مج+مب(-مs+مج+مب)2≈0.675{\displaystyle Q_{\text{middle}}={\frac {m_{\text{s}}+m_{\text{c}}+m_{\text{b}}}{\left(-{\sqrt {m_{\text{s}}}}+{\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}\right)^{2}}}\approx 0.675}

تم نشره كجزء من تحليل ريفيرو، [ 16 ] الذي يشير ( الحاشية 3 في المرجع) إلى أن زيادة قيمة كتلة السحر تجعل كلا المعادلتين، الثقيلة والمتوسطة ، دقيقة.

كتل أخف الكواركات، أعلى (2.2 ± 0.4 ميغا إلكترون فولت  / ثانية² )، لأسفل (4.7 ± 0.3 ميغا إلكترون فولت  / ثانية² )، وغريب (95.0 ± 4.0 ميغا إلكترون فولت  / ثانية² )، دون استخدام عدم اليقين التجريبي، ينتج

سؤالضوء=مu+مد+مs(مu+مد+مs)2≈0.57،{\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {m_{\text{u}}+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {m_{\text{u}}}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}\approx 0.57,}

وهي قيمة ذكرها كاو أيضًا في نفس المقالة. [ 14 ] وتحسب مقالة أقدم، بقلم هـ. هاراري وآخرون، [ 17 ] القيم النظرية للكواركات العلوية والسفلية والغريبة، والتي تتطابق بالصدفة مع صيغة كويدي اللاحقة، وإن كان ذلك مع كوارك علوي عديم الكتلة.

سؤالضوء=0+مد+مs(0+مد+مs)2{\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}}

يمكن اعتبار هذا أول ظهور لصيغة من نوع كويدي في الأدبيات العلمية.

العلاقة العكسية سؤالمعكوس=1/مد+1/مs+1/مب(1/مد+1/مs+1/مب)2{\displaystyle Q_{\text{inverse}}={\frac {1/m_{\text{d}}+1/m_{\text{s}}+1/m_{\text{b}}}{\left({\sqrt {1/m_{\text{d}}}}+{\sqrt {1/m_{\text{s}}}}+{\sqrt {1/m_{\text{b}}}}\right)^{2}}}}

ويصادف أن يكون 2/3 بالضبط عند طاقات 100 TeV، وفقًا لذلك، [ 18 ] وهو دائمًا ضمن انحراف معياري واحد من الكسر الدقيق في جميع عمليات إعادة التطبيع الجارية.

تغير كتل الجسيمات

في نظرية الحقل الكمومي ، تتغير كميات مثل ثابت الاقتران والكتلة بتغير مستوى الطاقة. [ 19 ] أي أن قيمتها تعتمد على مستوى الطاقة الذي يحدث عنده الرصد، وفقًا لمعادلة مجموعة إعادة التطبيع (RGE). [ 20 ] عادةً ما يُتوقع أن تكون العلاقات بين هذه الكميات بسيطة عند الطاقات العالية (حيث لا ينكسر بعض التناظر ) ، ولكن ليس عند الطاقات المنخفضة، حيث يُنتج تدفق مجموعة إعادة التطبيع انحرافات معقدة عن علاقة الطاقة العالية. تُعد علاقة كويدي دقيقة (ضمن هامش الخطأ التجريبي) لكتل ​​الأقطاب ، وهي كميات طاقة منخفضة مُعرَّفة عند مستويات طاقة مختلفة. لهذا السبب، يعتبر العديد من الفيزيائيين هذه العلاقة "علم الأعداد" . [ 21 ]

مع ذلك، اقترح الفيزيائي الياباني يوكيناري سومينو آليات لتفسير أصول طيف الليبتونات المشحونة، بالإضافة إلى صيغة كويدي، وذلك من خلال بناء نظرية مجال فعّالة ذات تناظر قياسي جديد يجعل كتل الأقطاب تُحقق العلاقة بدقة. [ 22 ] وقد نشر كويدي آراءه بشأن نموذج سومينو. [ 23 ] [ 24 ] وتتناول أطروحة الدكتوراه لفرانسوا جوفينيه مناقشة كتل الأقطاب وكيفية إعادة صياغة صيغة كويدي لتجنب استخدام الجذور التربيعية للكتل. [ 25 ]

كحلول لمعادلة تكعيبية

عادةً ما تظهر معادلة تكعيبية عند كسر التناظر في حل فراغ هيغز، وهي حالة طبيعية عند دراسة ثلاثة أجيال من الجسيمات. يتضمن ذلك إيجاد القيم الذاتية لمصفوفة كتلة من الرتبة 3 × 3 .

في هذا المثال، ضع في اعتبارك متعددة الحدود المميزة

4م3-24ن2م2+9ن(ن3-4)م-9{\displaystyle 4m^{3}-24n^{2}m^{2}+9n(n^{3}-4)m-9}

بجذورمج:ج=1،2،3،{\displaystyle m_{j}:j=1,2,3,}يجب أن يكون ذلك حقيقياً وإيجابياً.

لاستنتاج علاقة كويدي، دعم≡x2{\displaystyle m\equiv x^{2}}ويمكن تحليل متعددة الحدود الناتجة إلى

(2x3-6نx2+3ن2x-3)(2x3+6نx2+3ن2x+3){\displaystyle (2x^{3}-6nx^{2}+3n^{2}x-3)(2x^{3}+6nx^{2}+3n^{2}x+3)}

أو

4(x3-3نx2+32ن2x-32)(x3+3نx2+32ن2x+32){\displaystyle 4(x^{3}-3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x-{\tfrac {3}{2}})(x^{3}+3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x+{\tfrac {3}{2}})}

يجب أن تعيد كثيرات الحدود المتناظرة الأولية للجذور إنتاج المعاملات المقابلة من كثيرة الحدود التي تحلها، لذلكx1+x2+x3=±3ن{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3n}وx1x2+x2x3+x3x1=+32ن2.{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{2}}n^{2}.}بأخذ نسبة هاتين كثيرتي الحدود المتناظرتين، ولكن بتربيع الأولى، نقسم على المعامل المجهولن،{\displaystyle n,}نحصل على صيغة من نوع كويدي: بغض النظر عن قيمةن،{\displaystyle n,}حلول المعادلة التكعيبية لـx{\displaystyle x}يجب أن يفي

2(x1x2+x2x3+x3x1)(x1+x2+x3)2=(3ن2)(±3ن)2=13{\displaystyle {\frac {2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(3n^{2})}{(\pm 3n)^{2}}}={\frac {1}{3}}}

لذا

1-2x1x2+2x2x3+2x3x1(x1+x2+x3)2=1-13=23.{\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}=1-{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}.}

و

1-2x1x2+2x2x3+2x3x1(x1+x2+x3)2=(x1+x2+x3)2-2x1x2-2x2x3-2x3x1(x1+x2+x3)2=x12+x22+x32(x1+x2+x3)2.{\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}.}

التحويل مرة أخرى إلىم=x{\displaystyle {\sqrt {m}}=x}

م1+م2+م3(م1+م2+م3)2=23.{\displaystyle {\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}+{\sqrt {m_{3}}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}}.}

في الحالة النسبية، قدمت أطروحة جوفينيه طريقة مماثلة لبناء متعدد الحدود باستخدام القوى الزوجية فقط.م.{\displaystyle m.}

آلية هيغز

اقترح كويدي أن تفسير الصيغة قد يكون جسيم هيغز معيو(3){\displaystyle \mathrm {U} (3)}نكهة مميزةΦأب¯{\displaystyle \Phi ^{a{\overline {b}}}}مقدم من:

V(Φ)=[2 [تر(Φ)]2-3 تر(Φ2)]2{\displaystyle V(\Phi )=\left[2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\right]^{2}}

مع حدود كتلة الليبتون المشحون المعطاة بواسطةψ¯Φ2ψ.{\displaystyle {\overline {\psi }}\Phi ^{2}\psi .}[ 26 ] يتم تقليل هذا الجهد عندما تتوافق الكتل مع صيغة كويدي. ولا يؤدي التقليل إلى تحديد مقياس الكتلة، والذي يجب تحديده من خلال حدود إضافية للجهد، لذا قد تشير صيغة كويدي إلى وجود جسيمات قياسية إضافيةتتجاوزبوزون هيغزفي.

في الواقع، سيكون أحد هذه الاحتمالات لهيغز هو تحديدًاV(Φ)=المحقق[(Φ-مهـ)]2+المحقق[(Φ-مμ)]2+المحقق[(Φ-مτ)]2{\displaystyle V(\Phi )=\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\text{e}}}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\mu }}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\tau }}})]^{2}}والتي عند توسيعها، فإن المحدد من حيث الآثار سيتبسط باستخدام علاقات كويدي.

الحواشي

  1. ↑ بما أن عدم اليقين في m e و m μ أصغر بكثير من عدم اليقين في m τ ، فقد تم حسابعدم اليقين في Q على النحو التاليΔسؤال=∂سؤال∂مτΔمτ.{\displaystyle \Delta Q={\frac {\partial Q}{\partial m_{\tau }}}\Delta m_{\tau }.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ زينكزيكوفسكي، ب.، الجسيمات الأولية والفضاء الطوري الناشئ ( سنغافورة : وورلد ساينتيفيك ، 2014)، ص 64-66 .
  2. ↑ نافاس، س.؛ وآخرون ( مجموعة بيانات الجسيمات ) (2024). "مراجعة فيزياء الجسيمات". مجلة الفيزياء D. 110 ( 3) 030001. doi : 10.1103/PhysRevD.110.030001 . hdl : 20.500.11850/695340 . 
  3. 1 2 فوت، ر. (7 فبراير 1994). "ملاحظة حول علاقة كتلة الليبتون لكويدي". arXiv : hep-ph/9402242 .
  4. ↑ برانن، كارل أ. (2 مايو 2006). "كتل اللبتون" (ملف PDF) . الموقع الإلكتروني الشخصي لبرانن . تاريخ الاطلاع: 18 أكتوبر 2020 .
  5. 1 2 روديوهان، دبليو؛ تشانغ، إتش. (2011). "توسيع علاقة تجريبية لكتلة الليبتون المشحون لتشمل قطاع النيوترينو". رسائل الفيزياء ب . 698 (2): 152-156 . arXiv : 1101.5525 . Bibcode : 2011PhLB..698..152R . doi : 10.1016/j.physletb.2011.03.007 . S2CID 59445811 . 
  6. ↑ روزن، ج. (2007). "التطوير الاستدلالي لنموذج ديراك-غولدهابر لبنية الليبتون والكوارك" . رسائل الفيزياء الحديثة أ . 22 (4): 283-288 . Bibcode : 2007MPLA...22..283R . doi : 10.1142/S0217732307022621 .
  7. ↑ كارتافتسيف، أ. (2011). "ملاحظة حول علاقة كويدي للكواركات". arXiv : 1111.0480 [ hep-ph ].
  8. ↑ ريفيرو، أ. (2011). "مجموعة كويدي جديدة: قاعدة سحرية غريبة". arXiv : 1111.7232 [ hep-ph ].
  9. ^ جوفينيت، ف. (2008). نهج من أسفل إلى أعلى لكتل ​​الفرميون (أطروحة دكتوراه). لوفان، فرنسا: جامعة لوفان الكاثوليكية .
  10. ↑ كويدي، ي. (1981)، كتل الكواركات واللبتونات المتكهن بها من نموذج الكواركات الفرعية
  11. ↑ كويدي، ي. (1983). "نموذج مركب من الفرميونات والبوزونات للكواركات واللبتونات". رسائل الفيزياء ب . 120 ( 1-3 ): 161-165 . Bibcode : 1983PhLB..120..161K . doi : 10.1016/0370-2693(83)90644-5 .
  12. ↑ زينتشيكوفسكي، بيوتر (26-12-2012). "ملاحظة حول تمثيل كويدي المتناظر Z3 لكتل ​​الكواركات". مجلة Physical Review D. 86 ( 11) 117303. arXiv : 1210.4125 . Bibcode : 2012PhRvD..86k7303Z . doi : 10.1103/PhysRevD.86.117303 . ISSN 1550-7998 . S2CID 119189170 .  
  13. ↑ Quadt, A. , Top Quark Physics at Hadron Colliders ( Berlin / Heidelberg : Springer , 2006), p. 147 .
  14. 1 2 3 Cao, FG (2012). "كتل النيوترينو من علاقات كتلة الليبتون والكوارك وتذبذبات النيوترينو". Physical Review D. 85 ( 11) 113003. arXiv : 1205.4068 . Bibcode : 2012PhRvD..85k3003C . doi : 10.1103/PhysRevD.85.113003 . S2CID 118565032 . 
  15. ↑ روديوهان، دبليو؛ تشانغ، إتش. (2011). "توسيع علاقة تجريبية لكتلة الليبتون المشحون إلى قطاع النيوترينو". arXiv : 1101.5525 [ hep-ph ].
  16. ↑ ريفيرو، أ. (2024). "تفسير الكميات القياسية في SO(32)" . المجلة الأوروبية للفيزياء ج . 84 (10) 1058. arXiv : 2407.05397 . doi : 10.1140/epjc/s10052-024-13368-3 .
  17. ↑ هاراري، حاييم؛ هوت، هيرفيه؛ ويرز، جاك (1978). " كتل الكواركات وزوايا كابيبو " (ملف PDF) . رسائل الفيزياء ب . 78 (4): 459-461 . رمز Bibcode : 1978PhLB...78..459H . doi : 10.1016/0370-2693(78)90485-9 .
  18. ↑ ريفيرو، أ. (2026). "قواعد جمع جديدة من نوع كويدي". رسائل الفيزياء ب . 887 140510. doi : 10.1016/j.physletb.2026.140510 .
  19. ↑ ألفاريز-جاومي، إل . فاسكيز موزو، MA (2012). دعوة إلى نظرية المجال الكمي . برلين، DE / هايدلبرغ، DE: سبرينغر. ص 151-152 . 
  20. ↑ غرين، د. (2016). علم الكونيات باستخدام MATLAB . سنغافورة : وورلد ساينتيفيك . ص 197 . 
  21. ↑ موتل، ل. (16 يناير 2012). "هل يمكن أن تكون صيغة كويدي حقيقية؟" . blogspot.com (مدونة). الإطار المرجعي . مؤرشف من الأصل في 2 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه في 21 ديسمبر 2023 .
  22. ↑ سومينو، ي. (2009). "تناظر قياس العائلة كأصل لصيغة كتلة كويدي وطيف الليبتون المشحون". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2009 (5): 75. arXiv : 0812.2103 . Bibcode : 2009JHEP...05..075S . doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/075 . S2CID 14238049 . 
  23. ↑ كويدي، يوشيو (2017). "نموذج سومينو ووجهة نظري الشخصية". arXiv : 1701.01921 [ hep-ph ].
  24. ↑ كويدي، يوشيو (2018). "ماذا تخبرنا به علاقة كتلة الليبتون المشحون؟". arXiv : 1809.00425 [ hep-ph ].
  25. ^ جوفينيت، ف. (2008). نهج من أسفل إلى أعلى لكتل ​​الفرميون (أطروحة دكتوراه). لوفان، فرنسا: جامعة لوفان الكاثوليكية .
  26. ↑ كويدي، يوشيو (1990). "قاعدة مجموع كتلة الليبتونات المشحونة من نموذج جهد هيغز لعائلة U(3)" . رسائل الفيزياء الحديثة أ . 5 (28): 2319-2324 . Bibcode : 1990MPLA....5.2319K . doi : 10.1142/S0217732390002663 .

للمزيد من القراءة